高等数学公式一元函数部分

1、高等数学公式（一元函数部分）目 录第一章 函数与极限第一节 集合、映射与函数第二节 数列的极限第三节 函数的极限第四节 无穷小与无穷大第五节 连续性第二章 导数与微分第一节 导数及求导法则第二节 高阶导数第三节 微分第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理第二节 洛必达法则第三节 泰勒公式第四节导数的应用导数的应用一 曲线的切线和法线导数的应用二 函数的单调性导数的应用三 函数的极值和最值导数的应用四 曲线的凹凸性和拐点导数的应用五 曲线的渐近线导数的应用六 曲线的曲率第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质原函数不定积分不定积分公式第二节

2、不定积分的换元积分法第一类换元法 (凑微分法)第二类换元法第三节 不定积分的分部积分法第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质第二节 微积分基本公式第三节 定积分的换元法和分部积分法第四节 反常积分第六章 定积分的应用第一节 定积分的几何应用平面图形的面积体积旋转体的体积弧长旋转曲面的面积第二节 定积分的物理应用变力做功抽水做功水压力索引第一章 函数与极限第一节 集合、映射与函数邻域的概念点的邻域：几个重要的分段函数绝对值函数性质：符号函数符号函数与绝对值函数的关系：符号函数的性质：取整函数= 小于或等于x的最大整数是左边的第一个整数(向左取整)。是分段函数：取整函数的性质：狄利克雷 (Dir

3、ichlet)函数Dirichlet 函数有很多“糟糕”的性质首先，它没有具体的表达式。其次，它没有图形：我们无法作出它的图形，它的图形是处处间断的。又，它是没有最小正周期的周期函数：每一个有理数都是函数的周期。基本初等函数：以下五类函数称为基本初等函数：(1) 幂函数、(2)指数函数、(3)对数函数、(4)三角函数、(5)反三角函数(1) 幂函数 (Power function)()常见的幂函数：(2) 指数函数 (Exponential function)常见的指数函数：(3) 对数函数 (Logarithmic function)常见的对数函数：(自然对数)(常用对数)(4) 三角函数

4、(Trigonometric function)正弦余弦正切余切正割余割(5) 反三角函数 (Inverse trigonometric function)反正弦反余弦反正切反余切初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合，并且能用一个公式表示的函数。双曲函数(Hyperbolic function)双曲正弦(Hyperbolic sine)双曲余弦(Hyperbolic cosine)双曲正切(Hyperbolic tangent)反双曲函数(Inverse hyperbolic function)反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切返回目录第二节 数列的极限数列的概念数列：数列可以看

5、成一个定义在自然数集上的函数，称为整标函数：()数列的单调性单增数列：单减数列：数列的有界性有界数列：，使得()。无界数列：，使得。数列无界的充分必要条件是存在趋于无穷大的子数列：数列有界性的等价定义数列有界的充要条件是：，使得()。和分称为数列的下界和上界。（数列有界当且仅当它既有上界，又有下界。）数列的极限数列极限的定义数列极限的直观定义：是指：当无限增大()时，一般项无限地趋于数()。数列极限的严格定义(定义)：是指：对于任意给定的，总存在正整数，使得当时，不等式都成立。即 一些重要的数列极限数列极限说 明()()此结论常用。例如，例如，。()()例如，。()常用，的特例。()常用，的特

6、例。(，)此极限说明是的高阶无穷大。例如，。()此极限说明是的高阶无穷大。例如，。此极限说明是的高阶无穷大。本科不作要求。本科不作要求。重要极限，的定义。的无穷级数展开式。调和级数发散。欧拉常数 。*施笃兹定理施笃兹定理设数列若单调增加且，若存在，则施笃兹定理可以用来计算一些难度较大的数列极限(型)。由施笃兹定理可以得到的一些极限(1)若存在，则。前项的算术平均值的极限等于数列的极限。(2)若存在()，则。前项的几何平均值的极限等于数列的极限。(3)若存在()，则。收敛数列的性质数列极限的性质说明唯一性若数列收敛，则其极限是唯一的。极限存在必唯一。有界性若数列收敛，则是有界数列。收敛数列必有界

