函数项级数一致收敛判别（Word）

1、1.函数项级数定义定义 设是定义在数集E上的一个函数列表达式: (1)称为定义在E上的函数项级数,简称为函数级数.记作为或.称为函数项级数(1)的部分和函数列. 若函数项级数: (2) 收敛,即部分和,当时,极限存在,则称级数(1)在点收敛,称为收敛点.级数(1)在D上的每一点与其所对应的数项级数(2)的和构成一个定义在D上的函数称为级数（1）的和函数，即. 2.函数项级数一致收敛的几种判别法判别法1 (函数项级数一致收敛的定义)设函数级数在区间收敛于和函数，若有: 则称函数级数在区间上一致收敛或一致收于和函数.例1 证明函数项级数在区间 (其中)一致收敛.证明 有.1 / 25.对,对要使不

2、等式成立.从而要不等式解得.取.于是,存在,有: 成立. 所以函数项级数在区间(其中)一致收敛. 非一致收敛的定义设函数项级数在区间非一致收敛于和函数，若，,有：成立.则称函数项级数在区间上非一致收敛或非一致收敛于.例2 证明函数项级数在区间 非一致收敛.证明 ，有：.即函数项级数在非一致收敛.函数项级数一致收敛的几何意义函数项级数在区间一致收敛于的几何意义是,不论给定的以曲线为边界的带形区域怎样窄,总存在正整数(通用的),任意一个部分和的图像都位于这个带形区间内(如图1).若函数项级数在某个区间不存在通用的,就是非一致收敛.判别法2 (确界判别法)函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件：.证

3、明 () 已知函数项级数在区间一致收敛于.即有: .从而,即.()已知,即有.从而有.即函数项级数在区间上一致收敛于.例3 证明 函数项级数在内一致收敛.证明 ; .所以函数级数在内一致收敛.判别法3 (柯西一致收敛准则)函数级数在区间一致收敛有：.证明 必要性已知函数级数在区间一致收敛.设其和函数是，即有也有.于是.充分性：已知，有:所以当时上述不等式有:即函数项级数在区间一致收敛.例4 讨论函数项级数在区间的一致收敛性. 解 应用柯西一致收敛准则即，要使不等式成立，从不等式解得取于是 ，有，即函数级数在区间一致收敛.在这个例子中我们用确界判别法来也可以判断它的收敛性方法2 . 故.所以函数

4、级数在区间一致收敛.判别法4 (M判别法)有函数项级数，是区间，若存在收敛的正项级数 ，有，则函数级数在区间一致收敛.证明 正项级数收敛根据柯西一致收敛准则，即 ，有 由已知条件，有 即函数级数在区间一致收敛.例5 判断函数项级数在上是否一致收敛.解 ,有.令,则.所以是收敛.由判别法函数项级数在上一致收敛.例6 证明在一致收敛.证：，有所以，即.故已知优级级数收敛，根据判别法.函数级数在中一致收敛.注 判别法是判别函数项级数一致收敛的很简使得判别法.但是这个方法有很大的局限性,凡能用判别法函数项级数必是一致收敛,此函数项级数必然是绝对收敛;如果函数项级数是一致收敛,而非绝对收敛,即条件收敛,

5、那么就不能使用判别法.判别法5 (狄利克雷判别法)若级数满足如下条件：(1)函数列对每个是单调的且在区间一致收敛于0.(2)函数级数的部分和函数列在区间一致有界，则函数级数在一致收敛.证明 已知函数列一致收敛于0即，有.又已知函数级数的部分和函数列在区间一致有界。即，有，从而有根据阿贝尔变换，有于是 ，有即函数级数在区间一致收敛.例7 证明 函数级数在区间一致收敛.证 即函数级数的部分和函数列在一致有界，而数列单调减少趋近于0。(当然在也是一致收敛于0) 根据狄利克雷判别法，函数级数在区间一致收敛.判别法6若级数满足下面两个条件：(1)函数列对每个是单调的且在区间一致有界.(2)函数项级数在区

6、间一致收敛，则函数级数在区间一致收敛.证明 不妨设函数列在区间单调减少，已知它在区间一致有界，即，有，有从而，有又已知函数级数在区间一致收敛.即 ，有由阿贝尔变换，有即函数项级数 在区间一致收敛.已知函数项级数在区间一致收敛两个函数级数在区间都一致收敛.因此，函数级数=在区间一致收敛.例8 证明若函数级数（是常数）.在收敛.则它在区间一致收敛.证明 将函数项级数改写为已知级数收敛，从而它在区间也是一致收敛.且函数列在单调减少又一致有界,即存在，有 根据阿贝尔判别法，函数项级数在区间一致收敛.判别法7若函数项级数在区间一致收敛，则在也一致收敛.证明 已知在一致收敛，由柯西一致收敛准则，有:于是

