高等数学导数与微分

1、第三章 导数与微分17世纪上半叶（整整半个世纪），当时天文学、力学等领域发展酝酿着微积分的发展，伽利略天文望远镜的发明使天文学的高涨，1619年开普勒通过观测归纳出运动的三大定律，对定律进行证明成为当时最中心的课题之一，1638年伽利略建立自由落体定律，动量定律等，他本人也倡导自然科学数学化，他的著作激起了人们对他确立的动力学概念与定律做精确的数学表述的巨大热情这一蓬勃发展的自然科学在迈入综合与突破的阶段时面临的是数学困难，使微分学的基本问题成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任一点切线

2、问题变得不可回避微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分其中导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢程度，而微分则反映出当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少本章主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法第一节 导数的定义一、导数的引例1、变速直线运动的瞬时速度设某物体做变速直线运动，在0,t内所走过的路程为，其中为时间，求物体在时刻的瞬时速度我们知道，当物体做匀速直线运动时，若物体所走过的路程为，所用时间为，则可知该段时间内的平均速度为由于是匀速运动，因此在时刻的瞬时速度，但变速直线运动物体的速度是随时间的变化而变化的，不同时刻的速度可能都不同，因此平均速度不能很好的反映物体

3、在时刻的瞬时速度为解决此问题，我们先求出物体在这一小段时间内的平均速度，因此有路程变化表达式平均速度为通常速度在段时间内变化不会很大，因此这里的可以作为的近似值，容易看出，越小，则越接近，试想，当无限变小时，将无限接近即2、曲线的切线斜率首先说明什么是曲线的切线，在中学，我们曾定义圆的切线为“与圆只有一个交点的直线”，但对于一般曲线而言，这一定义不合适，很明显，与一曲线只有一个交点的直线很多，但不是切线图31一般地，设连续曲线及上一点如图31所示，在点外任取一点，做割线，如果点沿曲线趋向点时，如果割线趋向与它的极限位置，则称直线为曲线在处的切线，如图所示设点的坐标为，则点的坐标为，割线的倾角为

4、，切线的倾角为，则割线的斜率当时，点沿曲线趋于，由切线的定义知趋于，从而，有，即切线的斜率 以上两个问题，尽管实际意义不同，但是有着相同的本质，都是归结于要求函数的改变量与自变量的改变量的比值，当自变量的改变量区域0时的极限，可见这种形式的极限问题是非常重要的而且普遍存在，因此有必要将其抽象出来，进行重点讨论和研究，这种形式的极限就是函数的导数二、导数的定义定义 设函数在点及其近旁有定义, 当自变量在点有增量时, 函数有相应的增量，当时，若的极限存在，即存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记作, , , 反映的是自变量从改变到时, 函数的平均变化速度, 称为函数的平均变化率而导数则反映的是函

5、数在处的变化速度, 称为函数在处的瞬时变化率函数在点处有导数，则称函数在点处可导定义 如果函数在区间内每一点处都可导，则称在区间内可导此时，对于区间内每一个确定的, 都有一个导数的值与它对应，这样就定义了一个新的函数，称为函数的导函数（derivative function）在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数，记作, , , 显然 函数在点处的导数，就是导函数在点处的函数值，即注意与的区别：表示函数在点的导数，即函数在一点的导数；而表示点处函数值的导数，即一个常数的导数，结果为零基于此，要求一个函数在一个点的导数，应先求出这个函数的导函数，再把点代入即得三、与导数有关的问题有了导数的定

6、义，实际中很多问题都可以用导数来表示，导数引例中的两个问题分别用导数可以表示为：（1） 变速直线运动的速度是路程对时间的导数，即（2） 函数在点处的导数是曲线在点处的切线的斜率，即其中是切线的倾斜角，这也是导数的几何意义除了这两个以外，还有如下问题分别可以用导数来表示：（3）在经营管理中，收益函数对销售量的导数称为边际收益（4）利润函数对产量的导数称为边际利润（5）在电工学中，电量对时间的导数称为电流（6）在热学中，热量对温度的导数称为比热等（7）在化学反应中，物质的浓度对时间的导数称为反应速率，一般为了使反应速率为正值，如果物质是反应物，则前加负号，即；物质是产物，则速率就是（8）在干燥物体

