稳态导热习题

1、稳态与习题1周体内的一维导热问题例1具有均匀内热源强度 qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2 8,导热系数 入为常数,两侧壁温各自均布，分别为twi和tw2,试求该平壁内的温度分布表达式。解：根据题意，x坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为：d2tdx2qv边界条件:x=- 8:t=twix= 6 t=tw2 (2)移项后积分该微分方程式两次可得其通解代入边界条件式(4) +式(5)dtdxtw2Ciqv 2x2q( 2 iqvC2CiCi和C2代入微分方程式的通解式C1x)22 CiC2Ci()C2twi tw2 qv2tw2twi2C2（3）（4）（5）（6

2、）3）后得到壁内的温度表达式qv 22tw2twitw2twi(8)(2 x ) x 222例2具有均匀内热源qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2导热系数 入为常数，两侧壁温各自均布且相同，均为tw,试求该平壁内的温度分布表达式。解：根据题意，导热微分方程式同上题。 由于两侧壁温相同， 是一种对称情况，因此只需求解 一半的求解域即可，x坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式 为：,2(i)d4曳odx边界条件：x=0 :dtdxx= 6 ：t=tw(2)该微分方程式的通解为1 2t xC1x C2(3)2代入边界条件0qv0 C1(4)tw *2 GC22由式(4)C

3、i0(6)常数Ci代入式(5)C2 tw坛22常数Ci和C2代入微分方程式的通解式(3)后得到壁内的温度表达式1qv / 22 1t ( x ) tw(8)例3 锥台如附图所示，顶面和底面温度各为均匀的twi和tw2,侧面覆有保温材料。锥台的导热系数入为常数。该锥台横截面的直径随坐标x的变化规律为d=cx (c为常数)。设锥台内的导热为 沿x方向的一维稳态导热。试求：a.通过锥台的热流量bo任意x处的热流密度解：锥台顶面和底面的温度已知，锥台内无内热源，侧面绝热，因此锥台内沿 x方向的热流量 中为常数，导热系数 入为常 数，可用傅里叶定律直接积分求得.dt根据傅里叶定律Adx式(1)两侧分离变

4、量并积分tw2x2dt dxtwixiAx由于热流量和导热系数入均为常数tw2 ,x2dxdt -2(1)(2)(3)twixi)因此tw2tw1c2 tw2X2二(c(5)(4)tw1(6)Xi任意x处的热流密度例4 一无限大平壁处于稳态导热，其厚度为8,导热系数 入可用线性函数关系式入=A(1+ct)近似淇中和c均为常数，两侧壁温各自均布，分别为tw1和tw2,试求通过该平壁的热流密度q。解：无限大平壁两侧的温度已知，平壁内无内热源，因此沿与平壁垂直的x方向的热流量或热流密度q为常数，可用傅里叶定律直接积分求得。根据傅里叶定律dt t dx式(1)两侧分离变量并积分tw2tw1tdtt o

5、(1Lw1ct)dto qdx(2)因此o(t2)|tw2w1q (3)-(tw1)(tw2c 2w2)(4)例5导热系数为 加=1。3 W/ (m-K),厚2 cm的无限大平壁，外覆盖一层导热系数 尬=0。35 W/(m K)的保温材料以减少热损失.当组合壁的内、外表面温度分别为1300 C与30 C时, 欲使稳态导热时热损失不超过1830 W/m2,保温材料的厚度应为多少？解：根据题意，各层壁内无内热源 ，因此沿壁厚方向的热流密度为常数。1830(1300 30)0.0221.3 0.35因此,0.35(1300 3018300.021.30.2375例6已知一半径为r0的无限长圆柱体处于

6、稳态导热，它的导热系数入为常数，内热源强度 qv为常数。圆柱体表面温度均布为tw,试求圆柱体内的温度分布。解：由于这是一种对于圆柱体中心线的对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，r坐标的原点取圆柱体的中心线。当导热系数 入为常数时，描述该圆柱体内稳态温度场的微分方程式为r dr边界条件：r=0 :dt dr(1)r=r 0:t=tw (2)移项式（1）(3)d / dtqv(r ) r dr dr式（3）两侧积分一次dtqv 2r 占 rC1（4）dr2式（4）两侧除以r后再积分一次，可得该微分方程式的通解t 生 r2 C/nr C24(5)代入边界条件当r 一0时，lnr8,而圆柱体内的实

7、际温度是有限的，因此取Ci=0时,该方程的解才符合实际情况。tw当 r02 C2（6）4qv 2C2 -r0tw（7）4常数C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式,qv / 22(8)t(0r ) tw4例7已知一直径为r。的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数入为常数，内热源强度qv为常数。圆柱体表面浸在流体中。流体的温度为tf,液体和圆柱体间的对流换热系数为h.试求圆柱体内温度分布的表达式。解：根据题意，几何条件，物理条件都同上题，可以从上题的公式（5）开始。t 生产 C1lnr C2（5）4和上题，取C1=0并代入圆柱体表面的边界条件t|r。子 r。2 C2(6

8、)上题中式(2)可写成怖上0h(t |r r0 tf)(7)因此C2&r。殳 r。2 tf(8)2 h 4常数Cl和C2代入微分方程式的通解式(5)得到圆柱体内的温度表达式qv2Tr。qv20(9)讨论：例题2.6和2.7的几何条件和物理条件相同，但因边界条件不同，因此解的形式完全不 同。例8直径为3mm的金属丝的单位长度电阻为 0。1Q/m,导热系数 F19 W/(m-K),浸在温度 为30 C的液体中，液体和金属丝间的对流换热系数 h=5o 5 kW/ (m2K)。当100 A的电流通 过该金属丝时，试求金属丝的中心温度.解：根据能量守恒，电流通过金属丝产生的热量应等于金属丝表面和液体之间

