2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

1、高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制 说明五个根本步骤求轨迹方程 ，称之直接法例1点A( 2,0)、B(3,0).动点P(x, y)满足PA PB x2，那么点P的轨迹为A.圆 B椭圆 C 双曲线D .抛物线解：PA(2 x, y),PB(3x, y), PA PB (2 x)(3x) y22x x 6y2.由条件，x2x26 yx2，整理得y2x 6 ,此即点p的轨迹方程，所以p的轨迹为抛物线，选 D.二、定义法 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线如圆、椭圆、双曲线、抛物线等的定义或特征

2、，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程例2 ABC中，A、 B、 C的对边分别为a、b、c，假设a,c,b依次构成等差数列，且a c b，AB 2，求顶点C的轨迹方程.解：如右图，以直线 AB为x轴，线段AB的中点为原 点建立直角坐标系由题意，a,c,b构成等差数列，2c即|CA| |CB | 2| AB | 4，又CB CA， C的轨迹为椭圆的左半局部.在此椭圆中，a 2,c1，3， 故C的轨迹方程为1(x0, x2).l上,三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x, y来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法,

3、例3如图，从双曲线C：x2 y21上一点Q引直线l : x y2的垂线，垂足为 N，求线段QN的中点P的轨迹方程解：设 P(x, y),Q (为，y1)，那么 N(2x X1,2y yj. N 在直线2x x1 2y y1 2.又 PN l 得-一山 1,即 x y y1 x1 0. x x-i联解得Xiyi3x y 22.又点Q在双曲线C上,3y x 2(3X 口)2(3y 口)21，化简整理得:2 22 22x 2y 2x 2y 10 ,此即动点P的轨迹方程四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而 得到动点的轨迹方程例4点A( 3,

4、2)、B(1, 4)，过A、B作两条互相垂直的直线 h和12，求h和12的交点M的轨迹方程解：由平面几何知识可知，当 ABM为直角三角形时，点 M的轨迹是以AB为直径的圆此圆的圆心1 52即为AB的中点(1, 1)，半径为一 AB ，方程为(x 1)2 (y 1)213.故M的轨迹方程为2 2(x 1)2 (y 1)213.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量参数，使所求动点的横、纵坐标x, y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到 x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程例5过抛物线y2 2px p 0的顶点0作两条互相垂直的弦 OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.解：设M (

5、x,y)，直线OA的斜率为k(k10)，那么直线OB的斜率为.直线OA的方程为y kx，ky kx由 y2 2px解得2pk2，即2pkA(書普)，k k2同理可得B(2pk , 2pk).由中点坐标公式,pk2pkpk2pk，消去k，得y2 p(x 2p)，此即点M的轨迹方程.六、交轨法可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消求两曲线的交点轨迹时， 去参数来得到轨迹方程，称之交轨法2x例6如右图，垂直于x轴的直线交双曲线2a石1 于:LA1 OA2 .M、N两点，A , A2为双曲线的左、右顶点，求直线A1M与NA2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状解：设 P(

6、x, y)与 M (eyj, N(xyj，又 A, a,0),A2(a,0)，可得X得y22Xi2(x2 a2)ax.又-a2 21 yi 12 . 2 1， b2b 2yi2 (aax),代入得b2 ( 22 (x222ya2),化简得y21，此即点P的轨迹方程当a b时，点P的轨迹是以原点为aab圆心、a为半径的圆；当a b时，点P的轨迹是椭圆直线A1M的方程为yyiXi(x aa)；直线A2N的方程为yXiyi(x aa).高考动点轨迹问题专题讲解一选择、填空题1.F1、F2是定点，厅汗2| 8，动点M满足MFj|MF2|8，那么动点M的轨迹是A椭圆B直线c圆D线段2.设M (0,5),

7、N(0,5) , MNP的周长为36,那么MNP的顶点P的轨迹方程是2222Axy1 x0xB-y 1x0251691441692222Cxy1 y0xDy 1y0169251691443与圆x2 y2 4x 0外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;2 2x y4. P在以Fi、F2为焦点的双曲线1上运动，那么 Fi F2P的重心G的轨迹方程是 1695圆C: (x . 3)2 y2 16 一点A(、3, 0 )，圆C上一动点Q AQ的垂直平2分线交CQ于 P点，那么P点的轨迹方程为 . y2 146.A ABC的顶点为 A( 5, 0 )、B(5, 0 ) , ABC的切圆圆心在直线 x

