微积分基本定理与应用

1、§3.4定积分与微积分基本定理一、明确复习目标i. 直观了解微积分基本定理的含义.2 .会求简单的定积分.3. 会用定积分的知识解决一些简单的应用问题.二. 建构知识网络1. 定积分的定义如果函数f (x)在区间a,b上连续，用分点a = Xq ：为：| : xid =凶 川:Xn二b将区间a,b等分成n个小区间，在每 个小区间lxiJ,xi 1上任取一点(i =1,2,川，n)作和式当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做b函数f (x)在区间a,b上的定积分，记作，在f(x)dx中，和分别叫做积分下限和积分上限， 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式.2. 定积分的

2、性质b(1) k f (x)dx =( k 为常数)；"ab(2) fi(x) 一 f2(x)dx 二；ab(3) f (x)dx =(其中 a ： c ： b). a3 .微积分基本定理*b一般地，如果f (x)是闭区间a,b上的连续函数，并且 F (x) = f(x)，那么 f(x)dx =* a ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一一莱布尼兹公式，可b以把 F(b) -F(a)记作，即 f(x)dx =."a4. 通过定积分的运算可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1 )当对应的曲边梯形位于 x轴上方时，定积分的值取正值，且等于 (2) 当

3、对应的曲边梯形位于 X轴下方时，定积分的值取负值，且等于 (3) 当位于X轴上方的曲边梯形的面积等于当位于X轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为_；定积分的值等于位于 X轴上方的曲边梯形的面积 位于X轴下方的曲边梯形的面积.4. 定积分求曲边梯形面积如右图所示，由三条直线：x=a, x=b a : b , x轴及一条曲线y二f x f x > 0围成的曲边梯形的面积为 S二若在区间l.a,b 上，f x < 0,则S =若在区间l.a,c 1上，f x > 0,在区间l.c,b 1上，f x < 0，则S二5. 匀变速运动的路程公式：tv4作变速直线运动的物体所经过的

4、路程s，等于其速度函数v=v(t) v(t) > 0在时间区间 a, b 1上的定积分，即s-6.变力作功公式一物体在变力F x (单位：N )的作用下作直线运动，如果物体沿着F x与F相同的方向从x二a移动x = b a b (单位：m )，则力F所做的功为 W二三、双基题目练练手1下列值等于1的积分是()1 1A. xdxB. I I x 1 dxS* 0 '#2.2二 sin x cosx dx 的值 ()C.101dXD.1101dXB.C. 2D. 43如图，直线y =1与抛物线y =x2相交，则阴影部分面积为()A. - B. 1 311n xdx = x|n222I

5、n2ClB. In .2D.In2 21y严/V=1FT -1 O1s四、【例a1f (2x+ )dx =3 + 1 n2，且 a> 1,1xa的值为B.已知自由落体运动的速率A.蠹3x0 F' t dt =B.经典例题做一做v = gt，则落体运动从t = 0到t = to所走的路程为gt02 21】(1)1 (x2 2x 1)dx(2) o(sin x-cosx)dx2 2 1(3)(x -x )dx1x【例2】求两曲线y2 =x和y =X2所围成图形的面积.0fx(cosx + e)dxz 21【例3】一物体在做变速直线运动，其v -1曲线如图所示，求该1物体在一s6s间的

6、运动路程.2【例4】如图，阴影部分的面积是()321111A7B11110136;(s)A. 2一3B. 9-2、33235C.D.33293【例5】抛物线：y=x -2ax a 0 ,若过原点的直线1与抛物线所围成的图形面积为 -a ,求直线1的方程.五.提炼总结以为师1用定积分的定义求定积分的一般步骤：分割、近似代替、求和、取极限要借助于求曲边梯 形的面积和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想.2. 用微积分基本定理求定积分：关键是找到F，x二f x满足的函数F x，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本初等函数求导公式和四则运算 法则从反方向上求出 F

