函数的单调性与极值（Word）

1、函数的单调性与极值函数单调性的考察，可用当时，比较与的大小来进行判定的.但判定与的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数在某区间上单调增加，其图形是一条沿x轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即；若单调减少，其图形是一条沿x轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.那么反之成立吗？Ayxoaby=f(x)yxoaby=f(x)图3-2AB 定理1 设函数在区间内可导.（1）如果在内，那么在内单调增加；（2）如果在内，那么在内单调减少.证明 （1）在内任取两点，且，根据拉格郎日中

2、值定理，存在一点（），使 （1）因为在区间内有，则（1）式中的，而，因此由（1）式知，这就是说在内单调增加. 同理可证明结论（2）成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调减少）.如函数的导数，在时，但它在区间内是单调增加.例1 判定函数的单调性.解 因为函数的定义域为，其导数为，所以在整个定义域内都有，故函数在定义域内单调减少.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示.函数在区间上单调增加，而在区间上单调减少，且从图3-3上容易看到，2 / 12ybaox图3-3可导函数在单调增加、减少的分界点处的导

3、数为零，即. 使导数等于零的点（即方程的实根）， 叫做函数的驻点.因此要确定可导函数的单调区间，首先要求出驻点，然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性.例2 讨论函数的单调性解 因为，令，得驻点.这两点将的定义域分成三个部分：，下面用列表的形式来进行讨论，（表中“ ”表示单调增加，“ ”表示单调减少） （1+0-0+根据上面的讨论可得：函数在区间和内单调增加，在区间（内单调减少.另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点.例3 确定函数的单调区间.xyo图3-4解 函数的定义域为，而，显然当时，函数的导数不存在，又函数没有驻点.但当

4、时，有，函数在区间内单调增加；当时，有，函数在区间内单调减少.二、函数的极值定义3.1 设函数在有定义，且对此邻域内任一点均有，则称是函数的一个极大值；如果对此邻域内任一点均有，则称是函数的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.yoabx图3-5从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点：（1） 函数的极大值和极小值是局部概念，即如果是的极值，只是对极值点的左右近旁一个小范围来讲的.（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个极小值，且其中的极大值未必比极小值要大. 如图3-5，极大值就比极小值还要小.（3）函数的极值只能在区间内部取到.求极值

5、的关键是找出极值点，从图3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如.定理2（极值存在的必要条件） 设函数在点处导数存在，且在处取得极值，则函数在处的导数，即是函数的驻点.注意，定理3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数，在处有，但不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点.对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点.如，显然，不存在. 但且是它的一个极小值点，在图形上，称为曲线的尖点.因此，连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点. 但问题是这些点满足什么条件才能为极值点，观察图3-5

6、，得下面判定函数极值的一个充分条件.定理3 （极值存在第一充分条件） 设函数在点连续，在内可导（可除外），当由小增大经过时，如果：（1）的符号由正变负，则在点处取得极大值；（2）的符号由负变正，则在点处取得极小值；（3）的符号不变，则在点处取不到极值.证明 （1）由条件，在点左近旁单调增加，在点右近旁单调减少，即当时，有，当时，有，因此在点处取到极大值.同理可证明结论（2）、（3）.此外还可利用二阶导数来判定极值.定理4（极值存在的第二充分条件）设函数在内有二阶导数存在且连续，又，如果（1），则在处取得极大值；（2），则在处取得极小值.（证明从略）例4 求函数的极值.解 因为， 令 ，得驻点

7、，所以函数有驻点，尖点列表考察的符号-20（0，2）2不存在+0不存在+极小值0极大值极小值0故当时，函数有极大值， 当时，函数有极小值0.例5 求函数在区间内的及值解 因为，.令 ，得驻点 而，所以为极大值； ，所以为极小值.例6 求函数=的极值.解 函数的定义域为 由，得驻点. 列表：-10 0+0+极小值0故函数在处有极小值，而不是极值点.三、函数的最值问题在实际生活中，常会遇到：在一定条件下，怎样使“产量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“耗时最少”等问题.这一类问题在数学上可归结为函数的最大值、最小值.因为在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值. 由于函数的最值可在区间内部取到

8、，也可在区间的端点上取到，如果是在区间内部取到，那么这个最值一定是函数的极值，因此求在区间上的最值，可求出一切可能的极值点（驻点及尖点）和端点处的函数值，进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值.例7 求函数在区间上的最大值和最小值.解 因为令得驻点 oxobaxyy=f（x）bayy=f（x）图3-7因此 .经比较，得函数的最大值为，最小值为.如果函数在一个开区间内连续且有惟一的极值点，则当为极大值时，就是在该区间上的最大值；当为极小值时，就是在开区间上的最小值（见图3-7）.例8 求函数.解 由例6可知，是函数极小值点，且在整个定义域中极值点是惟一的，故函数的极小值就是

9、函数的最小值，为，不存在最大值.下面讨论求最值的应用题.在实际问题中，往往可以根据实际情况断定函数在其定义区间内确有最值存在，而当可导函数在这定义区间内又只有惟一的驻点，则可断定在点处取到了相应的最值.例9 有一块长为，宽为的长方形铁片，将它的四角各剪去一个 大小相同的小正方形，四边折起，做成一个无盖的长方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，其容积最大. 解 如图3-8，设小正方形的边长为，则其容积为 ， （） 图3-8得驻点 ，（舍），所以是惟一的驻点，又该实际问题的最值一定存在，故当小正方形的边长为时，长方体的容积最大.例10 设铁路边上离工厂C最近的点A距工厂20，铁路边上B城距A点200，现要在铁路线AB上选定一点D修筑一条公路，已知铁路与公路每吨千米的货运费之比为3：5，问D选在何处时，才能使产品从工厂C运到B城的每吨货物的总运费最省？（图3-9）DCAB图3-9解 设D点选在距离A处千米，又设铁路与公路的每吨千米货运费分别为（为常数）则产品从C处运到B城的每吨总运费为 因为，令，即，得.将 ，与闭区间端点处的函数值比较，由于，因此，当D点选在距离A点处，这时每吨货物的总运费最省.习题1、 求下列函数的单调区间