7、。例如，收敛，因此它是有界的。若数列无界，则发散。无界数列必发散。例如，无界，因此它是发散的。若数列有界，则不一定收敛。有界数列不一定收敛。反例：数列有界，但它不收敛。保号性若(或)，则存在，使得当时，都有(或)。收敛于正数(或负数)的数列最终将成为正的(或负的)数列(最多有有限项例外)。数列与子数列的敛散性关系若数列收敛于，则它的任何子数列也收敛于。整体收敛，部分收敛。若数列有一个发散的子数列，则也发散。部分发散，整体发散。若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则也发散。例如， 数列有两个子数列和收敛于不同的极限和，故数列发散。若子数列与都收敛于，则数列也收敛于。奇次项子数列和偶次项子数列都收

8、敛于同一极限，则数列收敛。这是一个重要的结论。若，则。证明：利用不等式。逆命题不成立。反例：。数列收敛的两个准则(1)夹逼准则：若 ()且，则。特例 若 ()且，则夹逼准则的用法：当极限难以确定时，可以将缩放成和()，使得极限和容易求得，并且，则。(2) 单调有界准则：单调有界数列必有极限。具体地说：(1) 单调增加的数列若有上界，则必有极限，且的最小上界(上确界)(2) 单调减少的数列若有下界，则必有极限，且的最大下界(下确界)单调有界准则的用法：如果能判定数列单调增加(或单调减少)，并且能证明或观察有上界(或下界)，则必有极限。数列极限的运算法则设数列和都收敛，则数列，和()也收敛，且有下

9、列运算法则。运算法则说明和差的极限极限的和差数列极限的线性性质倍数的极限极限的倍数积的极限极限的积()商的极限极限的商()倒数的极限极限的倒数数列敛散性的若干性质性质说 明设和都收敛，则也收敛。收敛收敛收敛设收敛，但发散，则必发散。收敛发散发散设和都发散，则不一定发散。发散发散发散返回目录第三节 函数的极限一、自变量趋于有限值的函数极限：（1） 函数极限的直观定义：是指：当自变量无限地趋于（）时，相应的函数值无限地趋于数（），即。（2）函数极限的严格定义（定义）是指：对于任意给定的，总存在，使得当满足不等式时，就有。即 （3）极限的几何解释：表示：，使 （）即对于任意的，都能确定的一个去心邻域

10、，使得在这个去心邻域内，函数的图形位于水平直线和之间的一个宽为的条形区域内。单侧极限左极限是指：，总存在，使得当满足不等式时，就有。右极限是指：，总存在，使得当满足不等式时，就有。极限与单侧极限的关系：极限存在的充分必要条件是左极限和右极限都存在并且相等，即或推论 若，则极限不存在。注 这是证明极限不存在的一个重要方法。函数在处的单侧极限和极限两个基本极限：， （图形）。函数单侧极限极限图形, 不存在下图1, 不存在下图2, 不存在下图3, 不存在下图4图1 图2图3 图4二、自变量趋于无穷大的函数极限（1）函数极限的直观定义是指：当自变量的绝对值无限增大（）时，相应的函数值无限地趋于数（），

11、即。（2）函数极限的严格定义（定义）(3) 单向极限的定义是指：对于任意给定的，总存在，使得当满足不等式时，就有。即极限与单向极限的关系：极限存在的充分必要条件是极限和极限都存在并且相等。即推论 若，则极限不存在。注 这是证明极限不存在的一个重要方法。点评 表示的绝对值无限增大（可正可负），表示是正数且其绝对值无限增大，表示是负数且其绝对值无限增大。一些单向极限存在但极限不存在的函数 函数单向极限极限图形不存在图形不存在图形不存在图形不存在图形不存在图形不存在图形函数极限的六种定义为了便于使用和比较，现将函数极限的六种定义列表如下：极限类型对任意给定的都存在当时就有不等式函数极限的性质由极限的