9、的对流换热量， 因此可列出能量守恒方程12R=hA (tw tf)(1)式(1)中代入具体数值1002X0o 1=5500 XtiX0.003 1X(tw30) (2)因此可算得金属丝表面温度为tw= 49o 3 c (3)内热源强度I2Rr02L1002 0.10.00152 1141.5 MW/m 3(4)由解析习题2.6中式(8)计算出金属丝中心(r=0)温度为qv 2141.5 102t r0tw 0.001549.3 53.5 C (5)44 19例9蒸汽管道的外直径为 6 cm,管外覆盖两层保温材料：第一层的厚度为1 cm,导热系数=0.14W/(m K);第二层的厚度为2 cm,

10、导热系数 注=0。042 W/(m K)。蒸汽管道的外表面温 度tw1=300 C,保温层外表面温度为tw3=40 o试求稳态导热时两层保温材料交界面的温度 tw2.解:多层壁的问题，采用热阻计算。根据题意，各层壁内无内热源，因此沿半径方向的热流 量为常数。tw1tw2tw2 tw3ln(r1 /万)ln(口/自)2 1I22l式(1)中消去2成并代入具体数值(2)300 tw2 tw2 40ln(3/ 4) ln(4/6)0.140.042因此可求得两层保温材料交界面的温度 tw2 =240.3 C (3)例10已知一内外径分别为 门和r2的圆球壁，它的密度p和比热容c均为常数，无内热源.两

11、侧壁温各自均布，分别为twl和tw2o试求圆球壁稳态导热时壁内温度分布的表达式。解：根据题意，这是一种对于圆心的对称情况 ，r坐标的原点取圆心。当导热系数入为常数时，描述该圆球壁内稳态温度场的微分方程式为-d（r2dt） 0（1）dr dr边界条件：r=r 1:t=t w1r=r 2：t=t w2式（1）两侧积分一次2 dt rdr(3)式（3）两侧再积分一次，可得该微分方程式的通解C1rC2代入边界条件tw1C1r1C2tw2C1C2一式（6）r2r1代入式（5）C21 tw1(2)(4)(6)(8)11常数C1和C2代入微分方程式的通解式（4）得到壁内的温度表达式tw1 tw2r12(1

12、-) trw1(9)例11玻璃液柱式温度计插入一焊在气体管道的钢制细长套管内测定管道内的气体温度。为 了增强温度计和套管间的传热，减少测温误差，套管内灌入机油.温度计的指示温度为200 C,气体管道壁温为 80 C.钢制套管长8 cm ,直径为1。5 cm ,壁厚为1 mm,导热系数 约为40W/(m 2 K)。气体与套管外表面间的对流换热系数为100 W/(m2 K)。试求气体的实际温度。解：若忽略温度计和套管底面间的热阻，温度计的指示温度可视为为套管底面的温度。忽略 温度计玻璃柱和机油的导热，套管可视为空心等截面直肋。求解时按绝热肋端边界条件加上长度修正，可简化计算过程.A (d12 d；

13、) (152 132) 106 4.4 105 m2 4432U d1 3.14 15 10 3 4.71 10 2m国巾hU 100 4.71 10 2 厂1因此 m .,551.73m-1A 40 4.4 105mlc=51.73 p.08+0.015/4)=4。332titfch(mlc)ch(mlc)(6)tftich(mlc) t0ch(mlc) 1200 38.05 8038.05 1203.2 C(8)(1)(2)(3)(4)(5)查得ch(mlc) =ch (4。332)=38.05讨论：由肋片的传热分析可知，套管底面的温度和流体之间会有温差，即由于套管的导热而 引起的温度测量

14、误差，增加套管的长度和适当改变 m中的几个参数可以降低这一误差。例12某空气压缩机的气缸套有环状的铸铝肋片以加强散热。该肋片厚 0=50 mm和门=90 mm.肋片根部的温度为 70 ，铸铝的导热系数 气温度为20 C。由于风扇的冷却，空气和肋片间的对流换热系数 每片肋片的散热量。6 mm内外径分别为入=150 W/(m K),周围空 h=60 W/ (才 K)。试求解：根据该肋片的几何形状，需要通过查图计算出肋片效率 应的图上的公式计算如下：后才能计算出散热量.按照相lc=l+ 夕2=0。023 m (1)ric=门+ 8/2=r0+l c =0。048 m (2) ric/ro =1.92

15、 Am = d38 10-4m2 (4)(3).3/2 / h 、1/23/2 /60、1/2Lc ()0.048 (4)Am150 1.38 100.1879(5)查图可得肋片效率n=0。 95(6)由于每片肋片有上下两个表面, 22、，、o h 2 (ricro)(totf)=602 tiX (0.0482-0.0252) X (70- 20)=31.65 W (7 )因此 =用o=0。95X31o 65=30.1 W (8)例13两根很长的直径为 5 mm的铝条焊在一起。 焊接时周围空气温度为 10 C,铝条与空气 之间的对流换热系数 h=15 W/(m 2 K)。若焊点处的温度为 250 C,确定焊点处的加热量。解：铝条的导热系数取=203.5W/ (m-K)每根铝条可视为一无限长的圆柱