7、的时候，单位干燥面积上汽化水分量对时间的导数称为干燥速率（9）某种传染病传播的人数量对时间的导数称为传染病的传播速度四、几个求导数实例例1 求在处的导数解 由于函数改变量所以=例2 求函数的导数解 因为，所以 )即类似地, 可求得例3 求函数的导数解 因为 ，所以即特别地, 当时 五、可导与连续的关系定理 如果函数在点处可导, 则它在点处一定连续（证明略）这个定理的逆命题不成立, 即如果函数在点处连续, 但在处不一定可导例如函数在区间内处处连续，但它在处不可导是因为在处有，即曲线在原点有垂直于轴的切线，从而导数不存在如图32所示又例如函数，图形如图33所示，这样的图形在原点是没有切线的，所以就

8、不存在斜率，也就没有导数，但是连续，所以像这种点也是不可导的，它的理论推导留给读者在习题中完成图33图32习题训练1物体作直线运动的方程为，求：（1）物体在2秒到秒的平均速度； （2）物体在2秒时的瞬时速度；（3）物体在秒到秒的平均速度； （4）物体在秒时的瞬时速度2根据导数定义证明：3已知每公斤铁由加热到所吸收的热量由下式确定：求时铁的比热4用导数定义证明连续函数在点处不可导5用导数定义证明函数在点处连续，但在点处不可导6用导数定义讨论函数在点处的可导性7结合你自己的专业，查找除了本节中给出的可以用导数表示的外，还有哪些可以用导数表示？第二节 求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则上面，我

9、们利用导数的定义求出了一些简单函数的导数，但是当函数比较复杂时，那么用导数的定义来求这些复杂函数的导数时就会变得相当麻烦由于导数在数学形式上就是一种特殊的函数的极限，我们可以利用函数极限的四则运算法则导出函数求导的四则运算法则设、在点处具有导数，.根据导数定义和函数极限的四则运算法则很容易得到下面函数的和、差、积、商的求导法则（证明略）法则1 这个公式可以推广到有限多个函数代数和的情形法则2 法则3 (为常数)法则4 （）例1 求函数的导数解 例2求函数的导数解 例3 求函数的导数解 因为，所以即 类似的，可以求出 例4 求函数的导数解 因为，所以 即 类似的 可以求出 例5 求函数的导数解

10、例6 一个可变电阻的电路中的电压为，求在时电压对可变电阻的变化率解 根据导数的本质可知，电压关于可变电阻的变化率为,即当时，电压关于可变电阻的变化率为二、反函数的导数定理 设函数在内单调、可导，且，则它的反函数在对应的区间内也单调、可导，且或（证明略）例7 求函数的导数解 因为的反函数是（），且，所以即 类似的 可以求出例8 求函数 的导数解 因为的反函数是（），且，所以即 类似的 可以求出 例9 求函数的导数解 因为的反函数是 ，且，所以即特别地，指数函数的导数是三、复合函数的导数定理 设函数是由及复合而成的函数，如果在点处有导数，而在对应点处有导数，则复合函数在点处的导数也存在, 且或写成

11、或其中表示对的导数，表示对中间变量的导数，而表示中间变量对自变量的导数（证明略）复合函数的导数可以推广到有限次复合的函数情形例如 ， 则，这样的复合函数的求导方法则称为链式法则例10 求函数的导数解 设，则，因为，所以例11 求的导数解 设，则，因为，所以当运算熟练后，求复合函数的导数时，就不必再写出中间变量，可以按照复合的前后次序，层层求导直接得出结果例1,2 求的导数解 计算函数的导数时，有时需同时运用函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则例13 求的导数解 例14 求的导数解 函数的定义域为，所以 例15对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为,求电容器的充电速度表

12、达式.解 根据题意可知充电速度为，根据复合函数的求导法则，有四、初等函数的求导公式到现在为止，我们已经求出了全部基本初等函数的导数由于初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合运算构成的，因此可以利用函数的和、差、积、商的求导法则、复合函数的求导法则以及基本初等函数的导数公式求出任何初等函数的导数从而可以得出下面的结论：一切初等函数都是可导的，而且可导的初等函数的导数仍为初等函数为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：1 基本初等函数的导数公式1 （为常数）2（为任意实数）3 45 6789101112131415162 函数和、差、积、商的求导法则 ；（是