12、几何解释，可以得出函数极限的若干性质。唯一性 若极限存在，则其极限是唯一的。（极限存在必唯一。）局部有界性 若极限存在，则函数在的某个邻域内是有界的。（有极限的函数在附近一定有界（局部有界）。局部保号性 若（或），则在的某个去心邻域内函数（或）。（以正数（负数）为极限的函数在附近一定是正函数（负函数）。）若，则在的某个去心邻域内函数。注是为了方便叙述。实际上在的某个去心邻域内函数（）。不等式性 若在的某个去心邻域内函数（或），且存在，则（或）。（非负函数的极限一定是非负的。非正函数的极限一定是非正的。）函数极限与数列极限的关系若，则对任何收敛于的数列，都有。（任意方式收敛，特殊方式也收敛。）若

13、存在收敛于的数列使得数列发散，则极限不存在。（特殊方式发散，任意方式也发散。）若和都收敛于，但，则极限不存在。（两种特殊的方式有不同的极限，则极限不存在。）若，则。（任意方式收敛，特殊方式也收敛于同一极限。）注利用这个公式可以将数列的极限转化成函数的极限。点评 对于极限也有相应的结论。极限的四则运算法则 设和性质说明可以推广到有限个函数的和差。可以推广到有限个函数的乘积。（）若，则此法失效。 （是正整数）一些基本极限（是正整数）返回目录两个重要极限第一个重要极限： （这个极限的重要性在于它涉及到三角函数和反三角函数）函数是偶函数（如图）基本形式 一般形式 一般形式 特例 有关极限注意不是重要极

14、限。返回目录第二个重要极限： （这个极限的重要性在于它涉及到指数函数和对数函数）函数 定义域 （如图）基本形式 等价形式 数列形式 一般形式 一般形式 重要公式 等价形式 常用公式 或 （注意：对结果没有影响。）推广形式 有关极限：数列单调增加趋于，而数列单调减少趋于。与两个重要极限有关的一些重要极限第四节 无穷小与无穷大无穷小的定义无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0为极限的函数（或变量）。极限与无穷小的关系：（）此定理表明：在自变量的某个变化过程中，；反之，无穷小的比较设（1）（2）（3）注 （1）根据定义（2）等价无穷小也是同阶无穷小，但同阶无穷小一般不是等价的。常用的等价无穷小（

15、时）：当时，（这个等价无穷小很有用。）证明：（）注意 若是型的极限，则。证明： （其中利用了等价无穷小替换）这是一个有用的公式，很多型的极限都可以用这个公式计算。若，则或，即两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小。一些更高阶的等价无穷小（时）: （） （） （） （） （）等价无穷小的替换定理设，则即，在计算极限时，分子、分母中的等价无穷小乘积因子可以互相替换。注意 即：低阶无穷小加高阶无穷小等价于低阶无穷小。返回目录无穷小的运算性质性质说明两个无穷小的和（差）仍是无穷小。直观记忆：推论 有限个无穷小的和仍是无穷小。但无限个无穷小的和不一定是无穷小。反例 当时，个无穷小的和不是无穷小。有界

16、函数与无穷小的乘积仍是无穷小。直观记忆：一个非常有用的结论，常用于极限的计算。推论常数与无穷小的乘积仍是无穷小。直观记忆：有限个无穷小的乘积仍是无穷小。直观记忆：但无限个无穷小的乘积不一定是无穷小。反例比较复杂。返回目录无穷大的定义无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的函数（或变量）无穷大定义一览表无穷大有18种，这18种无穷大的定义如下：无穷大的类型对于任意给定的都存在当时就有不等式返回目录无穷大的运算性质性质说明两个无穷大的乘积仍是无穷大：直观记忆：无穷大与有界函数的和是无穷大：直观记忆：无穷大与一个有非零极限的函数的乘积是无穷大：直观记忆：（）两个无穷大的和不一定是无穷大：直

17、观记忆：反例 当时，和都是无穷大，但是不是无穷大。两个正无穷大的和仍是正无穷大：直观记忆：两个正负穷大的和仍是负无穷大：直观记忆：无穷大与无穷小的倒数关系性质说明无穷大的倒数是无穷小：形象记忆： 无穷小的倒数是无穷大：形象记忆： 推论形象记忆： （）推论如果分式的极限存在，而分母趋于零，则分子必须趋于零（否则分式的极限为无穷大）。这是一个很常用的是事实，尤其是用在极限的反问题中。无穷大与无界函数的关系简单地说：无穷大一定是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大。性质说明若，则在的任何去心邻域内是无界的。记忆口诀： 无穷大必无界。若在的某个去心邻域内是无界的，不能得出。记忆口诀： 无界不一定无穷大