8、 3上，那么顶2 2点C的轨迹方程是； 1 x 391622变式：假设点P为双曲线 J 1的右支上一点，Fi、F2分别是左、右焦点，那么PFiF2的切圆圆916心的轨迹方程是;推广：假设点2 2xyP为椭圆1上任一点，F1、F2分别是左、右焦点，圆 M与线段RP的延长线、线259段PF2与x轴分别相切，那么圆心 M的轨迹是 7动点M到定点A(3,0)的距离比到直线 x 4 0的距离少1，那么点M的轨迹方程是 y212x8抛物线y 2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是 kx y4k289.过抛物线2y 4x的焦点F作直线与抛物线交于 P、Q两点，当此直线绕焦点 F旋转时,弦PQ中点的轨

9、迹方程为解法分析：解法1当直线PQ的斜率存在时,设PQ所在直线方程为yk(x 1)与抛物线方程联立,也满足解法2设 P(x1,yJ ,2 由y1 y；4x1,得(y14x2.y2)(y1 y2)4(X1 X2)，设 PQ 中点为 M(x,y),当 Xi X2时，有 2y 上 y2 4，又 kpQ kMF丄,，X1 X2X 1所以，y2，即y22(x 1).x 1当Xi X2时，易得弦PQ的中点为F(1,0)，也满足所求方程.故所求轨迹方程为 y22( x 1).10.过定点P(1,4)作直线交抛物线C : y 2x2于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,那 么点M的轨迹方程为.

10、y 4x 4二解答题1.一动圆过点P(0, 3)，且与圆x2 (y 3)2 100相切，求该动圆圆心 C的轨迹方程.定义法2X2过椭圆362y_91的左顶点 A1作任意弦 A1E并延长到F，使|EF|AE|, A2为椭圆另一顶点,连结OF交A2E于点P , 求动点P的轨迹方程.2 23.、A2是椭圆 牛 占 1的长轴端点，P、Q是椭圆上关于长轴 A1A2对称的两点，求直线PA1和QA2a b的交点M的轨迹.交轨法4.点6是厶ABC的重心，A(0,1), B(0,1)，在x轴上有一点 M,满足|MA| |MC| , GMABR .1求点C的轨迹方程；2假设斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点

11、 P、Q且满足I AP I | AQ| ,试求k的取值围.解：1设C(x, y)，那么由重心坐标公式可得 G(x,$).3 3 GM AB，点 M 在 x 轴上， M (-,0).3/ |MA| | MC | , A(0,x 22x22(x 3) y ,即-y y 1.2故点C的轨迹方程为31.直接法2设直线I的方程为ykx1，P(xuyi)、Q(X2,y2), PQ 的中点为 N .由yx2kx b,3y23.消y，得(12 23k )x6kbx3(b2又x-12 236k b 12(12 23k )(b1)0 ,即 13k2b20.X26 kb1 3k23kb b二 y1 y2 k(x1

12、X2)2b6k2b3k22b2 ?3k1 3k21 3k2).T AP| | AQ| , AN PQ , kANb1 3k23kb1 3k21.2 2 1 3k 2b，又由式可得 2b b3k2 2，解得1故k的取值围是5.平面上两定点M(0,2)、N(0,2) , P为一动点，满足MP MNPN MN .I求动点P的轨迹C的方程；直接法n假设A、B是轨迹C上的两动点，且ANNB .过A B两点分别作轨迹 C的切线,设其交点为Q ,证明NQ AB为定值.MN (0,4) , PN ( x,2 y),解: ( I)设 P(x, y) 由 MP (x, y 2),MP MN 4y 8 ./ MP

13、MN(y 2)2 整理，得 x2 8y.即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为X2 8y.6. O为坐标原点，点E( 1,0)、F (1,0),动点A、M、N 满足 | AE | m| EF | m 1，MN AF 0 ,W的方程.ON 1(OA OF) , AM /ME 求点 M的轨迹解: mN AF o, ON (OA OF), MN垂直平分AF.又AM / ME，点M在AE上, |AM| |ME | | AE | m| EF | 2m , | mA | | MF | ,| ME | MF | 2m | EF | ,点M的轨迹 W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴 a m，半焦距c 1,.2 2

14、 2 2 ,b a c m 1 .2 2Xy点m的轨迹w的方程为飞諾 1 m 1.m m 17 .设x,y R , i, j为直角坐标系x, y轴正方向上的单位向量，假设向量a xi (y 2) j , b xi (y 2)j ,且 |b| 8.1求点M (x, y)的轨迹C的方程；定义法2过点(0,3)作直线I与曲线C交于A、B两点，设OP OA OB，是否存在这样的直线I，使得四边 形OAPB是矩形？假设存在，求出直线l的方程，假设不存在，试说明理由.2 2解：1x y 1;12 162因为|过y轴上的点(0,3) 假设直线l是y轴，那么A,B两点是椭圆的顶点.OP OA OB 0,所以P

