关于数学思想方法教学的几点思考

1、关于数学思想方法教学的几点思考2004年第9期数学通讯5关于数学思想方法教学的几点思考朱成杰(上海市黄浦区教师进修学院,上海200001)中图分类号:0123文献标识:A文章编号:04887395(2004)9000503"双基"教学是中国数学教育的特色,也是中国数学教育成功的经验之一.可是国人对这方面的理论研究却非常不够.文1运用现代心理学成果对此进行剖析,是一件很有意义的工作.可是,对于该文中的个别观点,似有进一步讨论的必要.数学思想方法教学是教育改革中的一个重要的问题,有些问题曾缠绕心头多年,现将思考的成果一并写上,以求教于专家和同行.1数学思想方法能否归入数学基础知

2、识?文1在引述几位名家关于知识分类的定义后写道:笔者认为,将数学基础知识界定为"数学中的概念,性质,法则,公式,公理,定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法",数学基本技能界定为"按照一定的程序与步骤进行运算,推理,处理数据,画图,绘制图表等"是比较科学的.这里,"数学中的概念,性质,法则,公式,公理,定理"对应于概念性知识,而"由内容反映出的数学思想和方法"以及数学技能则对应于方法性知识.把数学思想方法归人数学基础知识范畴,反映了当代认知心理学以及哲学对知识的内涵及性质研究的最新进展,具有先进性.引文中的语句出

3、自2000年<全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)>,在<九年义务教育全日制中学数学教学大纲>中对数学思想方法有相同的论述.为什么将数学思想方法归人数学基础知识范畴?这样是否科学?是否有利于数学教学改革?都是值得进一步探讨的,这里涉及到知识,数学知识,数学基础知识,数学基本技能,数学思想方法等概念及其相互关系.新版<辞海>将"知识"定义为"人类认识的成果或结晶",由此数学知识则可定义为人类对于数学的认识成果或结晶,依据这个广义的知识定义,数学基本技能和数学思想方法

4、都应当归人数学知识的范畴.可是,我国数学教育界素有将数学基础知识与数学基本技能并提为数学"双基"的传统,这是在多年教学实践基础上形成的,并已成为中国数学教育的特色.现在将数学思想方法列人数学教学大纲,反映了当代数学教育研究的最新进展,具有重要意义.可是,既然将数学基本技能从数学知识中划分出来与数学基础知识并提,为什么要将数学思想方法归人数学基础知识?似有厚此薄彼之嫌.我们认为简单地将数学思想方法归人数学基础知识缺乏充分的依据,也是不科学的,至少有以下几点理由:数学基础知识与数学思想方法是两个不同的概念.数学基础知识主要是指数学中的概念,性质,法则,公式,公理,定理等,数学思

5、想方法主要是指抽象概括,数形结合,数学模型,化归,分类,归纳猜想等.若将数学知识区分为"概念性知识"和"方法性知识",前者属于概念性知识,后者属于方法性知识;若将知识区分为"显性知识"(explicitknowledge)和缄默知识(tacitknowlge),前者属于显性知识,后者属于缄默知识或者含有较多成分的缄默知识.数学思想方法是比数学基础知识处于更高层次上的知识.存在形态不同.数学基础知识以文字,符号,图形等外显的形态直接写在教材中,而数学思想方法常常以内隐的形式存在于概念,公式,法则,定理的形成过程和问题解决的过程之中.正因

6、为如此,我们在数学思想方法教学研究中提出了"化隐为显"的原则.教学规律不同.数学基础知识可以采用新知传授,范例讲解,学生练习的方式进行教学,即使传统的讲授法依然能取得一定的教学效果(实际上,基础知识教学也应引导学生共同建构并建立相关概念之间的联系).数学思想方法则应结合数学知识发生发展的过程和问题解决的过程,采用多次孕育,逐步形成,应用发展的步骤进行教学,方能取得实际效果.数学基本技能教学也应有数学思想方法的引领.中学数学中的数学技能可分为"心智活动技能"收稿日期:20040212作者简介:朱成杰(1946一),男,江苏省人,上海市黄浦区教师进修学院教授