18、。无穷大与无界的区别 对于任意，要求在的某个去心邻域内的所有点，都有。而在的某个去心邻域内是无界，只要求有个别点满足，而对其余的点则可能有。因此，在的某个去心邻域内是无界不足以保证证明函数不是无穷大或无界的方法证明的方法：欲证当时，不是无穷大，只需找出一个区域的数列，使得收敛或有界。证明在集合上无界的方法：欲证在集合上无界，只需找出一个数列，使得。证明数列不是无穷大的方法：欲证数列不是无穷大，只需找出一个收敛或有界的子数列。证明数列无界的方法：欲证数列无界，只需找出一个无穷大的子数列，即。返回目录第五节 连续性连续的定义函数f(x) 在点x0处连续是指：或其中）若函数f(x) 在点x0处连续，

19、则称x0为函数的连续点。若函数f(x) 在点x0处不连续，则称x0为函数的间断点。函数f(x) 在开区间 (a, b) 上连续是指f(x) 在该区间的每一个点处都连续。此时，称f(x) 为 (a, b) 上的连续函数。(a, b) 上的连续函数y = f(x) 的图形是一条连续不间断的曲线。间断点的分类连续函数的运算连续函数的四则运算 设函数f(x) 和g(x) 在点x0处连续，则也在点x0处连续。推论 两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）仍为连续函数反函数的连续性设y = f(x) 在区间 I = (a, b) 上单调且连续，则其反函数x = f1(y) 在区间 J =f(I) 上单

20、调且连续。复合函数的连续性设函数u = g(x) 在点x0处连续，y = f(u) 在点u0 = g(x0) 处连续，则复合函数y = fg(x) 在点x0处连续。推论：连续函数的复合函数仍为连续函数。基本初等函数的连续性：基本初等函数在其定义域内连续。初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。闭区间上连续函数的性质有界性 在闭区间 a, b 上连续函数f(x) 在该区间上是有界的。最值性 在闭区间 a, b 上连续函数f(x)一定能在该区间上取得最大的函数值和最小的函数值。零点定理设函数f(x) 在闭区间 a, b 上连续，且f(a) 与f(b) 异号，则在区间 (a, b)

21、内至少存在一点，使得f() = 0。这个点称为函数f(x) 的零点，或方程f(x)= 0 的根。零点定理的几何解释(下左图)。零点定理的几何解释 介值定理的几何解释介值定理设函数f(x)在闭区间 a, b 上连续，且M 和m分别是函数在a, b 上的最大值和最小值，则对任何介于M 和m 值的数C，在区间 (a, b) 内至少存在一点，使得f() = C。介值定理的几何解释（上右图）。返回目录第二章 导数与微分第一节 导数及求导法则导数的定义 函数在点处的导数定义为：或 或 函数在处的导数：；如果，则 单侧导数：左导数：；右导数：导数存在的充分必要条件是左导数和右导数存在并且相等。即：推论：常数

22、和基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则特例： （倒函数的求导法则）导数的线性性质：或 (线性组合的导数导数的线性组合)多个函数乘积的导数：或 反函数的求导法则复合函数的求导法则双曲函数和反双曲函数的导数公式参数方程确定的函数的导数设参数方程确定了函数，则 隐函数的求导法则设方程确定了隐函数，则导数有以下求法：(1)直接求导法：方程两边对自变量求导，同时要将视为的函数，然后解出导数。(2) 微分法：方程两边微分(利用微分形式不变性，变量和一视同仁)，得出式子，然后解出导数。(3) 公式法：求二元函数的偏导数，可得导数 。对数求导法幂指函数的导数： 或 函数可导与连续的关系：函数在一点可导，则

23、函数在该点一定连续。逆否命题：若函数在一点不连续，则函数在该点一定不可导。注意：若函数在一点连续，则函数在该点不一定可导。可导是连续的充分条件，但不是必要条件。连续是可导的必要条件，但不是充分条件。有关奇函数、偶函数和周期函数的导数的几个结论奇函数和偶函数的导数（1）偶函数的导数是奇函数： （下左图）（2）奇函数的导数是偶函数： （下右图）偶函数的导数是奇函数奇函数的导数是偶函数周期函数的导数周期函数的导数仍然是周期函数：返回目录第二节 高阶导数f(x) 的二阶导数的定义：设函数f (x) 在点x0的某个邻域内可导，则在点x0处的二阶导数为： 或 注：若函数f (x) 在点x0有二阶导数，则函