15、与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.故直线I的斜率存在，设I方程为y kx 3 , A(x1, y1), B(x2, y2).(18k)24(4 3k2)( 21) 0 恒成立,y kx 3,由 X2y 消 y 得(4 3k2)x2 18kx 21 0,此时1,12 16且 x1 x218k4 3k2x1x2214 3k2OP OA OB，所以四边形 OAPB是平行四边形.假设存在直线I，使得四边形 OAPB是矩形，那么OA OB，即OA OB；OA (X1,yJ,OB 区2),二 OA OB 为x2 y1y20.即(1 k2)x1x2 3k(x1 x2)(1 k2) ( - 2143k 3

16、k (18k )4 3k2)9 0 . k2，得 k16故存在直线I : y使得四边形OAPB是矩形.&如图，平面的定点F到定直线的距离为2,定点E满足：| EF |=2，且EF动点，点M满足：FM MQ，点P满足:PQ EF , PM FQ 0 .I丨建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程;II假设经过点E的直线l1与点P的轨迹交于相异两点A、BY AFBI于G,点Q是直线I上一时，求直线l1的斜率k的取值围.解：1以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xoy，设点 P(x, y),那么 F(0, 1), E(0, 3), I:y 1 ./ FM MQ , PQ /

17、 EF ,二 Qx，D，M。.x PM FQ 0,.(-)2x ( y) ( 2)即所求点P的轨迹方程为x24y .设点 A(x“ yJ,B(X2，y2)(X1 x?)设AF的斜率为k1, BF的斜率为k2，直线l1的方程为ykx 3y kx 3由 26 分 得x2 4kx 120x2 4yx1 x2 4kx1x212 -7分y1 y22 2X1X2X1X2 212( 1 2)9444% y2 kg x2)6 4k2 68分FA (X1,y1), FB (x?,y21)FA FB x1x2(y11)(y21)X1X2%y2(y1 y?)112 9 4k26 14k28又 |FA| |FB| (

18、y11)(y21)yy(y1 y2)194k26 1 4k216QCUFA 2FB4k 8k22 .10分L/UO 22|FA|FB | 4k 16k 4由于1 cos即1k22.2 11分42k242k2222k22 2解得k4 8或k4 813分k 42直线l1斜率k的取值围是k|k4 8,或k4 89如下列图，定点F(1, 0)，动点P在y轴上运动，过点 P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且PM PF 0，|PM | | PN | 1求动点N的轨迹方程；2直线I与动点N的轨迹交于 A、B两点，假设OA OB 4，且4 6 | AB | 4、30，求直线I的斜 率k的取值围.| |P

19、N |得 M( x,0),PF (1,舟)，20 ,即动点N的轨迹方程为y 4x 解：1设 N(x, y)，由 | PMP(0, *)，PM ( x, -2y),又 pM pF 0 , x 410点F(0, 1)，点M在x轴上，点N在y轴上，P为动点，满足 MN MF 0, MN MP 0 1求P点轨迹E的方程；2将1中轨迹E按向量a (0, 1)平移后得曲线 E，设Q是E上任一点，过Q作圆x2 (y 1)2 1 的两条切线，分别交 x轴与A、B两点，求|AB|的取值围.解：1设 M (a, 0)、N(0, b)、P(x,y)，那么 MN ( a,b)、MF ( a, 1)、MP (x a,

20、y).由题意得(a, b)(a, b)(a,(x1) 0,a,y) (0, 0).b 0,y,12y 4x，故动点P的轨迹方程为1 2 y 4x.OT上移动，且OA OB11如图A(m, ,3m)和B(n, 3n)两点分别在射线 OS、O为坐标原点，动点 P满足OP OA OB .1求m n的值；2求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线?3假设直线l过点E(2, 0)交2中曲线C于M、N两点，且ME 3EN，求|的方程.1mn 一解：1由得 OA OB (m,、3m) (n,. 3n)2设P点坐标为(x, y)x 0，由 OPOA OB 得(x, y) (m, ,3m)(n, .3 n)

21、(mm n,消去m ,.3( m n)n可得x2又因mn 1 , P点的轨迹方程为x242y_31 (x 0).yOxV?P的右支.它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为 2，焦距为4的双曲线x3(3)设直线I的方程为xty2，将其代入C的方程得3(ty 2)2 y23(3t2 1)y212ty 90,易知(3t21)0否那么,直线l的斜率为.3，它与渐近线平行，不符合题意2 2又 144t36(3t1)236(t1)0 ,93t2 1设 M(,y1),N(X2,y2)，那么 牡 二123tl与C的两个交点M , N在y轴的右侧2X1X2 2)(ty2 2) t y22t(%y2)

