2017步步高大一轮复习讲义数学5.4

1、第五章平面向st§5-4平面向量应用举例根底知识自主学习知识梳理1 .向量在平面几何中的应用i用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a II b? a= b? xi_y2二x2yi = 0, 其中 a= (xi, yi), b = (X2, y2), b丰0垂直冋题数量积的运算性质a丄b? a b = 0? X1X2 + yiy2 = 0,其中 a= (xi, yi), b = (X2, y2)，且 a, b 为非零向 量夹角问题数量积的定义a bcos 0= “ - 0为向量a, b的夹角，其中a, b1 a| b|为非零向量长度

2、问题数量积的定义| a| =需=Vx2 + y2,其中a= (x, y), a为非零向量用向量方法解决平面几何问题的步骤:设向量运算复原平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题.2 .平面向量在物理中的应用1由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似， 可以用向量的知识来解决.物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即 W = Fs=|F|s |cos 0 B为F与s的夹角.3 .平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直

3、的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此根底上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V或“x )假设AB / AC，那么A, B , C三点共线.(V )(2)向量b在向量a方向上的投影是向量.(x )假设a b >0 ,贝U a和b的夹角为锐角，假设 a b v 0 ,贝U a和b的夹角为钝角.(x )在 ABC中，假设AB BC<0，那么 ABC为钝角三角形.(x )平面直角坐标系有三个

4、定点A(- 2 , -1), B(0, 10) , C(8,0)，假设动点P满足: OP=>>>OA + t(AB + AC), t R，那么点 P 的轨迹方程是 x y+ 1 = 0.( V )| AC|cos A =- 16，所以 AB2 + AC2 + 32 = 100 , AB2 + AC2 = 68.又 D 为边 BC 的中点, 所以AB + AC = 2AD，两边平方得 4| AD| 2 = 68 32 = 36，解得 | AD| = 3，应选 D.3 .设0是厶ABC部一点，且OA + OC = 2OB，那么 AOB与厶AOC的面积之比为答案 1 : 2A D

5、C解析设D为AC的中点, 如下图，连接0D ,那么 0A + OC = 2 0D.又 0A + OC = 2 0B ,所以0D = 0B，即0为BD的中点，从而容易得 AOB与厶AOC的面积之比为1 : 2.4 .平面上有三个点 A( 2 , y), B 0 , 2 , C(x, y),假设AB丄BC，那么动点C的轨迹方程为答案 y2 = 8xx丰0y->y解析由题意得AB = 2 , , BC = x ,又AB 丄 Bc , Ab bc = 0,y y2即 2 , 2 -x, 2 = o,化简得 y = 8xx 丰 0.5 .一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为10

6、0 m，且F与s的夹角为60 °贝U力F所做的功W =J.答案 300< F, s>解析 W = F s =|F| s|cos=6 x 100 x cos 60 °= 300J题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例1O是平面上的一定点，A, B, C是平面上不共线的三个动点，假设动点P满足OP=OA + KAB + AC,氏0,+s，那么点P的轨迹一定通过 ABC的B .外心D .垂心A .心C .重心 答案 C解析 由原等式，得0P OA = KAB + AC,即AP = KAB + AC,根据平行四边形法那么， 知AB+ AC是厶ABC的中线 ADD

7、为BC的中点所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过 ABC的重心.引申探究AB AC在本例中，假设动点 P满足OP= OA + K t + T ， I ABI I AC|+ 8，那么点P的轨迹一定通过厶ABC的答案心t t AB解析由条件，得OP OA =I AB|AC t+ ,即 AP = I AC|ABKACAB ACt +,而和T"I AB| | AC| AB| | AC|分别表示平行于 Ab , Ac的单位向量,AB AC故 + 平分/ BAC，即AP平分/ BAC，所IAB| i aci以点p的轨迹必过 ABC的心.思维升华 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐

8、标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系.(1)在平行四边形 ABCD 中, AD = 1，/ BAD = 60 °E为CD的中点.假设AC BE=1，贝V AB =平面四边形 ABCD中，AB + CD = 0 , AB AD AC = 0,那么四边形 ABCD是A 矩形B 梯形C .正方形D .菱形1答案(1)2 (2)D1 -t解析 1在平行四边形 ABCD中，取AB的中点F，那么BE = FD , a BE = FD = AD ?AB ,又 AC = AD + AB , AC BE = (AD + AB) (AD AB )t 21 t t t t

