偏微分方程数值习题解答

1、李微分方程数值解习题解答1-1如果9(0)=0,则称x(pJ(x)的驻点(或稳定点).矩阵A对称(不必正定)，求证X0是J(x)的驻点的充要条件是：X0是方程组Ax=b的解证明：由。(3的定义与内积的性线性性质，得1、，、()=J(Xox)二二(A(Xx),x。x)-(b,Xox)22二J(x。)(Axo-b,x)(Ax,x)2()=(Axo-b,x)(Ax,x)必要性：由/(0)=0，得，对于任何xRn,有(Axo-b,x)=0,由线性代数结论知，A%-b=0,Ax0=b充分性：由A%=b,对于任何xRn,(0)=(Ax°-b,x)(Ax,x)|一0即Xo是J(X)的驻点.

2、7;1-2补充：证明f(x)的不同的广义导数几乎处处相等.证明：设fL2(I),g1,g2L2为f(x)的广义导数，由广义导数的定义可知，对于任意Xx)wC")，有bb.agi(x)(x)dxn-af(x)(x)dxbb,ag2(x)*(x)dx=-1af(x)*(x)dx两式相减，得到ba(g-g2)(外=0-Co(I)a由变分基本引理，gg2几乎处处为零，即gl,g2几乎处处相等.补充:证明a(u,v)的连续性条件(1.2.21)证明：设|p(x)|-M,|q(x)FM',由Schwarz不等式b'''''|a(u,v)|=|a(p

3、uvquv)dx|£M|u|.|v|M|u|.|v|£2M|u|1.|v|L，其中M=maxM,M习题：1设f'(x)为f(x)的一阶广义导数，试用类似的方法定义f(x)的k阶导数(k=1,2,.)解:一阶广义导数的定义，主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义，因此可得到如下定义：对于f(x)wL2(I)，若有g(x)wL2(I),使得对于任意的"C")，有:g(x)(x)dx=(-1)kbf(x)(k)(x)dxaa则称f(x)有k阶广义导数，g(x)称为“刈的卜阶广义导数，并记g(x)=d-fdx注:高阶广义导数不是通过递推定义的，可

4、能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用L2(I)的完全性证明H1(I)(Hm(I)是Hilbert空间.证明：只证H1(I)的完全性.设fn为H1(I)的基本列，即|fn-fm|l=|fn-fmllo|fn-fmllo>0因此知fn,fn都是L2(I)中的基本列(按L2(I)的范数).由L2(I)的完全性，存在f,gwL2(I)，使l|fn-f1O,|fn-g|oT0,以下证明|fn-f卜0(关键证明g=df)dx由Schwarz不等式，有b|Jfn(x)-f(x)(x)|-|fn-f|0.|0ab_'_'_,|Jfn(x)-g(x)(X)dx|-|fn-fIIoIIIIo

5、a对于任意的Fx)wc：(i)，成立bb“mlafn(x尸(x)dx=laf(x)中(x)dxb,blim.fn(x)(x)dx=g(x)(x)dxn)-aabb由afn(X)(X)dX=-afn(X)(X)dXaa取极限得到bg(X尸(X)dX=-Jbf(x严'(X)dXaa即g(x)=f',即fwH1(I)，且''llfn-f|1=|fn-f|o|fn-fIL>0故H1(I)中的基本列是收敛的，H1(I)是完全的.3.证明非齐次两点边值问题(1228)卜豹+抑=人鼠与下列变分问题等价；求使minJ(u),Beh1姓(一)二廿其中J(u)=-a(u,u)

6、(,f,u)-p(b)jiu(b),证明:边界条件齐次化令Uo(x)=a+。(x-a),则w=u-Uo满足齐次边界条件.w满足的方程为Lw=Lu-Lu。=f-Lu。,即w对应的边值问题为"f-Luo(P)w(a)=0,w(b)=0由定理知，问题P与下列变分问题等价求w*C2HE,J(w*)=minJ*(w)w三HE其中J*(w)=：a(w,w)-(f-Luo,w).而,*,x1,、一,、J(w)=-a(u-uo,u-uo)-(f-Luo,u-uo)2.、=J(u)(Luo,u)-a(uo,u)C而(Luo,u)-a(uo,u)p(b)u(b)C2从而J*(w)=(u)-p(b)u(b