24、数f (x) 在点x0的某个邻域内可导，且导数f (x) 在x0处连续。一些常用的n阶导数公式(是正整数)高阶导数的运算法则反函数的高阶导数复合函数的二阶导数设和二阶可导，则复合函数也二阶可导，且 或 参数方程确定的函数的高阶导数设参数方程确定了函数，则 二阶导数的计算公式： 或 二阶导数的求法：三阶导数的求法：隐函数的二阶导数设方程确定了隐函数，则导数 。二阶导数的计算公式是：返回目录第三节 微分微分的定义可微与可导的关系函数在一点可微的充分必要条件是：函数在该点可导，且。函数可微、可导、连续和有极限的关系：或者基本初等函数的微分公式微分的四则运算法则复合函数的微分返回目录第三章 微分中值定

25、理与导数的应用第一节 微分中值定理罗尔定理设函数f(x) 满足以下三个条件:（1）f(x) 在闭区间 a, b 上连续;（2）f(x) 在开区间(a, b) 内可导;（3）端值相等：f(a) = f(b),则存在, 使得.罗尔定理的几何解释：函数曲线至少存在一条平行于x轴的切线（下左图）。罗尔定理的几何解释 拉格朗日中值定理的几何解释拉格朗日中值定理设函数f(x) 满足以下两个条件:(1)f(x) 在闭区间 a, b 上连续；(2)f(x) 在开区间 (a, b) 内可导，则存在, 使得 或 拉格朗日中值定理的几何解释：函数曲线至少存在一条平行于割线AB的切线（上右图）。拉格朗日中值定理的两个

26、重要推论（1）在一区间上导数恒为零的函数必为常值函数。（2）在一区间上导数恒等的两个函数只相差一个常数。拉格朗日中值定理可以证明下列不等式或等式：（1）例如， 。（2）例如，（3）例如，。柯西中值定理设函数f(x) 和F(x) （1）在闭区间 a, b上连续；（2）在开区间 (a, b)内可导；且F(x)0 ，则存在, 使得微分中值定理小结罗尔定理设函数f(x) 满足以下三个条件:（1）f(x) 在闭区间 a, b 上连续;（2）f(x) 在开区间(a, b) 内可导;（3）端值相等：f(a) = f(b),则存在, 使得.罗尔在这本书里给出了代数形式的罗尔定理拉格朗日中值定理设函数

27、f(x) 满足以下两个条件:(1)f(x) 在闭区间 a, b 上连续；(2)f(x) 在开区间 (a, b) 内可导，则存在, 使得或 柯西中值定理设函数f(x) 和F(x)（1）在闭区间 a, b上连续；（2）在开区间 (a, b)内可导且F(x)0 ，则存在, 使得三个微分中值定理之间的关系返回目录第二节 洛必达法则洛必达法则可以多次使用：其他未定式先转化为基本型，再用洛必达法则。有三种类型。返回目录第三节 泰勒公式泰勒中值定理（1）带拉格朗日型余项的泰勒公式设函数f(x) 在x0的某个邻域内有 0n+1阶导数，则对该邻域内的任何x，有（2）带皮亚诺型余项的泰勒公式设函数f(x) 在x0

28、处有 0n 阶导数，则对该邻域内的任何x，有（3）麦克劳林公式（带拉格朗日型余项）（带皮亚诺型余项）一些函数的麦克劳林公式（带拉格朗日型余项）（带皮亚诺型余项）（带拉格朗日型余项）（带皮亚诺型余项）（带皮亚诺型余项）（带皮亚诺型余项）返回目录第四节 导数的应用导数的应用一曲线的切线和法线(1)曲线在点处的切线斜率：切线方程：法线斜率：法线方程：(2)参数曲线在点处的切线斜率：切线方程：或法线斜率：法线方程：或(3)曲线在点处的切线斜率：切线方程：或 法线斜率：法线方程： 或返回目录导数的应用二 函数的单调性函数单调性的判定定理设函数f(x) 在闭区间 a, b 上连续，在开区间(a, b) 内