13、常数） 3 复合函数的求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或习题训练1求下列函数在给定点的导数：（1）在及； （2）在及；（3）在； （4）在2指出下列复合函数的复合过程，并求出其导数（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）3求下列函数的导数：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）4曲线在处的切线斜率是多少？曲线上哪些点的切线平行轴？5过点引抛物线的切线，求此切线方程，并作图6数为何值时，直线才能与对数曲线相切？在何处相切？第三节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数一、隐函

14、数的导数前面我们遇到的函数，例如，等，两个变量与之间的对应关系用表示，用这种方式表达的函数称为显函数但有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程表示一个函数，因为当变量在内取值时，变量有确定的值与之对应例如，当时，；当时，等等这种由含有和的方程所确定的函数称为隐函数把一个隐函数化为显函数，叫做隐函数的显化例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数但是隐函数的显化有时是有困难的，有时甚至是不可能的例如，要将函数显化显然是不可能的但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 求隐函数的导数时，可以两边逐项对求导，遇到时，

15、就视为的函数，遇到的函数时，就看成为的复合函数，为中间变量然后从所得的等式中解出，即得隐函数的导数下面通过具体例子来说明这种方法例1 求由方程所确定的隐函数的导数解 将方程的两边同时对求导，即注意到是的函数，则是的复合函数，由复合函数的求导法则, 先求对的导数，然后乘以对的导数所以上式可以写为 ，解出，得例2 求由方程所确定的隐函数在处的导数解 两边对求导，得，即注意到是的函数，是的复合函数，由复合函数的求导法则，得 ，解出，得 因为，可求得，所以例3 求椭圆在点处的切线方程解 两边对求导，得，解出，得把点的坐标，代入，得切线斜率为，从而所求切线方程为，即 例4 求的导数解 对等式两边取自然对

16、数，得两边对求导，得，解出，得，或由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积、开方的求导运算，通过取对数得到简化例5 求（）的导数解 两边取对数，得，两边对求导，注意到是的函数，得，即.像例4、例5，我们先对函数两边取对数化为隐函数，然后再按隐函数求导法来求函数的导数，称为对数求导法二、由参数方程所确定的函数的导数一般情况下，参数方程 确定了是的函数关系，在参数方程中，如果函数具有单调连续的反函数，则由参数方程所确定的函数可以看成是由和复合而成的函数假定，都可导，且，则由复合函数的求导法则和反函数的求导法则，得，即 或 例6 求由参数方程所确定的函数的导数解 ，则 例7 求由参数

17、方程确定的函数在处切线的斜率解 ，则，则 例8 求椭圆在的切线方程和法线方程解 ，则切线的斜率为，当时，椭圆上点的坐标为,过的切线方程为，过的法线方程为习题训练1求由下面的方程所确定的隐函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4） ；（5）； （6）2求由下列方程所确定的隐函数在指定点的导数：（1），点； （2），点3求曲线在点的切线方程4求下列由参数方程所确定的函数的导数：（1） ； （2） ； （3）5已知参数方程，求当时的导数6求曲线在点的切线方程与法线方程 第四节 高阶导数一、高阶导数的概念如果函数的导数仍是的函数，若仍可求导，则称的导数为函数的二阶导数记作, , 或相应地，把的导数

18、称作函数的一阶导数类似地, 如果函数的二阶导数仍是的函数，若仍可求导，则称的导数为函数的三阶导数记作, , 或一般地，如果函数的阶导数仍是的函数，若仍可求导，则称的导数为函数的阶导数记作(), , 或函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导如果函数在点处具有阶导数，那么在点的近旁内必定具有一切低于阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数根据高阶导数的意义，求高阶导数时仍用前述的求导方法例1 求下列函数的二阶导数（1）；（2）；（3）解 （1）， （2） ， （3），例2 求由方程确定的隐函数的二阶导数解 由本章第三节例1，可知，上式两边再对求导，注意到仍是的函数，则例3 求由参数方程确定的函数的二