7、6数学通讯2004年第9期和"动作技能"两类,如数的计算技能,式的恒等变形技能,解方程,不等式的技能,推理论证技能等都是心智活动技能.在心智活动技能的教学中如果没有数学思想方法的引领,剩下的只能是一些机械僵死的操作步骤,对于分析问题,解决问题的能力提高毫无帮助.例如,化归方法对于解方程,解不等式的技能的形成就具有非常重要的指导作用.不能引起对数学思想方法教学的重视.随着素质教育的深入推进,数学思想方法教学的重要性已经被越来越多的数学教师所认识.但是,重结果轻过程,重知识轻思想方法的现象依然严重存在.既然数学思想方法包含在数学基础知识之中,就很可能导致如下的误识:我只要将数学

8、基础知识教好了,也就同时完成了数学思想方法教学的目标.这就在实际上取消了数学思想方法教学.美国中小学数学课程与评估标准论述了数学教育改革的目标是,应当培养具有数学素养的社会成员,并将"学会数学的思想方法"作为有数学素养的五项标志之一.俄罗斯的中小学数学教学大纲则将"使学生形成关于数学的思想,方法及其对认识世界之作用的概念"作为普通中学数学教育的三个基本任务之一.他们都没有将数学思想方法归人数学基础知识,而是单独加以论述的.根据以上理由,我认为不应将数学思想方法归人数学基础知识,而应将数学思想方法与数学基础知识,数学基本技能并提,即将中学数学教学内容概括为

9、"三基":数学基础知识,数学基本技能,数学基本思想方法.现在我们提数学"三基",并不是对传统数学"双基"特色的否定,而恰恰是对传统特色数学"双基"的继承和发展.新制定的全日制义务教育数学课程标准(实验稿)在课程总体目标中论述道:"获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实,数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能".笔者认为,这样将数学思想方法与数学知识并列的提法比较科学,也有利于加强数学思想方法教学.2"渗透"还是"孕育&quo

10、t;?许多论述数学思想方法教学的文章都采用"渗透"的提法."渗透"原指液体从物体的细小空隙中透过,常用来比喻一种事物或势力逐渐进入到其他方面,如我们要警惕超级大国的经济渗透和军事渗透.无论原意还是喻意,都有一种他物从外部进入的含意.可是数学思想方法教学,并不是将数学思想方法从外部注入到数学知识教学之中.因为抽象概括,归纳猜想等数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程密切地联系在一起的内部之物.例如,通过观察若干个一元二次方程的根与系数,可以猜想出根与系数之间的关系,再运用求根公式就能够证明猜想为真,于是得到韦达定理.事实上,建立韦达定理的过程,

11、也就是归纳猜想的过程,完全不是从外部硬加上一个归纳猜想.当然,那种斩头去尾烧中段的数学教学就谈不上什么数学思想方法了,我们现在提倡在进行数学知识教学的同时加强数学思想方法教学,只不过是恢复数学本来的面貌而已.须知"渗透"与"灌输"之间只有量的差异,并无质的区别,"渗透"与"灌输"相比较只是比较温和一些罢了.有些教师企图通过几次数学思想方法讲座让学生掌握数学思想方法的做法,可能就与这种"外部渗透进去"的理解有关,效果当然不会好.笔者认为,用"孕育"来表述数学思想教学更为恰当.&

12、quot;孕育"原指怀胎生育,常用于比喻在既存的事物中酝酿着新事物.按照这样的认识,教师会更自觉地将数学思想方法教学与数学知识的发生发展和问题解决的过程紧密联系起来,从而收到好的效果.不过,某些现代数学思想采用"渗透"的提法还是可以的,因为中学里并不学习这些现代数学知识.3数学思想方法与数学能力之关系2O世纪8O年代数学教育界提出的口号是"加强双基,培养能力,发展智力",实施多年并未取得预期效果.广大数学教师其实还是非常努力的,细究起来,欲从基础知识一下子提升到数学能力,跨度(难度)太大或许是不成功的一个重要原因.形成数学能力固然离不开数学知识