29、可导。（1）如果在 (a, b) 内f (x) > 0，则函数f(x) 在 a, b 上单调增加；（2） 如果在 (a, b) 内f (x) < 0，则函数f(x) 在 a, b 上单调减少。利用单调性证明函数不等式返回目录导数的应用三 函数的极值和最值极值的必要条件设函数f(x) 在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f ' (x0) = 0。函数f(x) 的驻点x0：f ' (x0) = 0。极值的必要条件：可导的极值点必为驻点。极值的第一充分条件（如图所示）求连续函数的单调区间和极值的步骤（1）求出函数f(x) 在区间内的可疑点（驻点和不可导点）：x1,

30、 x2, , xn。这些点将函数的定义域分成若干个小区间。（2）讨论导数在这些小区间内的符号，以确定函数的单调性。（3）考察导数在以上可疑点两侧的符号，以确定该点是否为极值点。极值的第二充分条件设函数f(x) 在点x0处二阶可导，且f ' (x0) = 0，f ''(x0) 0，则（1）f ''(x0) < 0 f (x0) 为极大值。（2）f ''(x0) > 0 f (x0) 为极小值。极值的第二充分条件极值的高阶充分条件设函数f(x) 在点x0处n阶可导，且f (k)(x0) = 0 (k = 1, n-1)，f (n)

31、(x0) 0。则（1）n为偶数时，f (x0) 为极值：当f (n)(x0) < 0 时，f x0) 为极大值；当f (n)(x0) > 0时，f (x0) 为极小值。（2）n为奇数时，f (x0) 非极值。求连续函数在闭区间 a, b 上的最值的方法（1）求出函数f(x) 在开区间 (a, b) 内的驻点和不可导点: x1, x2, , xn。（2）比较函数值：f(x1), f(x2) , , f(xn) , f(a) , f(b) ，其中的最大者为函数的最大值、最小者为最小值。注意：不必判定f(x1), f(x2) , ,f(xn) 是否为极值。返回目录导数的应用四 曲线的凹凸

32、性和拐点凹弧的定义：（下左图）凸弧的定义：（下右图）凹弧的定义 凸弧的定义曲线的拐点：曲线的凹凸性改变的点。利用一阶导数的单调性判断凹凸性设函数f(x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内可导，那么（1）若在 (a, b) 内f (x) 单调增加，则曲线y = f(x)在 a, b 上是凹的。（2）若在 (a, b) 内f (x) 单调减少，则曲线y = f(x)在 a, b 上是凸的。曲线凹凸性的判定定理设函数f(x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内二阶可导，那么(1) 若在 (a, b) 内f (x) > 0，则曲线y = f(x)在 a, b 上是凹的。(2)

33、若在 (a, b) 内f (x) < 0，则曲线y = f(x)在 a, b 上是凸的。求连续曲线的凹凸区间和拐点的步骤（1）求出函数f(x) 在区间内二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点：x1, x2, , xn。这些点将函数的定义域分成若干个小区间。（2）讨论二阶导数在这些小区间内的符号，以确定曲线的凹凸性。（3）考察二阶导数在以上点两侧的符号，以确定该点是否出现拐点。返回目录导数的应用五 曲线的渐近线渐近线的定义 1. 铅直渐近线（）（下左图）。铅直渐近线 水平渐近线2. 水平渐近线（）（上右图）3. 斜渐近线求斜渐近线的方法：渐近线小结：返回目录导数的应用六 曲线的曲率曲率是描

34、述曲线弯曲程度的量。弧段弯曲程度越大，转角越大（下左图）。转角相同时，弧段越短，弯曲程度越大（下右图）。曲率的定义设动点沿曲线y = f(x) 移动了s（弧长增量），曲线的方向（切线方向）改变了。曲线y = f(x) 在点 (x, y) 处的平均曲率：曲线y = f(x) 在点 (x, y) 处的曲率：曲率的计算公式曲率圆、曲率中心与曲率半径曲率中心的公式返回目录第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质原函数的概念如果在区间 I上，则称 F(x) 是函数 f(x) 在区间I 上的一个原函数。原函数存在定理如果函数 f(x ) 在区间I 上连续，则在该区间上存在可导函数 F(x), 使得即F