9、1 t 2=ad2 - 2ad ab + AD AB - 2AB2T 21 T T1 T 2=| AD| 2 + 2l AD| AB|cos 60。-pAB|2=1 + 2x2l ABI 221 AB|2 = 1.1 t ttt2 - | AB| | AB| = 0,又 | AB| 工 0,.|AB|ABCD 是平行四边形，(AB AD) AC =是菱形.(2)AB + CD = 0? AB =- CD = DC?平面四边形DB AC = 0? DB丄AC，所以平行四边形 ABCD题型二向量在解析几何中的应用例 2(1)向量 OA = (k, 12) , OB = (4,5) , oC = (

10、10 , k),且 A、B、C 三点共线，当 k<0时，假设k为直线的斜率，那么过点(2 , - 1)的直线方程为 设0为坐标原点，C为圆(x 2)2 + y2 = 3的圆心，且圆上有一点 M(x , y)满足OM CM =。，那么 x=答案(1)2 x + y - 3 = 0(2) 土 3解析(1) / AB = OB - OA = (4 - k, - 7),BC = OC - OB = (6 , k - 5)，且 AB / BC ,- (4 k )(k 5) + 6 x 7 = 0 ,解得k = - 2或k = 11.由k<0可知k = - 2，那么过点(2 , - 1)且斜率

11、为一2的直线方程为y + 1 =-2(x - 2)，即2x+ y - 3 = 0.(2) / OM CM = 0 , 0M 丄 CM , OM是圆的切线，设 OM的方程为y= kx , 由紀=g，得k =朋，即即=恥.思维升华 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现， 多用于“包 装，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去 “向量外衣 ；(2)工具作用，利用a丄b? a b = 0； a / b? a =?b(b丰0)，可解决垂直、平行问题.跟踝训练 2 圆 C： (x 2)2 + y2 = 4，圆 M : (x 2 5cos ®2 + (y 5sin

12、 =1( R), 过圆M上任意一点P作圆C的两条切线 PE, PF，切点分别为 E , F，那么PE PF的最小值是 ( )A . 5B . 6C. 10D . 12答案 B解析 圆(x 2)2 + y2 = 4的圆心C(2,0)，半径为2 ,圆 M(x 2 5cos 0)2 + (y 5sin =1，圆心 M(2 + 5cos 0, 5sin 见 半径为 1 , / CM =5 >2 + 1，故两圆相离.如下图，设直线 CM和圆M交于H, G两点，那么 PE PF最小值是 He Hf , HC = CM 1 = 5 1 = 4 , HE = HC 2 CE2 = -'16 4

13、= 23 ,CEsin / CHE = CH cos / EHF = cos 2 / CHE = 1 2sin 2/ CHE =-,2-> -> -> -> 1B.HE HF = | HE| | HF |cos / EHF = 2 '3 x 2 '3 x 5 = 6，应选题型三向量的综合应用y > x,例3 (1)x , y满足 x + y< 2 ,假设OA = (x,1), OB = (2 , y),且OA OB的最大值是x > a,1B.31C.4函数y = sin( wx +妨在一个周期的图象如下图，M、N分别是最高点、最低点，O

14、为坐标原点，且OM ON = o,那么函数f(x)的最小正周期是答案D (2)3解析(1)因为 OA =(x,1), OB = (2 , y), 所以 OA OB = 2x + y,令 z=2x + y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影局部所示,观察图象可知，当目标函数z= 2x + y过点C(1,1)时，Zmax = 2 x 1 +1 = 3，目标函数z = 2x + y过点F(a , a)时 ,zmin = 2 a + a = 3 a,所以3 = 8 x 3a，解得1a = ;，应选 D.81由图象可知，M ,解得XN = 2，所以函数1 , N(xn, 1 ),所以 OM ON

15、=, 1(xn, 1) = xn 1 = 0 ,1f(x)的最小正周期是2 x 2 = 3.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点a,b满足| OA| = | OB| = OA Ob=2，那么点集P| OP = QA + pOB , |开+ | 4 w 1 ,入 让R所表示的区域面积是(A.2 ：2C .4；'2B. 2 '3D . 4 '' 3答案 D>>> >解析 由 | OA| =| OB| = OA OB