13、,但是仅有数学知识是不可能形成数学能力的,中间还应有数学思想方法的作用.数学能力的核心是数学思维能力.数学思想方法与数学思维能力是密切关联的两个领域,数学思想方法的学习和掌握有助于数学思维能力的提高,数学思维能力的形成也离不开对数学思想方法的掌握.但是,数学思想方法并不能涵盖整个数学思维能力.原苏联心理学家克鲁捷茨基关于数学能力的研究指出:数学能力还受到情感意志,性格态度等非智力因素的制约,而数学思想方法则不包括这些非智力因素.此外,培养数学能力还与探究精神和问题解决密切相关.于是我们可以得到一个关于数学能力培养的猜想:f数学基础知识1探究精神+数学思想方法.+问题解决:数学能力L非智力因素J

14、(原动力)(工具)(载体)这就是说,"问题解决"是培养数学能力的载体,2004年第9期数学通讯7源蝗翰澡堂漂刘忠国(私立诸暨高级中学,浙江311800)中图分类号:O1233文献标识:A文章编号:04887395(2004)9000702美国国家科学教育标准中对探究性学习中的探究给出这样的定义:"探究是多层面的活动,包括观察;提出问题;通过浏览书籍和其他信息资源发现什么是已经知道的结论,制定调查研究计划;根据实验证据对已有的结论作出评价;用工具收集,分析,解释数据;提出解答,解释和预测;以及交流结果.探究要求确定假设,进行批判的和逻辑的思考,并且考虑其他可以替代的

15、解释".这里我们可以看出探究性学习是指学生在教师指导下.以类似科学研究的方式去获取知识,应用知识,解决问题的学习方法,这种学习方式通常要围绕一个需要探究的特定问题展开,所以又称为"主题探究学习",广义的理解是泛指学生主动探究问题的学习方法,它是一种积极的学习过程,是完成课堂"探究精神"是形成数学能力的原动力.即在探究精神的驱动下,将数学基础知识,数学思想方法,非智力因素作用于待解的问题,随着一个又一个问题的解决,数学能力就会逐步得到提高.4其他需要探讨的问题数学思想方法教学与数学知识教学相比尚处于幼儿时期,很不成熟,许多问题都无定论,值得进一步

16、研究的问题还非常多.我认为以下几个问题的深入研究更加显得重要.首先是数学思想方法的分类问题.有人将数学思想方法分为数学证明方法和数学发现方法两类.反证法,完全归纳法,数学归纳法等属于数学证明方法,归纳法,类比法等属于数学发现方法.但是,数形结合,数学模型方法应当属于哪一类?似乎两类都是.又都不是.可见,这样的分类并不科学.也有人将数学思想方法分为技巧型思想方法,如换元法,待定系数法等;逻辑型思想方法.如分类方法,演绎法,反证法等;宏观思想方法,如数形结合,数学模型方法等;这是目前较多采用的一种分类方法.但是,这样分类的逻辑标准是什么?似乎兼顾了功能和实用两个方面.对应宏观思想方法的应该是微观思

17、想方法,结果却用逻辑型思想方法,技巧型思想方法与之相对,显得不和谐.还有一些其他分类方法,也都不尽人意.分类有现象分类(人为分类)和本质分类(科学分类)两种,数学思想方法的分类目前尚未达到科学分类的水平,尚处于人为分类甚至模糊分类阶段.其次,是对学生学习,掌握数学思想方法心理过程的研究.我们已经知道,掌握数学思想方法要比掌握数学知识困难得多,大体上需经历潜意识阶段,明朗化阶段,深刻化阶段这样三个主要阶段.但是,我们对学生学习数学思想方法的个案研究非常缺乏,对各类学生学习数学思想方法的心理过程的细节缺乏足够的认识.例如,中学生在学习数学模型方法时有哪些障碍?心理原因是什么?如何进行突破?都值得进行深