35、(x) 是f(x ) 在区间I上的一个原函数。简言之：连续函数一定有原函数.不定积分的定义在区间I上，函数 f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x) 在区间I上的不定积分，记作。就是f(x) 在区间I上的全体原函数，也就是某一个原函数F(x) 加任意常数：不定积分与微分的关系不定积分的线性性质基本的不定积分公式特例：特例：一些常用的不定积分公式返回目录第二节 不定积分的换元积分法第一类换元法(凑微分法)凑微分的基本原则：。凑微分的步骤：常见的凑微分类型返回目录第二类换元法第二类换元法步骤：第二类换元法的类型有理代换 （）三角代换 （利用）（利用） （利用）双曲代换 （利用） （利用）倒代换当

36、分母的次幂较高时可采用倒代换化简积分。例如返回目录第三节 不定积分的分部积分法分部积分公式 或 分部积分的步骤：分部积分的两个原则：1. dv容易凑出； 。常见的分部积分的类型若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函数为u，使其降幂一次(假定幂指数是正整数)。若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u。利用分部积分法得出的一些重要的积分公式返回目录第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质定积分是经过划分区间、任意取点、求和得到近似值、取极限得到精确值这四个步骤得到的以下和式的极限：其中定积分的几个模型曲边梯形的面积变

37、速直线运动的路程变力沿直线所做的功定积分的几何意义一个有用的定积分公式根据定积分的几何意义，得到以下有用的定积分公式： (半圆的面积（如图）)推论 （四分之一圆的面积）利用定积分计算数列极限根据定积分的定义，以下数列极限可以转化为定积分计算（如下图）：定积分的性质定积分的值与积分变量无关：（积分变量可以任意更换）（上限和下限相同时，定积分等于零）（交换上限和下限，积分值反号）定积分的线性性质（和的积分等于积分的和）（常数因子可以提到积分号前面）推论 （0的定积分等于零）（线性组合的定积分定积分的线性组合）定积分的区间可加性（1的定积分等于积分区间的长度）（下左图）推论 （下右图）几个积分不等式

38、 （类似于不等式 ） （定积分估值定理）积分中值定理 若函数 f(x) 在闭区间a, b上连续，则存在一点，使得。积分第一中值定理若函数 f(x)和g(x)在闭区间a, b上连续，g(x)在a, b上不变号，则存在一点，使。返回目录第二节 微积分基本公式积分上限函数的概念设函数f(x) 在区间a, b上可积，定义函数：（如图）。由于此函数的自变量x在积分上限，故称之为积分上限函数。积分上限函数积分上限函数的连续性：设函数f(x) 在区间a, b上可积，则函数在a, b上连续。（换言之，积分上限函数总是连续的。）积分上限函数的导数设函数f(x) 在区间a, b上连续，则积分上限函数在区间a, b

39、上可导，且（换言之，的导数等于被积函数f(x)本身！）原函数存在定理设函数f(x) 在区间a, b上连续，则上限函数就是f(x) 在区间a, b上的一个原函数。原函数（不定积分）存在定理 连续函数一定有原函数（或不定积分）。不定积分与定积分之间的关系：积分变限函数的求导公式上限函数的导数： （将上限代入被积函数即可）下限函数的导数：（将下限代入被积函数，再添加一个负号）上限复合函数的导数：（将上限代入被积函数，再乘以上限的导数）下限复合函数的导数：（将下限代入被积函数，再乘以下限的导数，最后添加一个负号）上下限复合函数的导数：（“将上限代入被积函数，乘以上限的导数”减去“将下限代入被积函数，乘

40、以下限的导数”）微积分基本定理设函数f(x) 在区间a, b上连续，F(x) 是f(x) 在a, b上的一个原函数，则（牛顿-莱布尼茨公式）牛顿-莱布尼茨公式的另一种写法：（变化率的定积分等于总量之差！）返回目录第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法定积分的凑微分公式（定积分的第一类换元法）设函数F(x) 是f(x) 在a, b上的一个原函数，则定积分的换元法（定积分的第二类换元法）定积分换元法步骤一些定积分等式 （几何解释如图）推论 一个重要公式（定积分的对称性）几何解释： （几何解释如图）推论 周期函数的定积分设函数f(x) 以T为周期：，则 。（积分区间为一个周期的定积分总是相