19、阶导数解 由本章第三节例7，可知，所以例4 求的阶导数解 ， ， ， , 依此类推，得例5 求的阶导数解 ， ， ，依此类推，得 同样的阶导数为 二、二阶导数的物理意义若某物体作变速直线运动，其运动方程为，则物体运动的速度是路程对时间的导数，即此时若速度仍是时间的函数，我们可以求速度对时间的导数，用表示，即 物理学中，我们称为加速度，也就是说物体运动的加速度是路程对时间的二阶导数例6 已知某物体作变速直线运动，其运动方程为（是常数）求物体运动的加速度解 因为， 则，习题训练1求下列函数的二阶导数（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）2求由方程所确定的隐函数对的二阶导数（1）； （

20、2）（3）3求由参数方程所确定的函数对的二阶导数（1）（为常数）； （2）（3）4验证函数（为常数）满足关系式5求的阶导数*第五节 用Matlab求函数导数导数在科技领域中的用途是非常大的，对于复杂的函数如果能用计算机来求导数，对我们来说是再好不过了，下面介绍如何用Matlab来求导数例1 求的一阶导数解 在命令窗口中输入： >> syms x >> f=log(1-x);>> diff(f) 输出结果为：ans = -1/(1-x)即例2 求的二阶导数解 在命令窗口中输入：>> syms x >>f=log(1-x);>>

21、;diff(f,2) 输出结果为：ans = -1/(1-x)2即例3 已知所确定的隐函数求解 在命令窗口中输入：>> syms x y>> f=exp(y)+y*sin(x)-exp(x);>> dfx=diff(f,x);>> dfy=diff(f,y);>> dyx=-dfx/dfy;>> dyx 输出结果为：dyx = (-y*cos(x)+exp(x)/(exp(y)+sin(x)即 例4 已知一参数方程为求解 在命令窗口中输入：>> syms t>> x=t*sin(t);>>

22、; y=t*(1-cos(t);>> dx=diff(x,t);>> dy=diff(y,t);>> dx>> dy>> dy/dx输出结果：dx = sin(t)+t*cos(t) dy = 1-cos(t)+t*sin(t)ans = (1-cos(t)+t*sin(t)/(sin(t)+t*cos(t) 即 习题训练1用Matlab求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）2用Matlab求由下面的方程所确定的隐函数的导数：（1）； （2）3已知参数方程，用Ma

23、tlab求当时的导数第六节 函数的微分函数的导数是表示函数在点处的变化率, 它表示函数在点处的变化的快慢程度有时我们还需要了解函数在某一点当自变量取得一个微小的增量时, 相应地函数有多大变化的问题一、微分的定义xx0x0图34A = x02x我们先来分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（如图34），问此薄片的面积改变了多少？设正方形边长为，面积为，则而金属薄片受温度变化的影响时，面积的改变量可以看作当自变量在取得增量时，函数的增量它由两部分组成，第一部分是的线性函数，当时，它是的同阶无穷小，是的主要部分第二部分，当时，它是较高阶无穷小，很明显，当很小时，在中所起的

24、作用的很小，可以忽略不计，因此，而，因此上式可改写成下面说明这里得到的简单关系，对一般可导函数也是成立的一般地, 如果函数 在点处可导, 即,根据具有极限的函数与无穷小量的关系, 得 （其中是当时的无穷小量）于是 由上面式子可知，函数的增量是由 和两部分组成, 当0时,是的同阶无穷小，是的主要部分，称是的线性主部而是较更高阶无穷小. 所以当很小时, 有下面我们给出微分的定义：定义 如果函数在点处有导数，则称作函数在点处的微分（Differential），记为即 一般地, 函数在点处的微分叫函数的微分记为=如果设，则有 即自变量的微分就是它的增量， 于是函数的微分可写成 即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之积，由上面式子亦可以看出函数的微分与自变量的微分之商，等于函数的导数，所以导数也叫微商例1 求函数 当由3改变到 3.01时的和解 因为，所以当时，例2求函数的微分（1）； （2）解 （1）；（2）二、微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义x0xOxNTM图35Pyx0+xQyy = f (x)dy如图35，在曲线上取一点，过作曲线的切线，它的倾斜角为当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点.从右图可以看出， ，即 这就是说，函数的微分，等于曲线在点的切线的纵坐标对应于的增量，这就是微分的几何意义又因