开集与闭集PPT优秀课件

1、1第二章 点集主讲：胡努春2lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等价于故的孤立点全体由于说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证)(显然因为EEEE)(显然因为或EEEEEEEE 若E = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）3说明：要证E是开集，只要证 )(显然因为EEEEabx),(),(baOx 证明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。4说

2、明： 要证E是闭集，只要证()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因为显然a b xcxbaO,),( 证明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x不是a,b的接触点，从而a,b的接触点都在a,b内，从而a,b是闭集。5l即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn, 使得0limppnn0limppnn若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外）EE EE 6为开集，即从而EEE)(EOOxy),() ,(则) ,(yOEEOx)

3、,()(ExE)(EE ),(xOEOx),(, 0使得Ex),(xOy),(yxd7)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x xOO 知有当时,有x）) , (xOE( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex 8E( ,)( ,)( , )0,( )(min( ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知有当时,有x）为闭集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EE9lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：

4、lP0为 E的外点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。ccccEEEE)()()()(a.10lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得CECE 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 EOExx),(, 0,使得证明：设E为开集，即( , )cxOE 从而11lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得EE 证明：设E为闭

5、集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，cxE 从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内， 这与 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。12a. 空集，Rn为开集;b. 任意多个开集之并仍为开集；c. 有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)A B13a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/n若E为开集，则Ec为闭集;若E为

6、闭集，则Ec为开集ccAA)(ccAA)(14l定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。( ) ( )( ) ( ) (直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.15直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并.( ) ( )( ) ( ) (16Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点.点列

7、a1 , a2 , a3 , a4 , a1 = (a11, a12, a13, ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, ,a3n) l注：对无限维空间不一定成立。详细内容参见教材 p-183例617 设F为有界闭集，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在有限个开集U1 ，U2， ,Un，它同样覆盖F:IiUiiIiUF:IiUi注：比较下面几种不同的证法周民强，实变函数 p-36尤承业，基础拓扑学 p-52熊金城，点集拓扑讲义 p-2021.教材 p-42注： 逆命题也成立18设F为Rn中一 集合，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在可数个开集U1 ，U2， ,Un ， ，它同样覆盖F:IiUiiIiUF:IiUi提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集19证明：对任意的yF，由于yG ，FGGFyxyxF:GOyyy),(,0使得故存在),(121iyiyniOF使得:),(21FyOyy由 组成F的一个开覆盖及有限子覆盖定理，知存在y1