41、等，与起点无关。）（几何解释如图）返回目录定积分的分部积分法一个有用公式的积分公式(常用于定积分计算)返回目录第四节 反常积分1无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义(1)右边无限(2)左边无限(3)两边无限一个重要的反常积分：p-积分更一般的p-积分由p-积分的敛散性可得另外几个重要的反常积分2. 无界函数的反常积分无界函数的反常积分的定义(1)瑕点在右端点(2)瑕点在左端点(3)瑕点在中间一个重要的无界函数的反常积分：q-积分更一般的q-积分返回目录第六章 定积分的应用第一节 定积分的几何应用一、 平面图形的面积1 直角坐标情形设.由y = f(x), y=0, x=a, x=b所围成的曲

42、边梯形的面积为：设f(x) 任意. 由y = f(x), y=0, x=a, x=b所围成的图形的面积为：设.由y = f(x), y=g(x), x=a, x=b所围成的图形的面积为：（大函数减小函数，从左积到到右。）设f(x), g(x) 任意.由y=f(x), y=g(x), x=a, x=b所围成的图形的面积为：设.由x = f(y), x=0, y=c, y=d所围成的曲边梯形的面积为：。返回目录2. 极坐标情形极坐标点的极坐标，其中，。极坐标与直角坐标的关系：。极坐标系：几个圆的极坐标方程直角坐标方程极坐标方程图形或或几条直线的极坐标方程直角坐标方程极坐标方程图形极坐标下的面积公式

43、设曲线方程由极坐标方程给出：。由曲线、直线和所围成的曲边扇形的面积为：设。由曲线、直线和所围成的图形的面积为：返回目录二、体积1. 已知平行截面面积求立体的体积（切片法）设有位于区间a, b 上的一立体。，已知立体的垂直于x 轴的截面的面积为A(x)，则立体的体积为：（切片法）体积元素：。切片法切片法也称为卡瓦列里原理：如果立体的高度相等，并且在每一高度的水平截面的面积也相等，则这两个立体的体积一定相等。（如图）卡瓦列里原理2. 旋转体的体积（1）圆片法由y = f(x), y = 0, x = a, x = b所围成的图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体：其体积为 （圆片法）体积元素为一圆片：由

44、x=f(y), x=0, y=c, y=d所围成的图形绕y 轴旋转一周，得一旋转体其体积为 （圆片法）体积元素为一圆片：。（2）垫圈法设。由y=f(x), y=g(x), x=a, x=b所围成的图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体：其体积为（垫圈法）体积元素形如一个垫圈：。（3）柱壳法由y = f(x), y = 0, x = a, x = b(0<a<b) 所围成的图形绕y轴旋转一周，得一旋转体其体积为（柱壳法）体积元素形如一个柱壳。 体积公式小结设有位于区间a, b 上的一立体。已知立体的垂直于x轴的截面的面积为A(x)，则立体的体积为(切片法)由y = f(x), y = 0,

45、 x = a, x = b所围成的图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积为(圆片法)由x=f(y), x=0, y=c, y=d所围成的图形绕y 轴旋转一周的旋转体体积为(圆片法)设. 由y=f(x), y=g(x), x=a, x=b所围成的图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积为(垫圈法)由y = f(x), y = 0,x = a, x = b(0<a<b) 所围成的图形绕y轴旋转一周的旋转体体积为（柱壳法）返回目录三 弧长曲线（）的弧长：曲线（）的弧长：参数曲线（）的弧长：极坐标曲线（）的弧长：返回目录四 旋转曲面的面积曲线（）绕x轴旋转一周的旋转曲面的面积：曲线（）绕y轴旋转一周的旋转曲面的面积：曲线（）绕y轴旋转一周的旋转曲面的面积：返回目录第二节 定积分的物理应用一、 变力沿直线所做的功一物体在x轴上从a 移动到b时，物体在点x处受到大小为F(x)，方向与物体运动方向一致的力的作用，则该力所做的功为：（下左图）。功的元素