7、 x .3 .利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分.4.在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形的直观地确定出被积函数以及积分的上、下限.5 .要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f x < 0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来，例如: 当函数f x在区间l.a,b上恒为正时，定积分 bf(x)dx的几何意义是以曲线 f x为曲边梯 ab形的面积，一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于 x

8、轴、函*a数f x的图象以及之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方和面积取负号.6 .体会定积分的化归和逼近的思想方法.同步练习1 .下列有定义的定积分为1 1xdxB.2 1 dx cosx4 dx(x-2)220ln xdx2. (2007年山东潍坊)2 二sin xdx =( -02 xx0a dx 二-2 a，则a等于(B.e21C . e2(2007年广东潮州)已知f(X)为偶函数且1D . e260 f(x)dx =8，则6r f(X)dx 二D . 164 exdx的值等于-_242A . e -eB . e4e2C . e4 - e2 -2e4e，- 22 2(

9、2007年广东汕头)° (4 -2x)(4 -3x2)dx =使F(x)=xn°成立的所有F(x)可以表示为F(x)二v0,a均为正的常数)(m).(2006年山东潍坊)汽车从 A处起以速度v(t) -at(m/s)(其中开始减速度行驶，至 B点停止，则A、B之间的距离S-9. 由y =x3及y =2x围成平面图形的面积，若选x为积分变量，利用定积分应表达为 若选y为积分变量，利用定积分应表达为 .10 .求下列定积分的值.(1)|x2 -1| dx;(2)9-x2dx;u 0 0111. 已知 f(a)(2ax2-a2x)dx，求 f (a)的最大值.212. 一质点在直

10、线上从时刻 t =0(s)开始以速度v =t -4t 3(m/s)运动.求(1 )在t =4s的位置；(2)在t =4s内运动的路程.§ 3.3 定积分自主学习匕当基础无限测近于+8时，（sin +sin + nnn成定积分的形式，可记为+sin （n 一1）：）写答案 10 sin xdx2. 01dx= .答案13. 由曲线y=ex,x=0,y=2所围成的曲边梯形的面积为（用定积分表示）答案 flnydy 或,Jn2(2-e x)dx4.已知 f （x）为偶函数且 Of （x）dx=8,则.f（x）dx=_.答案 165.已知-1 < a<1, f (a) = 0 (

11、 2ax2- a2x) dx,求 f (a)的值域.解 f (a)=0 (2 ax2- a2x)dx=(2a 3x32a 2)|x )|212=-(a-)232+Z972-1 < a< 1,. - < f (a )< I69故f (a)的值域为! _7 -IL6 9例1计算下列定积分(1)0x(x+1)dx;(2) 2(e2x+ 丄“乂;x(3) 0：sin 2xdx.典例剖析解 (1)v x (x+1) =x2+x 且(丄 x3) ' =x2,( lx2) ' =x,322x(x+1)dx= 2 (x2+x)dx=0x2dx+ 0xdx=x3| O +

12、 fx 2 32=(1 X 23-0)+(丄 X 22-0)= 14 .323(2) v (in x) ' = 1 ,(e 2x) ' =e2x (2x) ' =2e2x,x得 e2x=( le21)'2所以 2 ( )dx= fe2xdx+ ：丄 dx =e2x| f +ln x| f= le4- 1e2+ln2-ln1= .!e4- 1e2+ln2.2 2 2 2(3) 由(sin2 x) ' =cos2x (2x) ' =2cos2x,得1cos2x= ( sin2 x)',2所以 O sin 2xdx= 0( 1- 1 cos2x

13、) dxulO v 2 2=1 dx- 1 0 cos2xdx2 2=1 x| J- 1 ( 1 sin2x) | 0：2 2 2=(二-0) - 1 ( -sin2 -丄 sinO )=二.2 2 2 2 2例2计算下列定积分(1)0 |sin x|d x;(2)01 !-1|d x.解 (1)v( -cos x)' =sin x,二 _07r|sin x|d x= _0jsin x|d x+ 撐|sin x|d x =Fsinxdx- 箱sin xdx=-cosx| 召+cosx| 評=-(cos 二-cos0 ) + ( cos2 二-cos 二)=4.(2)v 0< x&

