函数曲线的凹凸性与拐点

1、2.4.3 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点第四节第四节 导数的应用导数的应用观察下列两图的特点：观察下列两图的特点：xyo)(xfy ABxyo)(xfy AB一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点.曲线凹凸性的定义曲线凹凸性的定义xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA定义定义2.6 若在某区间若在某区间( (a,b) )内曲线段总位于其上任意一点处切内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线段在线的上方，则称该曲线段在( (a,b) )内是凹的内是凹的, , (a,b) 为曲线的凹为曲线的凹区间区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲；若曲线段总

2、位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段在线段在( (a,b) )内是凸的内是凸的, ,(a,b)为曲线的凸区间为曲线的凸区间. . 在我们不知道曲线形状的时候在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸性显然是不可能的性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢如何方便地判断曲线的凹凸性呢?2.曲线凹凸性的判定曲线凹凸性的判定xyo)(xfy abAB上图可见：上图可见： 切线斜率切线斜率k单单增增)(xf 0)( xf 凹曲线凹曲线xyo)(xfy abBA上图可见：上图可见： 凸曲线凸曲线 切线斜率切线斜率k 单单减减)(xf 0)( x

3、f定理定理2.12 设函数设函数y = f (x)在区间在区间 (a,b)内的内的二阶导数二阶导数 存在存在(1)若在若在(a,b)内内 f (x) 0 ,则曲线则曲线 y = f (x) 在区间在区间(a,b) 内是内是凹凹的；的；(2)若在若在(a,b)内内 f (x) 0 ,则曲线则曲线 y = f (x)在区间在区间(a,b) 内是内是凸凸的。的。 例例1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是是曲曲线线由由

4、凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到：注意到：注意：注意：拐点一定在曲线上。拐点一定在曲线上。怎样判断曲线的拐点呢？怎样判断曲线的拐点呢？定义定义2.7 连续曲线连续曲线y = f (x)上凹弧与凸弧的分界点上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的称为曲线的拐点拐点.)0 , 0(3的的拐拐点点是是曲曲线线xy 函数凹凸性函数凹凸性凹凸区间凹凸区间凹凸区间分界点（凹凸区间分界点（拐点拐点）拐点拐点 凹凸性分界点凹凸性分界点 不不存存在在的的点点的的点点或或)(0)(xfxf 切线斜率切线斜率k单单增增)(xf 0)( xf凸曲线凸曲线 切线斜率切线斜率k 凹曲线凹曲线单单减减)(xf 0)( xf前已述

5、及:所以所以:单单调调性性分分界界点点)(xf 凸曲线凸曲线 凹曲线凹曲线单单增增)(xf 单单减减)(xf 但反向不一定成立4( )f xx例如 43( )f xx例如 据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤: :(1)(1)求函数求函数y=f(x)的定义域的定义域; ;(2)(2)求出求出f“(x)，找出定义域内使，找出定义域内使f”(x)=0的点和的点和f“ (x)不存在不存在 的点；的点； (3)(3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 个小区间，考察每个小区间上个小区间，考

6、察每个小区间上f“ (x)的符号；从而判断曲的符号；从而判断曲 线在各个子区间上的凹凸性线在各个子区间上的凹凸性, ,最后确定拐点最后确定拐点. . 的的拐拐点点的的点点不不一一定定是是不不存存在在的的点点或或但但不不存存在在的的点点的的点点或或的的拐拐点点一一定定是是曲曲线线总总之之)()(0)()(0)()(xfyxfxf，xfxfxfy， 例例2 求曲线求曲线524)(34 xxxxf的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点),( (2)2124)(23 xxxf)2(122412)(2 xxxxxf2,0,0)(21 xxxf得得令令(3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点列表考察函数的凹凸区间及拐点:解解 (1) 函数的定义域为函数的定义域为凹凹拐点拐点（2，17）凸凸拐点拐点(，)凹凹f (x)00f(x)(2, +)2(0,2)0(-,0)x例例3 的值的值和和求求的拐点的拐点为为已知点已知点ba，bxaxy23)3 , 1( 29,23 ba解解因为拐点一定在曲线上，所以因为拐点一定在曲线上，所以3 (1)abbxaxy232 bax