16、 = 2 ,知OA , OB > = 3.3当存0 ,详0 , H尸1时,在厶OAB中，取0C = QA,过点C作CD / OB交AB于点D，作DE / OA交OB于点E,>> >CD AC CD 2 2 入>>显然OD = QA + CD.由于OB = AO，Ob =，二 CD = (1 ROB ,OD = QA + 1 ROB = ROA + QB = OP,R+尸1时，点P在线段AB上，0 ,说0 , R+尺1时，点P必在 OAB包括边界.考虑| R + |廿< 1的其他情形，点 P构成的集合恰好是以 AB为一边，以OA, OB为对角 线一半的矩

17、形，1其面积为 S = 4 S oab = 4 X X 2 X 2sinn典例 A, B , C , D是函数y = sin +妨0, 0 <2 一个周期的图象上的四个n点，如下图，A 6，0 , B为y轴上的点，C为图象上的最低点， E为该函数图象的一->n个对称中心，B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为12，贝U 40的值为A.3= 2 ,n0= _3B .3= 2,n0= _6C .13 = 2，n0= _旷3D .13= 2，n0=屮6卅题路线图E为函盘宙象的对称 柞出点的对称点VT 中心*为图gLjt篠赢D.B科店对母CD4fe .r紬上CD和MB对称 的投袴是希r

18、g Ir* IF=*|T= tt|uf=2y sinter .于和v= .in阳辜比檢 2 " 6qy a |解析 由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点为 M ,作MF丄x轴，垂足为F,nnn c如图.B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为12，知OF = 12.又A 6，0，所以T n nAF =：=-=匚，所以3= 2.同时函数y = sin(cox +图象可以看作是由y= sincox的图象42 o 4向左平移得到，故可知=£=n,即$=no 263答案 A温馨提醒 对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周 期性以及图形中点的

19、位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系.思想方法感悟捉筒、方法与技巧1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运 用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2 以向量为载体求相关变量的取值围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类 综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的 一般方法.失误与防1 注意向量夹角和三角形角的关系，两者并不等价.2 注意向量共线和两直线平行的关系.3 利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况.练出高分A组专项根底训练时间：40分钟1 .在 ABC

20、中，侣C + BA AC = | AC| 2，那么 ABC 的形状一定是A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形答案 C解析由侣C + BA) AC = | AC| 2,得Ac (Bc + Ba -Ac)= o ,即 Ac (Bc + BA + Ca)= 0,2 Ac Ba = 0,AC 丄 BA , /. A= 90 °又根据条件不能得到I ABI = | AC| ,故厶ABC - -定是 :直角三角形.2 .点A(- 2,0) , B(3,0)，动点P(x , y)满足PA PB = x2，那么点P的轨迹是()A 圆B 椭圆C .双曲线D .抛物线答案 D解析

21、/ PA= ( 2 x, - y), PB = (3 x, - y),二 PA PB = ( 2 x)(3 x)+ y2 = x2, y2 = x + 6.即点P的轨迹是抛物线.3 .在 ABC所在平面上有一点 P,满足PA + PB + PC= AB，那么 PAB与厶ABC的面积的比值是2C.33D.4答案 解析 由题意可得PC = 2AP,所以P是线段AC的三等分点靠近点A,1易知 S PAB = 3S ABC,即 SPAB:SABC = 1 : 3.4 .共点力Fi = (lg 2 , lg 2) , F2 = (lg 5 , lg 2)作用在物体 M上，产生位移s = (2lg 5,1

22、)，那么 共点力对物体做的功W为()A . lg 2 B . lg 5 C. 1 D . 2答案 D解析 F1 + F2 = (1,2lg 2).-W = (F1 + FQ s = (1,2lg 2)(2lg 5,1)7tA.-B，127tC.2767t7t答案 Bn7 n解析 由题意知 M(12, A), N(12, - A),f fn 7 n 少又OM ON =石X 衬-A2 = 0，A12ff156 .在 ABC 中，AB = a, AC = b, a b<0 , S abc =, | a| = 3 , |b| = 5，那么 / BAC答案 150解析 / AB AC<0 ,

23、 / BAC 为钝角,1又/ Sabc =a|b|sin15/ BAC =一4 sin / BAC = 2，/ BAC = 1507 .单位圆上三点 A, B , C满足oA + oB + oC = 0,那么向量oA , OB的夹角为答案120 °解析 A, B, C为单位圆上三点，| OA| = | OB | = | OC | = 1 , 又 OA + OB + OC = 0.OC = OB + OA.> > > > > > > OC2 = (OB + OA)2 = OB2 + OA2 + 2OB OA,可得 cos OA, OB=乙.向量