7、再根据柯西一致收敛准则，函数级数在一致收敛.例9 判断函数项级数在上的一致收敛性.解 在区间上一致收敛.所以由判别法7,函数项级数在一致收敛.判别法8若函数项级数在一致收敛且在有界，则在一致收敛.证明 已知函数项级数在上一致收敛由柯西收敛准则，有:函数在有界，即，有，对函数级数，有即函数级数在上一致收敛.例10 判断函数项级数在上的一致收敛性.解 令 .则对 任意 .即故在上一致有界.对 有: 数项级数在上收敛.故函数项级数在上一致收敛.根据判别法8,函数项级数在上一致收敛.判别法9若函数项级数、都在区间一致收敛，则在一致收敛（、为常数）.证明 由已知级数与在区间都一致收敛.由柯西一致收敛准则

8、.对，有:同样的 对，有:取，有 (1) (2) 由(1)和(2)相加得:即函数级数在上一致收敛.判别法10若函数与都绝对收敛，则函数级数在一致收敛.证明 与收敛.，有:，有:由柯西一致收敛准则，函数级数在上一致收敛.判别法11若，函数在单调且与都绝对收敛，则在一致收敛.证明 不妨设在单调增，所以，于是有 ，而与收敛.可知收敛根据判别法，在上一致收敛.最后得在上一致收敛.同法可证：若在单调减少，即.则任意有,因为与都收敛.所以也一致收敛,根据判别法可知函数项级数在也一致收敛.判别法12设，在上连续，又在上收敛于连续函数，则在上一致收敛于.证 (用反证法) 若在上不一致收敛于，为级数部分和，则，

9、及和使得.对，应用聚点定理，得子列收敛于不妨设此子列即为.固定，当时，令，由于的连续性.因此，这与收敛于矛盾.故原命题成立.判别法13设函数项级数定义在数集上，若存在一个函数，在处存在且.且对一切有则函数项级数在上一致收敛.证明 对于函数，有在处存在且令，则 即 又因为对级数，有在是非负递减函数且非正常积分是收敛的.故是收敛的，因而由比较原则知是收敛的则根据判别法2，函数级数在上一致收敛.例11 讨论级数在区间上的收敛性.分析 对于此级数我们可以用判别法进行证明，即找到收敛的正项级数使得，同时也可以应用判别法13；证明 考虑函数，在处二阶导数存在且，又有 故级数在区间上一致收敛.例12 证明级

10、数在上一致收敛.分析 对此级数我们考虑函数.证明 对于函数，在处有二阶导数且，又有故由判别法13可知级数在上一致收敛.判别法14 (导数判别法)设函数列在区间上连续，可微，且存在一点使得在点收敛；在上一致收敛；则函数项级数上一致收敛.证明 已知在点收敛，在上一致收敛，即使得时对有对有 根据拉格朗日中值定理有 介于与之间）于是）故在上一致收敛.判别法15 (比试式判别法)定理1 设为定义在数集上正的函数列，记，存在正整数，使得：对任意成立，则函数项级数在上一致收敛.证明 易见 =而等比级数当公比时收敛，从而由函数项级数一致收敛型的优级判别法，在上一致收敛.定理 设为定义在数集上正的函数列，记，若

11、：，且在上一致有界，则函数项级数在上一致收敛.判别法16 (根式判别法)设为定义在数集上的函数列，若存在在整数使得使得成立，则函数项级数在上一致收敛.证明 由定理条件，对，成立，而几何级数收敛，由优级数判别法知，函数项级数在上一致收敛. 判别法17 设定义在上的正函数列若,则函数项级数在上一致收敛.判别法18 设为定义在数集上的函数列，若存在，那么：（1） 若对，则函数项级数在D上一致收敛.（2） 若对，则函数项级数在D上不一致收敛.证明 由定理条件知，对，使得对，有，即，则当，对成立时，有.判别法19若是区间上的连续函数，且函数列在区间上单调递减收敛于0，则在上一致收敛.证明 因为是上的连续

12、函数在上收敛于0，单调，是上一致收敛于0.又因为，故一致有界.且对单调，由判别法5可得函数项级数在上一致收敛.例13 考察在上的收敛性.分析 首先注意到在上是一致收敛的.用判别法5来判别证明无法找到收敛的.正项级数使得，用判别法5，很难证明出的一致收敛性.用判别法5，比较复杂。如用判别法19，证明则可以得到.解 记，则显然有在上连续又对于，有 且，即对，单调递减收敛于0.所以由判别法19知级数在上一致收敛.例14 证明级数在上一致收敛.证明 记，则显然有在上连续对于，且，即对于，单调递减收敛于0.故由判别法19知，级数在上一致收敛.判别法20若函数项级数在收敛且及，有（为正数）.则在一致收敛.证明 由题设，存在正整数，使得对每个正整数和每个，同时成立不等式，对任意给定的，