积分因子与全微分方程

1、积分因子与全微分方程1微分方程的用途镭是一种放射性物质，它的原子不停地向外放射出氯原子和其它的射线.从而自身的原子量减少，这样就变成了其它的物质 （如常见的铅）. 一定质量的镭随着时间的变化，它的质量就会减少.现在已经发现镭的裂变速度（即单位时间裂变的质量）与它的剩余量成正比，设一块镭在时刻t t0时，其质量R Ro，请确定这块镭在时刻 t的质量R .dR分析：时刻t时镭的剩余量 R是t的函数，由于R将随时间t的流逝而减少.故镭的裂变速度 ” dtdR应该是负值，于是按照镭的裂变规律可列出万程 kR,其中k为一正的比例常数.dt1.1 微分方程定义11P1联系着自变量、未知函数以及它的导数的方

2、程叫做微分方程.上式是一个关于未知函数R的微分方程，上述的问题就是要从这个式子中求出未知函数R R t 来.不仅镭的质量满足这样的规律，其它的放射性物质也都满足这一规律，不同的只是各种放射性物质具有各自不同的系数 k.从这个关系式出发，可以利用放射性物资来测定某种物体的绝对年龄，实际上，火箭的升空，弹道的计算，自动控制，化学反应过程中稳定性的研究等都要用到微分方程.微分方程其实就是联系着自变量，未知函数以及它的导数的关系式，它的本质也是一个方程. 像上面这些例子都可以建立成微分方程的的模型.我们了解了什么是微分方程，和微分方程在现实中的应用.那么解这样的方程就是理所应当该首先考虑的问题了.2全

3、微分方程的定义dy我们可以将一阶万程 f x,y写成微分的形式f x, y dx dy 0 ,写成具有对称形式的 dx一阶微分方程M x, y dx N x, y dy 0 .其中M x,y , N x,y在某矩形域内是x, y的连续且具有连续的一阶偏导数.2.1 全微分方程定义2 1 P39如果微分方程 M x,y dx N x,y dy 0的左边恰好是某个二元函数u x, y的全微分，即M x, y dx N x,y dy du x, yuudx dyxy则称M x, y dx N x, y dy 0为全微分方程.3全微分方程的求解知道了什么是全微分方程，自然会提出一些问题，如何来判断方程

4、是全微分方程，判断了方程为全微分方程，那如何来求全微分方程的通解呢？下面我们来给一些结论：方程M x, y dx N x, y dy 0为全微分方程的冲要条件为：MN .yx般求解全微分方程通解的过程我们用一个例题来演示一下：例 1求 3x2 6xy2 dx 6x2y 4y3 dy 0 的通解.解这里 M 3x2 6xy2, N 6x2y 4y3,这时- N _ 12xy ,12xy ,x因此方程是全微分方程.现在求u ,使它满足如下两个方程u 八2 八 23x 6xy ,xu 2.36x y 4y ,y由3x2 6xy2 ,对x积分，得到 x3 一 2 2u x 3x y y32 2为了确定

5、y ,将u x 3x yy对y求导数，并且使它满足6x2y 4y3,即得到6x2y dy6x2y 4y3,d y 3.、一 一-4y3,积分后得 dyy代入u2 23x y得至u30 2 2x 3x y因此，方程的通解为 x32 243x y yc ,这里c为任意常数.积分因子当方程M x,ydxN x,y dy 0不是全微分方程时，则4.1 积分因子定义3 2 P41如果存在连续可微的函数x,y0 ,使得非全微分方程M x, y dx Nx,ydy 0x,y 并 且 使x, y Mx,ydxx,yN x,ydy0变为一个全微分方程，即存在函数 x, yx, y Mx,ydxx,yN x,yd

6、yd 则称 x, y 为方程 M x, y dx N x,y dy的积分因子.x, y c是 x, y Mx, ydx x, y N x, y dy d 的通解.因而就是M x, y dx N x, y dy 0 的通解.全微分方程可以通过积分求出它的通解.因此能否将一个非全微分方程化为全微分方程就有很大的意义.积分因子是在考虑将非全微分方程化为全微分方程进行求解这一问题上引进的.对于某些简单的微分方程，可以通过“凑微分”的方法来找到它的积分因子.所以熟悉的掌握一些基本地二元函数的全微分是必要的.例如1 P43ydxxdyxyydxxdy2yydx xdy2x例2方程ydx后，即得到全微分方程

7、ydx xdyxyd In xydx xdyy arcty xydxxdy,x y In x yxdy 0不是全微分方程，而1 一、，、一一，一，一-12是它的积分因子，在方程两边同时乘以 y也3 0解它得到：d y0 .即这个方程的通解为 -C .y5求积分因子般情况下用方程来求解积分因子比求这个微分方程本身都困难，但是有一些特殊的微分方程还是比较适合求得它的积分因子的.5.1积分因子不唯一定理定理3 P61如果万程 M x, y dx N x, y dy0存在解，则该方程必有积分因子存在,且不唯一.5.2只与x或y有关的积分因子对于方程M x, y dx Nx,y dy0如果存在只与x有关