7、)C*则关于w的变分问题P等价于：求u*C2H1,u(a)=使得J(u*):mipJ(u)u-Hu(a)=、工1其中J(u)=2a(u,u)-(f,u)-p(b)u(b)4就边值问题(1.2.28)建立虚功原理解:令uo=。+B(x-a),w=u-uo,则w满足Lw=Lu-Lu0=f-Lu0w(a)=0,w(b)=0等价于VHE(Lw,v)-(f-Luo,v)=0应用分部积分,/ d / dw、 b d / dudw 也.(p£),V)，dx(pUVdx;p&V|adxdxb dwdv , p dxa dx dx还原u,a(w,v)-(f-Luo,v)=a(u,v)-(f,v

8、)(Luo,v)-a(Uo,v)=a(u,v)-(f,v)-p(b)v(b)于是，边值问题等价于：求uH1,u(a)=。，使得3H1,成立a(u,v)-(f,v)-p(b)v(b)=0注:形式上与用V去乘方程两端，应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题Lu =d4 u+辽 <6,'(仪)=0,n(b)ub-0等价的变分问题.解:取解函数空间为H：(I)，对于任意"Ho2(I)用v乘方程两端，应用分部积分，得到(Lu - f ,v)=(d4udx4u - f ,v) = 0而(d4udx4bd u ,v)"vdx =dx3由 bd u dv .v la3.

9、dxa dx3 dxd2u dvdx2 dx22bd u d v ,22 dx =a dx dx22b d u d v ,22dxa dx dx上式为abd2u d2vdx2 dx2uvdx = (f ,v)定义 a(u,v)=： ad2u d2vdx2 dx2uvdx,为双线性形式.变分问题为：求uwH；(I)JvwH：(I)a(u,v)=(f,v)1-41.用Ritz-Galerkin方法求边值问题"2-uu=x0x1u(0)=0,u(1)=1的第n次近似un(x)，基函数i(x)=sin(i二x),i=1,2，,n解：(1)边界条件齐次化：令U0=x,w=u-U0,则w满足齐次

10、边界条件，且Lw=Lu-Lu0=x2-xw(0)=0,w(1)=0n第n次近似Wn取为Wn=2G*i,其中Ci(i=1,2,n)i=1满足的Ritz-Galerkin方程为n'a(i,j)Ci=(x2-x,)j=1,2，,ni11,9osin(i 二 x)sin( j 二 x)dx =a(i,)=0(ij,)dx=ij二0cos(i二x)cos(j二x)dx12 二冗_cos(ix)cos(jx)dx冗一二sinixsinjx由三角函数的正交性，得到2.22i冗a(i,j)二V0,而(x2-x,)=；x(x-1)sin(j二x)dx=77273K-1)j-1(j二)于是得到)j为偶数(

11、x2-x,j)Cj二ja(j,j)，一8(j二)3(1j2二20最后得到叱Un(x)2-8sin(2k-1)二x33_2k=1(2k-1)3二31(2k-1)22 .在题1中，用u(1)=0代替右边值条件U(x)是用Ritz-Galerkin方法求解相应问题的第n次近似，证明un(x)按L2(0,1)收敛到u(x)，并估计误差.证明：Un对应的级数绝对收敛，由sinMx的完全性知极限就是解u(x),其误差估计为n33二n3 .就边值问题(1.2.28)和基函数邛i(x)=(x-a)i(i=1,2,.,n)，写出Ritz-Galerkin方程解：边界条件齐次化，取Uo=a+F(X-a),W=U-

