种迭代法雅克比高斯赛贝尔超松弛求解方程组试验报告

1、大连民族学院数学实验报告课程：数值分析与软件实验题目: 分别用 Jacobh Gauss-Seidel SOR迭代法求解线性方程组系别：理学院专业：数学与应用数学姓名：赵英翠班级：数学101指导教师：牛大田完成学期：2012 年 4 月 14 日实验目的:1,熟悉matlab上机环境，掌握 matlab相关知识；2.掌握求解线性方程组的三种迭代法：Jacobk Gauss-Seidel SOR迭代法;3,比较三种迭代法的差异；实验内容：(问题、数学模型、要求、关键词)1 .分别运用Jacobk Gauss-Seidel SOR迭代法求解如下线性方程组4100Xi5.841410x25.501

2、41x37.330014x43.35取初始点X(0) (0,0,0,0) T，精度要求 106； SOR迭代法中松弛因子1.052 .求解上述方程组准确解，与上述三种方法的结果进行比较。关键词：Jacobk Gauss-Seidel SOR迭代法 线性方程组实验方法和步骤(包括数值公式、算法步骤、程序)：1 .利用Jacobi迭代法求解:编制名为 majacobi.m的文件，内容如下：function x=majacobi(A,b,x0,ep,N)n=length(b);if nargin>5,Warning('传递的参数个数错误');endif nargin<5,

3、N=500;endif nargin<4,ep=1e-6;endif nargin<3,x0=zeros(n,1);endx=zeros(n,1);k=0;while k<Nfor i=1:nx(i)=(b(i)-A(i,1:i-1,i+1:n)*x0(1:i-1,i+1:n)/A(i,i);endif norm(x-x0,inf)<ep,break;endx0=x;k=k+1;endif k=N,Warning('已达到迭代次数上限');enddisp('迭代次数 k=',num2str(k)2 .利用Gauss-Seide迭代法求解：

4、编制名为 maseidel.m的文件，内容如下：function x=maseidel(A,b,x0,ep,N) n=length(b);if nargin<5,N=500;endif nargin<4,ep=1e-6;endif nargin<3,x0=zeros(n,1);endx=zeros(n,1);k=0;while k<Nfor i=1:nif i=1x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)/A(1,1);else if i=nx(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1)/A(n,n);elsex(i)=(b(i)-A(i,1:

5、i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)/A(i,i);endendendif norm(x-x0,inf)<ep,break;endx0=x;k=k+1;endif k=N,Warning('已达到迭代次数上限');enddisp('迭代次数 k=',num2str(k)3 .利用SOR迭代法求解：编制名为masor.m的文件，内容如下:function x=masor(A,b,omega,x0,ep,N)n=length(b);if nargin<6,N=500;endif nargin<5,ep=1e-6;en

6、dif nargin<4,x0=zeros(n,1);endif nargin<3,omega=1.5;endx=zeros(n,1);k=0;while k<Nfor i=1:nif i=1x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)/A(1,1);else if i=nx1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1)/A(n,n);elsex1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)/A(i,i);endendx(i)=(1-omega)*x0(i)+omega*x1(i);endif

7、norm(x0-x,inf)<ep,break;endk=k+1; x0=x;endif k=N,Warning('已达到迭代次数上限');enddisp('迭代次数 k=',num2str(k)4 .利用matlab求解方程组的准确解在matlab指令窗口中输入：> > A=4,-1,0,0;-1 4 -1 0;0 -1 4 -1;0 0 -1 4;> > B=5.84 -5.5 7.33 3.35'> > X=AB实验数据和分析：1 .利用Jacobi迭代法求解：在MATLA蹄令窗口执行程序 masorm.m

8、:>>clear;clc> > A=4,-1,0,0;-1 4 -1 0;0 -1 4 -1;0 0 -1 4;> > B=5.84 -5.5 7.33 3.35'> > x=majacobi(A,B)得到计算结果：迭代次数k=17x =1.3264-0.53452.03551.34642 .利用Gauss-Seide迭代法求解: 在MATLAB命令窗口执行程序maseidel.m:>>clear;clc>> A=4,-1,0,0;-1 4 -1 0;0 -1 4 -1;0 0 -1 4;>> B=5.

9、84 -5.5 7.33 3.35'>> x=maseidel(A,B)得到计算结果：迭代次数k=9x =1.3264-0.53452.03551.34643 .利用SOR迭代法求解：在MATLAB命令窗口执行程序：>>clear;clc>> A=4,-1,0,0;-1 4 -1 0;0 -1 4 -1;0 0 -1 4;>> B=5.84 -5.5 7.33 3.35'>>x=masor(A,B,1.05)得到计算结果：迭代次数k=61.3264-0.53452.03551.34644 .利用matlab求解方程组的准确解得到计算结构X =1.3264-0.53452.03551.3464通过以上数据测试可以分析出以下几点：1 . Jacobi、Gauss-Seidel SOR三种迭代法对应的迭代次数是逐渐减少的，也就是说三种方法在迭代的速度上是逐个增加的；2 .三种迭代法计算得到的解与严格计算方程组后的精确解在结果所示精度下是相同的，说明三种迭代法的求解精度是不低的。实验的启示：1,通过本次试验，我掌握了用 Jacobk Gauss-Seidel SOR迭代法求解