24、OA, OB的夹角为120 °8 .设点 O 是厶 ABC 的外心，AB = 13 , AC = 12，那么 BC AO =25O ABC的外心，设答案y 解析 设AB , AC为平面一组基底如下图,M为BC中点，连接 OM、AM、OA,那么易知OM丄BC.又 Ao = Am + mo , BC Ao = Bc (am + MO) = Bc Am + Bc mo =bc aM (其中 Bc mo = 0)f f 1 f f=(AC AB) 2(AB + AC)1 f 2 f 212225=2(ac2 ab2)= 2 x (12 2 13 2)= y.9 .点P(0 , 3)，点A在x

25、轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA AM = 0 , AM3 f=MQ，当点A在x轴上移动时，求动点 M的轨迹方程.解 设M(x, y)为所求轨迹上任一点,设 A(a,O), Q(0, b)(b > 0),那么PA = (a,3), AM = (x a, y), MQ = (-x, b y), 由嵌 AM = 0,得 a(x a)+ 3y = 0. 由 AM = 3MQ，得3 33 b > 0, y >0 ,(x a, y)= 2( x, b y)= 2x， b33y=2y2b，x把a = 2代入，得2xx + 2 + 3y = 0 ,整理得y =?2(XM 0).所以

26、动点M的轨迹方程为y=;x2(x 丰 0).10 .向量a = sin x,34 , b = (cos x, 1).(1)当 a / b 时，求 cos 2x sin 2 x 的值;设函数f(x) = 2(a + b) b,在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.假设a= , 3,r n0, 3的取值围./6nb = 2 , sin B =-，求 f(x) + 4cos 2 A + 6 x 36解(1)因为a / b ,3所以cos x + sin x = 0 ,43所以 tan x 4.22cos x 2sin xcos x 1 2tancos x sin 2 x =. 2

27、2=2_sin x + cos x 1 + tan x 5n 3(2)f(x)= 2(a + b) b =2sin 2x + ； +由正弦定理sinSi，得sin A 丄2，所以a=n，或43 nA=.4因为b > a,所以f(x) + 4cosn2 A+ 6 = 2sinn2x+ 一412,n因为x 0 , 3，所以2x + 47t11 n12 ，3n 1 w f(x) + 4cos 2A + 6 w 2 所求围是21,2 2B组专项能力提升时间：20分钟11 .a, b是两个互相垂直的单位向量，且c a= 1 , c b = 1 , | c| =2，对任意的正实数t,那么1c + t

28、a + 一 bt的最小值是答案1/ c + ta+ b2 2 丄 t2 2 丄 =c + t a + t?b + 2 ta2 2 1 2 c + fc b + 2a b = 2 + t + 2 + 2t + ->2 +解析2t2+ 222t t = 8(t> 0),当且仅当t22t = *即t = 1时等号成立，所以1 c+ ta + b的最小值为22.12 .I a| = 2| b|丰0,且关于x的函数1 3 1 2f(x)=§x3 + 2| a| x2 + a bx在R上有极值，那么向量a与b的夹角的围是nB. 6，7tC. 3，7tD.7t答案 C解析设a与b的夹角

29、为0.1 3 1 2t f(x) = 3X3 + 21 a| x2 + a bx.f' (x)= x2 + | a| x + a b.函数f(x)在 R上有极值，方程x2 + | a| x + a b = 0有两个不同的实数根,即= | a| 2 4a b>0,又 t | a| = 2| b| 丰 0,兰12，即 COS210< 2，a b 4 cos 0=< 石=I a| b| an又 t 0 0 , n, 0 3, n，应选 C.13 .向量 OA = (3, 4), OB = (6 , 3), OC = (5 m , 3 m)，假设/ ABC 为锐角,那么实数m的取值围是 .311答案(4，pu(2，+m)解析由得AB = OB Oa=(3,1)AC = OC OA = (2 m, 1 m).假设 AB / AC，那么有 3(1m) = 2 m ,1 解得m = 2.由题设知，BA = ( 3 , 1), BC = ( 1 m , m).tZ ABC为锐角， BA BC = 3 + 3m + m>0 ,3可得m> .4 由题意知，当m = 1时，AB / AC.311故当/ ABC为锐角时，实数 m的取值围是(一, 2川(2,+ m).14 .右I2面向量a