第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛小学组试题A与答案

1、号证考准名姓级年校学装订线第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A （小学组）总 分（时间 : 2010 年 4 月 10 日 10:0011:30）一、填空题（每小题10 分，共 80 分）1.在 10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是 13，也不能是5 的倍数，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球 .2.有五种价格分别为2 元、 5 元、 8 元、 11 元、 14 元的礼品以及五种价格分别为1 元、3 元、 5 元、 7 元、 9 元的包装盒 . 一个礼品配一个包装盒，共有种不同价格 .3.汽车 A 从甲站出发开往乙站 , 同时汽车 B、 C 从乙站出发与 A

2、相向而行开往甲站 , 途中 A 与 B 相遇 20 分钟后再与 C 相遇 . 已知 A 、B、C 的速度分别是每小时 90km, 80km,60km, 那么甲乙两站的路程是km.4.将 1,1,1,1,1,1和这 6个分数的平均值从小到大排列 , 则这个平均值排在第234567位.5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的数称为“好数”，那么不超过 2012 的“好数”的个数为，这些“好数”的最大公约数是.6.右图所示的立体图形由9 个棱长为 1 的立方块搭成 ,这个立体图形的表面积为.7.数字卡片“ 3”、 “4”、 “ 5”各 10 张，

3、任意选出 8 张使它们的数字和是33，则最多有张是卡片“ 3”.文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .8.若将算式111111的值化为小数，123456782007200820092010则小数点后第1 个数字是.二、解答下列各题(每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程 )9.右图中有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这 5 个硬纸板拼成右图中 4×5 的长方形吗？如果能 , 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由 .10.长度为 L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12 和 18

4、段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？11.足球队 A ，B， C， D，E 进行单循环赛（每两队赛一场） ，每场比赛胜队得 3 分，负队得 0 分，平局两队各得 1 分. 若 A， B，C，D 队总分分别是 1，4，7， 8，请问： E队至多得几分？至少得几分？12.华罗庚爷爷出生于1910 年 11 月 12 日. 将这些数字排成一个整数, 并且分解成191011121163 16424, 请问这两个数 1163 和 16424 中有质数吗 ? 并说明理由 .三、解答下列各题（每小题15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13.右图中，六边形 ABC

5、DEF 的面积是 2010 平方厘米 . 已AF知ABC，BCD，CDE，DEF，EFA，FAB 的AF1B1面积都等于 335 平方厘米，6 个阴影三角形面积之和为 670E1B1平方厘米 . 求六边形 A1B1C1D1 E1F1 的面积 .EC1D 1CD14.已知两位自然数“ 虎威 ”能被它的数字之积整除，求出“ 虎威 ”代表的两位数- 1 -文档来源为 : 从网络收集整理.word 版本可编辑 .装第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学组）一、填空题（每小题10 分，共 80 分）题号12345678答案173194255223，33234二、解答下列各题(每题

6、10 分，共 40 分, 要求写出简要过程 )9. 答案：不能！理由如下： 假设能拼成 4×5 的长方形，如图 A 小方格黑白相间染色。其中黑格、白格各 10 个。将五块纸板编号，如图B 所示，除纸板之外，其余4（图 A）张硬纸板每一张都盖住2 个黑格，而盖住3 个黑格或一个黑格。这样一来，由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的 5 个硬纸板，只能盖住9 或 11 个黑格，与 10个黑格不符！10. 答案： 28， L（图 B）72解：（1）易知 红线与蓝线重合的条数是(8,12) 1 3 ；红线与黑线重合的条数是(8,18)121 1 ；蓝线与黑线重合的条数是(1

7、2,18)15；红线、蓝线、黑线都重合的条数是(8,12,18)1211；由红线 7 条，蓝线 11 条，黑线 17 条确定的位置的个数是文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.71117(315)127.因此，依不同位置的线条锯开一共得到27128（段） .（2）最小公倍数8,12,1824,3,923672 .因此，将木棍等分成72 段时，至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两条之间，并且再短（段数更多）时就做不到了.所以锯得的木棍最短的一段的长度是L .7211. 答案： 5，7.解：设 A ， B ， C ， D ， E 五队的总分分别是 a ， b ， c