12、Uo,w对应的微分方程为Lw=Lu-Lu0=f-Lu0，、-'，.、_w(a)=0,w(b)=0对应的变分方程为a(w,v)-(f-LUo,v)=0Lu。=-Jpdu0)qu。dpq:(x-a)dxdxdxbdpb'v=-p(b)v(b)apv(x)dxadxa变分方程为ba(w,v)=(f,v)p(b)v(b)-pv(x)-qu0vdxa取*i(x)=(x-a)i,i=1,2,.,n,则Ritz-Galerkin方程为'a(i,j)Cj=(f,i)P(b)i(b)j(x - a)dxbb-p(x)i(x-a)-dxq(x)aaa( i, j) = ap ij q i

13、jdx取p=1,q=0,f=1,具体计算bn=1a(1,1)=1dx=(b-a)a12-12d1=a(b-a)(b-a)-(b-a)="(b-a),11C1=2(b-a)，即解u=/2(x-a)n=2:b2a(1,)=(b-a),a(1,)=也2(*-a)dx二(b-a)2aa( 2, 2b243)=4(x-a)dx(b-a)b2d2 二 a (x - a) dxa39b.(b-a)-2(x-a)dxa1。一o-(b - a) (b - a) -(b - a)2 = 1 (b - a)3得到方程组为b-a(b-a)2(b-a)243一(b一a)3八C21小、22(b-a)1Z.3Mb

14、-a)、3特另U取a=0,b=1,有43),工”1c2JT21<3>求解得到3c21,C2:-1,ci=1621o其斛为u2-0(x-a)-2(xa)Ch2椭圆与抛物型方程有限元法§1.1用线性元求下列边值问题的数值解2"-yy=2sinx,0x142y(0)=0,y=0、一一、-,_此题改为-yy=1,y(0)=y(1)=0,h=1/4解：取卜=1/2,Xj=jh(j=0,1,2),y,y2为未知数.Galerkin形式的变分方程为(Lu,v)=(f,v),其中(Lu,v)=1 "-u u vdx + 0- 0uvdx,(f,v)= 02sin-xv

15、(x)dx1"',11''1''又-0uvdx=uv|0。口丫*二。“故1,''因止匕 a(u,v)= f0(uv + uv)dx在单元Ii=X,Xi中,应用仿射变换（局部坐标乃=±_区h节点基函数为1-，"x三x三X1I_hi(x)二,二X,xjx±x(i=1,2,3)h0,othera( i, i)xix2.2c +,222dx4iihJ0h22 冗i2i2取h=i/2，则计算得ad)=4ii2a(i,2)=0h(V)dh4i二iii(f,、)=2hfosin(0+h：)%t+j0sin3(3+

16、)(i-)d：ihi二(i)=sindsin(i-)d0204iii(f,2)=2h0sinz(i7)d0222代数方程组为aCi)Wi,%)a(i,a(2,2)、“2)八y2''(f/i),(f/2)>代如求值.取卜=1/4,未知节点值为Ui,U2,U3,U4,方程为i，j)Ui=(f,j)j=1,2,3,4应用局部坐标-表示,a("11)=式一0h2h91h)d02Tl二2h7(")2*4d+2471)d为(142JI496=4160(1-)d2n式)-4拓系数矩阵为A=diag4取f=1,(f,1j)=h0dji2兀一,89612JI2JI24&

17、#39;96)h0(1一)d=1 1二_ sinL(2 02j 1 ")d(f,1)=h02sin2(Xjh)d1二h02sin-(Xj,h)(1-)d11(j)(j1)二2oSinJ8-sin-g)】d1 i.,二(j1)j18r/(j1)o二oSin；d=二一cos()2 082二8+2.就非齐次第三边值条件n.，、，n.u(a):1u(a)=1,u(b):2u(b)=2导出有限元方程.解:设方程为Lu=-(pu')'+qu=f则由(puj,v)=puv|b-(pu,v')=p(b)v(b)p2-a2u(b)''-p(a)v(a)1-：1u(a)-(pu,v)变分形式为：-vH1(a,b)''(pu,v)(