14、lt; 2,于是 |x2-1|= Jx 一1(1空兰2)1 x2(0 兰x <1)0| x2-1|d x= 0(1- x2)dx+ 2(x2-1)d x,/ 13 2+ ( x -x) | 1113=(1-丄)+ (丄 X 2-2 )331-(-1 ) =2.3例3 求函数f ( x)=3 xx2x"0,1x(1,2在区间0, 3上的积分.2xx (2,3解由积分性质知320f(x)dx= 0 f (x)d x+ ff (x)dx+ 2f(x)dxxdx+2xL10 +13x241 o4X+211丄81丄84 + - + - 4 33 In 2 In 2431+ .In 212

15、例4(14分)求定积分 笃.16亠6x -x2 dx.解设 y= -.16 (x x2 ,即(x-3)2+y2=25 ( y > 0).5 分 ；16 6x -x2 dx表示以5为半径的圆的四分之一面积.10分6 6x x2 dx= 25 兀.14 分4知能迁移1. 求 (cos x+e)dx.解 (cos x+e )dx= 仃cosxdx+ edx=sin x| l+e|=1-丄.e八2. 求 4 (| X-1|+| x-3| ) dx.,X 44(x <1)解 设 y=|x-1|+| x-3|=2(1<x<3)2x -4(x _3)-o(| x-11+1 x-3|)

16、d x=0 (-2 x+4)d x+ 32dx+ 3 (2x-4)d x=(-x2+4x)| 0+2x| 3+(x2-4x)| 4 =-1+4+6-2+16-16-9+12=10.2(x+1)(0Ex<1)3. 已知函数：f (x)= * jx(1 兰x <2)G'，2)x-L(2 兰x 兰3)求 Of (x)dx.解 Of (x)dx= 02(x+1)-1 dx+ . x dx+ 2 ( ' 2 )"dx=2ln( x+1)| 0+2 ；x3 | 2+ 1 J2)x° |33 In (2=2ln2+ 2 (2 2-1)+ _J(2/2)3In、

17、24. 0 ( 1 -(x -1)2 -x) dx=_答案 24j*-活页作业、填空题1. 定积分.3 兀訥 YOSX dx=.答案 6 ,2x=a, x=b所围成的平面区域的2. 若y=f(x)与y=g(x)是a, b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线面积为 (用定积分表示).答案 和 f(x)- g(x)|d x3. 定积分 0(3卞+3 x)dx= .答案2In 3厂24. 设函数 f (x) = /+1,0 兰xM,则 2f(%)dx= .3 x,1 <x <2,答案1765. 定积分 22 2( x3+5x5)d x=.答案 06. 根据0 sin xdx=0推断

18、，直线x=0, x=2二,y=0和正弦曲线y=sin x所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在x轴上方的面积 在x轴下方的面积.(用“大于”，“小于”，“等于”填空)答案等于7. 若 0f (x)d x=1,；f(x)dx=-1,贝 U 2 f (x)d x= .答案 -28. 定积分0石dx的值是 .1 +x答案 lln22二、解答题9. 求下列定积分的值(1).0 .9 -x2 dx;2 _已知f(x)=必一斗 f(x)dx= 01 x dx+ 0 1dx兰X兰0，求Lf(x)dx的值.1 0 £X C1解 (1) 3 9 -x2 dx表示以y=、. 9-x2与x=0, x=3所围

19、成图形的面积，而 y=:9-x2与x=0,x=3围成的图形为圆x2+y2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为-：.4一1_x _00 : x ：:1=丄 x3|3°_i+x|0 =丄+1 =么33o f (x) dx =-2，求 a、b、c 的值.10. 已知 f (x) =ax2+bx+c，且 f (-1 ) =2, f'( 0) =0,解由 f (-1 ) =2,得 a- b+c=2,又 f ' (x)=2ax+b,由 f ' (0)=0 得 b=0,of (x)d x= 0 ( ax'+bx+c)d x=(1 ax3+ bx+cx)| 0 3