22、4t23tl 3t2 1二 3t2 i，又由x1 x2 0同理可得0 t由ME3EN 得(2 x1,yi)3(2X2, y2),Xiyi3(2 X2)3y2由yiy23y2 y22y2由 yiy2(3y2)y23yf42L得3t2 i93t22y2y23t26t3t2 i3?i消去y2得36t22 2(3t i)33t2 i解之得：t2ii52，满足0 t故所求直线i存在，其方程为:2、5 0 或.15x y 2. 5 0 .12 .设 A,B分别是直线 y2,5x5和y晋x上的两个动点，并且 荷逐，动点p满足OP OAOB .记动点P的轨迹为c.I求轨迹C的方程;II假设点D的坐标为0,16

23、，MN是曲线C上的两个动点，且 DM DN，数 的取值围.解：I设 P(x, y)，因为 A、B分别为直线yZV x上的点，故可设52爲A(Xi,Xi),5B(X2,容 X2).5/ OP OAOB ,a/20 ,20 .II设 N s, t 丨，Mx,Xi X2,2 5/U (xi5二(X X2)2XiX2X2).4(Xi5即曲线c的方程为y，那么由DM故 x s, y i6 (t i6).XiX2x,.5X2)220.x225DN，可得x, y-16= (s , t-16)./ M、N在曲线C上,2 .2s- L 1,25162 2s(t 1616)225161.2 2 2消去s得(16

24、t )( t 1616)116 16171535又t 4,4 .解得-253故实数 的取值围是351.531.13设双曲线笃a1的两个焦点分别为F1、F2,离心率为2.1求此双曲线的渐近线11、*的方程；y3x32假设AB分别为11、12上的动点，且2| AB|5|吋2 |，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线.x2753y2 125提示：|AB|10y12y210,又y1y2那么y y233(x2 x1)宀y1帥 x2).又 2x x-iX2， 2y y1 y2代入距离公式即可.3过点N(1, 0)是否存在直线|，使|与双曲线交于 P、Q两点，且OP OQ0 ,假设存在，求出直线由

25、题意知0,且17151，解得t152l的方程；假设不存在，说明理由. 不存在14. 点F(1, 0 )，直线l : x 2，设动点P到直线l的距离为d , | PF | d，且-d - . 1232求动点P的轨迹方程；2 215. 如图，直线l : y kx 1与椭圆C :ax y 2 a 1丨交于A、B两点，以OA OB为邻边作平行四边形OAPBO为坐标原点.1假设k 1，且四边形OAPE为矩形，求a的值；a 32假设a 2，当k变化时k R，求点P的轨迹方程.2x2 y2 2y 0 y 016 .双曲线2y2 1 a 0 b2|OA|2 |OB|2422|OA|2 |OB|2 . 12假设

26、双曲线C上存在关于直线I : y解：I依题意有:ca2,2 ab24 22a b32.22abc .,b 0的离心率为2 ,其中A(0, b),求双曲线C的方程;kx 4对称的点，数k的取值围.解得：a 1,b. 3, c 2.B(a, 0)所求双曲线的方程为 x2-1.6分3n当k=0时，显然不存在.7分1当kM0时，设双曲线上两点 M N关于直线l对称.由l丄MN直线MN的方程为y x b .那么kM N两点的坐标满足方程组1 .y x b,2222由k消去 y 得(3k1)x 2kbx (b 3)k0. 9分3x2 y23.显然 3k2 1 0,.(2kb)2 4(3k2 1) (b2

27、3)k20 .即 k2b2 3k2 1 0.设线段MN中点D x0,y0Xokb那么3k2 13k2b3k2 1tD Xo, y在直线l上,3k2b3k2 1k2b3k2 14 即 k2b=3k2把带入中得k2b2+bk20,解得 b 0或 b1 .- 3k： 10或k23k2k2-1 .即 k 彳或 k 2，且k工0.k的取值围是3113)U(0)U(0,；)U(=3223,). 1舒17 .向量 OA =(2 ,0),OC = AB =(0 , 1)，动点M到定直线y -1的距离等于d,并且满足yo2OM AM =K CM BM -d ，其中O为坐标原点，K为参数.I求动点 M的轨迹方程，并判断曲线类型;n如果动点 M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足w ew 彳，数k的取值围.3ON12过抛物线y 4x的焦点作两条弦AB、1(OC OD).CD，假设AB CD 0 ，OM -2(OA OB)，求证：直线MN过定点；2记1中的定点为Q，求证AQB为钝角;分别以AB、CD为直径作圆，两圆公共弦的中点为H，求H的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线.19 . 05年如图， M是抛物线上 y2 x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于