8、的积分因子的要条件是时方程N xxdx .由此可知,My方程Mx,y变成了 Nd-dxdx N x,y dy 0有只与x有关的积分因子的充仅是x的函数.假如条件xNx成立，则根x据方程 dx可以求得万程M x,y dx N x, y dy 0的一个积分因子x dxe 同样，假如 M x, y dx N x,y dy 0有只于y有关的积分因子的充要条件是y仅是关于y的函数.从而求得方程M x,y dx Nx,y dy 0 的一个积分因子.例3 求解方程y4 dx xy3dy 0解因为M= x44y3，方程不是全微分方程.3 33考虑到4y ?3xy,从而方程有只与x有关的积分因5 dx x15

9、x乘以积分因子1 .y4 .为一dx5dxx x3y . 一 一 一dy 0 , 整理 xd ln x4 y 4x40 ,所以原方程的通解为ln4V、一七 c,（这里4xc为任意的常数）.求解方程ydx y xdy因为 M y , N y x,所以1也容易看出原方程不是全微分方程,所以方程有只与 y有关的积分因子dy y12 y两边都乘以积分因子dx - dy y yd ln y0 ,所以通解为ln y - yc （这里c为任意常数）.另外，此方程还有y 0 一个解.5.3用分项组合的方法求积分因子卜面我们再介绍一种用分项的方法求积分因子的方法.当方程M x,y dx N x,y dy 0不是

10、全微分方程时，则 yN -一不成立.但如果存在不x恒为零的连续可微函数x, y 使方程 M x, y dx N x, ydy 0成为全微分方程的积分因子.5.3.1积分因子扩展定理定理24P31 32 如果 x,y是微分方程M x,y dx N x, y dy 0的积分因子，即存在可微函数x, y 使得 M x, y dx Nx, y dydu那么x, y 也是方程M x, y dx N x, y dy 0的积分因子的充要条件是x,yu，这里 u是u的可微函证明充分性.u Mdx Ndyu MdxNdy这里u是 u的一个原函数,这就说明了MdxNdy 0是全微分方程，其通解就是 uc （ c任

11、意的常数）.所以必要性.因为x,y是方程Mx, y dx N x, ydy 0的积分因子，所以存在可微函数x,y,Mdx I Ndy dU,两边都乘以,得 Mdx Ndy .5.3.2du分组求积分因子可为可微函数,du得证.5 5 P403如果 是微分方程M x, ydxN x,y dy 0的积分因子，MdxNdy du ,那么 u也是方程M x, y dxx,y dy 0的积分因子，这里是u的任何连续函数.证明u Mdx Ndyu Mdx Ndyu du d u，这里 u是的一个原函数.对于比较复杂的微分方程，可以通过观察进行“分项组合”而求得积分因子.例如在分项组合的情况下，有 M1dx

12、N1dy M2dx N2dy0 .然后，分别找出两组的积分因子i以及也就是说，存在函数 11 x,y 和 22 x, y ，使得 1M 1dx1N1dy du12M 2dx2N2dydu2,再借助i以及2来求微分方程M1dx N1dyM 2dx N2dy0的积分因子.这样，对于上述“分项组合”的情形，如果能够选取适当的函数ui以及u2 ,使得UiU2 ,那么，即使第一组的积分因子，也是第二组的积分因子，因而也就是方程 M1dx N1dyM2dx N2dy 0的积分因子.例5求微分方程 xy2 y dx xdy 0的通解.解把它的左边"分项组合"成xy2dxydx xdy0

13、.现在 2 1 , u2 xy ,于是 x,y是第二组的积分因子，只要适当选取x,y也是第一组的积分因子即可.为此，取1，人、，一,x, y 一方.在所给方程的两边乘以x y1,已得到x ydxd xy22x y0,积分得所给方程的通解为In x1一 C ,（这里C为常数）. xy5.4积分因子是含x, y的关系式连续可微函数 x, y 为x,y dxx, y dy0式的积分因子即当存在函数x, y ,函数x, y 为 Mx,y程 M x,ydxM x, y dxx, y Mx,ydxx, y N x,y dy0时,x,ydx N即:M x, yx, y dydx x, y N x, y dy

14、 d0的积分因子的充要条件是(M)y(N)xN Mx yN x, y dy 0具有形x, y M x, yx, y 的积分因子，应有x, y N x, yN xN x, y dy 0具有形式x, y的积分因子的充要条件为f x, y ，f d此时 e例如（i）：当N Mxx, y x y时 xM x, y dx N x, y dy 0 具有形如 x y的积分因子的充要条件为形如d其中x, y x例如（2 ）：当 x, y xy时,M x,y dxN x, y dy0具有xy的积分因子的充要条件是其中x, yyN xMf xy ，x,y两个式子还可以求出N Mx yM x, y dx N x,y dy 0还具有以下特殊形式:x2 y2等好多的积分因子，相关证明请读者根据上述例题自己完成.参考文献1王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程 M.北京：高等教育出版社，20002东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程M.北京：高等教育出版社，20043滕文凯.积分因子的分组求法J.承德民族师专学报，2004.5, 2期4龚雅玲.求解微分方程的积分因子法J.南昌教育学院学报，2007, 1期5李振东，