20、21 1=a+ b+c.32即 1 a+ 1 b+c=-2 ,32f (x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过由得：a=6, b=0, c=-4.11.已知 f ( a)=0 (2 ax2-a2x)d x,求 f (a)的最大值.解0(2ax2-a2x)dx=( 2 ax3-1 a2x2)| 0_ 2 1 o2=a - a3232即 f(a)= Za-丄 a2=-1 (a2-4a+4 )+ 23223991/2、22=-(a- ) + .239所以当a=时，f(a)有最大值.3912. (2009 青岛模拟)对于函数f (x)= bx3+ax2-3 x.(1 )若f(x)在x=1和x=3处取得

21、极值，且2sin t cost -2 3 cos2t + . 3 ,试求实数t的取值范围;(2)若f(x)为实数集R上的单调函数，且 b>-1,设点P的坐标为(a, b)，试求出点P的轨迹所围成的图 形的面积S.解 (1)由 f (x)= bx3+ax2-3 x,则 f ' (x)=3bx2+2ax-3,/f (x)在x=1和x=3处取得极值，x=1和x=3是f' ( x)=0的两个根且 b工0.1勺=-33b/ f' (x)=-x2+4x-3.T f (X)的图象上每一点的切线的斜率不超过2sin t cost -23 cos2t + , 3 ,/ f '

22、; (x) < 2sin t cos t -2 , 3 cos2t + . 3 对 x G R恒成立，而f ' (x)=-( x-2) 2+1,其最大值为1.故 2sin t cost -2 3 cos2t + . 3 > 1=2sin(2 t- ) > 1 = 2k：+< 2t-< 2k 二+- , kG Z'3636=.k-+< t < k-+二，kG 乙4 12(2 )当b=0时，由f(x)在R上单调，知a=0.当b工0时，由f(x)在R上单调:二f ' ( x) > 0恒成立，或者f ' (x) <

23、0恒成立./f ' (x)=3bx2+2ax-3,=4a2+36b< 0 可得 b< -丄 a2.9-a2与直线b=-19从而知满足条件的点P (a, b)在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b=-所围成的封闭图形，其面积为 S= 33 (1- - a2)d a=4.9§ 3.4定积分的简单应用i* 自主学习 一*«基础自测1总由y=cosx, x=0, x=二,y=0所围图形的面积写成定积分形式为.答案 0 cosxdx+| cos xdx |2间的运动路程为2. 一物体沿直线以v=3t+2 ( t单位：s, v单位：m/s)的速度运动

24、，则该物体在3 s6 sm.答案 46.53. 用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N，变力F做的功W为J.答案 104. 曲线y=cosx ( 0 < x < 3)与坐标轴所围成的面积是答案 3x轴），棒长为5. 有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x） =x3 （取细棒的一端为原点，所在直线为1，则棒的质量M为答案14例1求抛物线 面图形的面积.y2=2x与直线典例剖析y=4- x围成的平解由方程组2丿=2x解出 y =4 x抛物线和直线的交点为（2，2）及（8,-4）.方法一 选x作为积分变量，由图可看出S=Ai+A2在Al部分：由于抛物线的上半支方

25、程为y =2X ,下半支方程为y=- .2x，所以1Sa=2 N2x-(- V2x) dx=22 |x 2 dx3=2.2 £x2| 2=16，33s A2 = 2 4-x-(-. 2x ) dx=(4x- x2+ 2 2 x 2 )| 8 =38 ,2 33于是：S=16 +38 =18.3 3方法二 选y作积分变量，2将曲线方程写为x=L及x=4-y.22 2s=巳(4- y) - d y=(4 y- - )| 2_42 2 6=30-12=18.例2（14分）如图所示，直线 y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.解 抛物线y=x-x2与x轴两交