8、， d ， e ，五队的总分为 S ，则 Sabcde20e .五队单循环共比赛10 场，则 S30 .如果有一场踢平，则总分S 减少 1 分 .因为 a11000 ，b411113100 ，c73310 ，d83311 ，所以比赛至少有3 场平局，至多有5 场平局 .所以 305 S 30 3，即2520 e 27 .故 5 e7 .事实上， E 队胜 A ， B ，负于 C 队，与 D 踢平时， e7 ；E 队胜 A ，负于 C ，但与 B 、 D 踢平时， e 5 .所以 E 队至少得 5 分，至多得7 分.12. 答案： 1163 是质数 .解： 1163 是质数 , 理由如下 :（1

9、）显然 16424 是大于 2 的偶数 , 是合数 .1文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .（ 2）如果 1163 是合数 , 但不是完全平方数 , 则至少有 2 个不同的质因数 , 因为1131331 1163, 所以 , 如果 1163 有 3 个以上不同的质因数 , 必有一个小于 11. 但是显然 2,3,5,7 都不能整除 1163,11 也不能整除 1163, 因此 1163 仅有 2 个不同的大于 11 的质因数 . 大于 11 的质数是 :13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,10

10、1.既然 114731371163372 ,1163 的两个不同的质因数一定有一个小于37,另一个大于 11. 计算13891157116312611397 ；17681156116312411773；19611159116312731967 ；23471081116312192353 ；29371073116311892941 .所以 1163 是质数 .三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13. 答案：670.解：如图，已知 ABC，BCD， CDE， DEF ，EFA， FAB 的面积都等于 335 平方厘米，它们面积之和为 33562010平方厘米 =六

11、边形 ABCDEF 的面积。因此，未被盖住的六边形A1B1C1D1 E1F1 的面积AF=重叠部分的面积(11)(12)(1)F(10)= S(1) S(3) S(5) S(7)S(9)S(11) .B(2)A11E1(9)另一方面 ,在 ABC 中, S(1) S(3)(3)B1(8)E335S(2) ,1 D1(4)C(7)在BCD 中, S(3)S(5)335C(5)(6)S(4) ,D文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.在 CDE 中, S(5)S(7)335S(6) ,在 DEF 中 , S(7)S(9)335S(8) ,在 EFA 中,S(9)S(1

12、1)335S(10) ,在 FAB 中,S(11)S(1)335S(12) ,上述 6 个式子相加，得2 S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11)3355S(2)S(4)S(6)S(8) S(10) S(12)即 2 S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11)33566701340.所以 S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)1340670.S(11)2因此 , 六边形 A1 B1C1D1E1F1 的面积= S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11) =670(平方厘米 ).14. 答案： 11，12，15，24， 36.解：两位自然数共有 90 个，一个一个地去试

13、算检验它是不是满足条件，工作量太大，显然需要开动脑筋，缩小试算范围 .设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a ， b . 显然 a, b 不等于 0.因为 ab10ab ，10ab 能被 ab 整除意味着 10ab 能被 a 整除且 10ab 能被b 整除 .如果 10a b 能被 a 整除，说明 b 能被 a 整除；如果 10a b 能被 b 整除，说明 10a 能被 b 整除 .这就是说，数字a，b 同时要满足两个条件：（ 1） a 整除 b，（2）b 整除 10a。对满足这两个条件的a，b，进行试算，可以缩小试算的范围。若 a1，则 10 能被 b 整除， b 的可能值为 1，2，5，这时 ab 11，12，15，它们符合条件；若 a2，则 b 是偶数，且 20 能被 b 整除， b 的可能值是 2， 4. 经检验后知2文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.只有 ab 24 满足条件；若 a