26、点的横坐标X1=0,X2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积s= 0 (x-x2)3x-)|=1-1=12 36抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x i =0, x 2=1- k,所以 S= 0主(x- x2- kx) dx2 012分14分1 min内所行驶的路程13= -（1-k）,6又知 S=1，所以（1- k） 3 = 1,6 2于是 k=1-中1 =1-2 .勺22例3 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求此汽车在这解由速度一时间曲线易知，3tt :二0,10）v（ t）= 30t - 10,40）1.5t90 t - 40,60由变速直线运动的路程公式可得s= 00 3t

27、 dt + 4o 30dt +OO6 -(-1.5 t +90)d t_ 3 * 2 10403 260=t | 0 +30t | 10 + (-二 t +90t )1 40 24=1 350 (m).答 此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.i*知能迁移一1. 求抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积 S.y2 _解 方法一 由川 =x得抛物线与直线的交点为P（ 1，-1），Q（ 9，3）（如图）岂一2y 3 =0二 S=0.x)=2.一 x dx+ 9 ( , x -+3)dx2 23 20 + ( 2X2-L + 3X| 9 = 4 + 28 = 323

28、 42333方法二若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y2, x=2y+3.由方法一知上限为3，下限为-1.二 S= ,3i (2y+3-y2) dy= (y2+3y- 1 y3)| 31 32=(9+9-9)-(1-3+)=.3 32. 如图所示，阴影部分的面积是答案3233. 一物体按规律x=bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物 体由x=0运动到x=a时，阻力做的功.解 物体的速度 v=x' (t)=( bt3) ' =3bt2,媒质阻力f E=kv2=k (3bt2) 2=9kb2t4.(其中k为比例常数，k>0)当

29、x=0时，t=0，当x=a时,阻力做的功是:W阻 = a f 阻 dx= 01 kv2 vdt=k J v3dt=k g (3bt2) 3dt= 7kb3t17 =27 k3a7b27 7活页作业一、填空题1. 如图所示，阴影部分面积为答案 £ g(x)-f(x) dx+£ :f(x)-g(x) dx2 2. 设 f (x)=x , xqo,1,则 ff(x)dx=.2x,x 皋(1,2,答案563. 设 f (x)= 0 sin t dt,则 f (f ( 2 )=.答案 1-cos1f4. 一物体在力F(x)=(0兰x兰2)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x=

30、0处运动到x=43x+4(x>2)(单位：m)处，则力F(x)做的功为J.答案 465. 一物体在变力F(x)=5- x2(力单位:N,位移单位:m)作用下，沿与F( x)成30°方向作直线运动，则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为J.答案空36. 函数F(x)= 0ft(t-4)d t在-1,5 上的最大值为 ，最小值为答案0 - 327.汽车以v=3t+2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是m.答案 6.58. 若f (x)是一次函数，且0f(x)dx=5, 0xf(x)dx=卫，那么函数f ( x)的解析式是6答案 f(x)

31、=4x+3、解答题9. 证明：把质量为 m (单位：kg)的物体从地球的表面升高 h(单位：m)处所做的功V=G- Mmh ，其中G是k(k+h)地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径.证明 根据万有引力定律：知道对于两个距离为r,质量分别为 m、m的质点，它们之间的引力为f (r)=G- m1m2，其中G为引力常数. r2则当质量为m的物体距地面高度为 x(0 < x< h)时，地心对它的引力f (x) =G-一(k+x)故该物体从地面升到 h高处所做的功为心(x) dx=0G鳥 dx=GMmh 一d (k+x)L (k +x)Mmh=G .k(k h)10. 设函数f (x)=x3+ax2+bx在点x=1处有极值-2.(1) 求常数a, b的值；(2) 求曲线y=f (x)与x轴所围成的图形的面积.解 (1)由题意知 f' (x)=3x2+2ax+b,f(1)=-2 且 f' (1)=0,即加加一 4，解得a=0, b=-3,3 +2a +b =0即 f (x)= x3-3x.(2)作出曲线y=x3