第一章第1节集合

1、第1节集合最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法 )描述不同的具体问题； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性 .(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和?.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法

2、.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意 xA，都有 xB，则 A? B 或 B? A.(2)真子集：若 A? B，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合A，则 AB 或BA.(3)相等：若 A? B，且 B? A，则 AB.(4)空集的性质： ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 .3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号若全集为 U，则集合 AA BA B的补集为 ?UA表示图形表示集合 x|xA，或 x Bx|xA，且 x B x|xU，且 x?A表示4.集合的运算性质(1)A A A，A?，ABBA.(2)A A A，A?A，ABBA.(3)A(?UA)?，A(?U

3、A)U，?U(?UA)A.微点提醒 1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n 1 个.2.子集的传递性： A? B，B? C? A? C.3.A? B? ABA? ABB? ?UA? ?UB.4. ?U(AB)(?UA)(?UB)，?U(AB)(?UA)(?UB).基础自测1.判断下列结论正误 (在括号内打“”或“”)(1) x|yx21 y|yx2 1 ( x，y)|yx2 1.()(2)若x2， 1 0 ，1 ，则 x0，1.()(3)对于任意两个集合 A， B，关系 (A B)? (A B)恒成立 .()(4)含有 n 个元素的集合有 2n 个真子集

4、 .()解析 (1)错误 . x|y x21 R， y|yx2 1 1 ，)，( x，y)|y x21 是抛物线 yx21 上的点集 .(2)错误 .当 x1 时，不满足集合中元素的互异性.(4)错误 .含有 n 个元素的集合有2n1 个真子集 .答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 1P2B1 改编 )若集合 P xN|x2 019 ，a22，则()A.aPB. a PC. a ? PD. a?P解析因为 a2 2不是自然数，而集合P 是不大于2 019的自然数构成的集合，所以 a?P，只有 D 正确 .答案D3.(必修 1P13A3 改编 )已知集合 M0 ，1，2，3，4 ，N1 ，3

5、，5 ，则集合 MN 的子集的个数为 _.解析由已知得MN0 ，1，2，3，4，5 ，所以MN 的子集有26 64(个 ).答案644.(2018 全国 卷 )已知集合 A x|x2 x 20 ，则 ?RA()A. x|1x2B. x|1 x2C. x|x2D. x|x 1 x|x2解析法一2 x|(x2)(x1)0 x|x2RA x|x x 20，所以? A x|1x2.法二2x 20R2 x20 x| 1 x 2.因为 A x|x，所以 ?A x|x答案B5.(2019 抚顺模拟 )已知集合 P x|x2 1 ，M a. 若 PM P，则实数 a 的取值范围为()A. 1，1B.1 ， )

6、C.(， 1D.( ， 1 1， )解析P x|1x1 ，且PMP，M? P， a P，因此 1 a 1.答案A6.(2017 全国 卷改编 )已知集合A ( x， y)|x2y2 1 ，B( x，y)|x，yR，且yx ，则AB 中元素的个数为_.解析集合A 表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B 表示直线yx上所有点的集合，易知直线yx和圆x2y21相交，且有2 个交点，故AB中有 2个元素.答案2考点一集合的基本概念【例 1】 (1)(2019 阜新实验中学月考 )若集合 M x|x| 1 ，N y|y x2，|x|1 ，则()A.MNC.MN?B.M?D.N?NM1(2)若 xA

7、，则 xA，就称A 是伙伴关系集合，集合M11，0，2，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A.1B.3C.7D.31解析(1)易知M x| 1 x 1 ，N y|y x2 ，|x|1 y|0y1 ，N? M.1(2)具有伙伴关系的元素组是1，2，2，所以具有伙伴关系的集合有3 个： 1 ，1， 2， 1，1， 2.22答案(1)D(2)B规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义 .2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检

8、验集合中的元素是否满足互异性.【训练 1】 (1)(2018 全国 卷)已知集合 A( x，y)|x2 y23，xZ ，yZ ，则A 中元素的个数为 ()A.9B.8C.5D.4(2)设集合 A x|(x a)21 ，且 2A，3?A，则实数 a 的取值范围为 _.解析(1)由题意知 A ( 1， 0)，(0，0)， (1，0)， (0， 1)， (0，1)，(1， 1)， (1，1)，(1， 1)，(1，1) ，故集合 A 中共有 9 个元素 .（ 2 a）21，1a3，(2)由题意得 （ 3 a）21，解得 或 4.a 2 a所以 1a2.答案(1)A (2)(1， 2考点二集合间的基本关

9、系【例 2】 (1)已知集合 A x|y1x2，x R ，B x|x m2，mA ，则()A.ABB. BAC.A? BD.BA(2)(2019 郑州调研 )已知集合 A x|x25x 140 ，集合 B x|m1x2m1 ，若 B? A，则实数 m 的取值范围为 _.解析(1)易知 A x| 1x1 ，所以 B x|xm2 ，mA x|0 x1.因此BA.(2)A x|x25x14 0 x|2x7.当 B ?时，有 m12m1，则 m 2. 当 B ?时，若 B? A，如图 .m 1 2，则 2m17，m 12m1，解得 20 ，N1x x0. 其它条件不变， 则 m 的取值范围是 _.解析

10、(1)集合2Mx|x x0 x|x1或x0 ，Nx1x1 或x0 x|x7.当 B ?时，有 m12m1，则 m 2.当 B ?时，若 B? A，m12m 1，m 12m1，则或m172m1 2.解之得 m 6.综上可知，实数m 的取值范围是 ( ，26 ， ).答案(1)C(2)(， 26， )考点三集合的运算多维探究角度 1集合的基本运算【例 31】 (1)(2017 全国 卷 )已知集合 A x|x0 ，则()A.AB xx3 ?2B.AB3 C.AB xxD.AR2B(2)(2018 天津卷 )设全集为 R，集合 A x|0x2 ， B x|x1 ，则 A (?B)R()A. x|0x

11、1B. x|0x1C. x|1 x2D. x|0x0 x x2，A x|x2 ，所以 A B x x2，AB x|x2.(2)因为 Bx|x1 ，所以 ?RB x|x1 ，因为 A x|0x2 ，所以 A (?RB) x|0x1.答案(1)A(2)B角度 2 抽象集合的运算【例 32】 设 U 为全集， A，B 是其两个子集，则“存在集合C，使得 A? C，B? ? C”是“ AB?”的()UA.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件解析 由图可知，若 “存在集合 C，使得 A? C，B? ?UC”，则一定有 “ ”；A B ?反过来，若 “AB?”，则一定能

12、找到集合C，使 A? C 且 B? ?U C.答案C规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算 .2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心 .【训练 3】 (1)(2019 延安模拟 )若全集 U 2， 1，0，1，2 ，A 2，2 ，B x|x210 ，则图中阴影部分所表示的集合为()A. 1，0，1B. 1， 0C. 1，1D.0(2)(2019 新乡模拟 )已知集合 A x|x2x0 ，B x|a1xa ，若 AB 只

13、有一个元素，则 a()A.0B.1C.2D.1或2解析(1)B x|x210 1，1 ，阴影部分所表示的集合为?U(AB).A B 2， 1，1，2 ，全集 U 2， 1，0，1，2 ，所以 ?U (A B) 0.(2)易知 A 0，1 ，因为 AB 只有一个元素，所以a 1 1，解得 a 2.答案(1)D(2)C思维升华 1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确 .2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意

14、单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图 .这是数形结合思想的又一体现 .易错防范 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合 )，要对集合进行化简 .2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解 .3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系 .4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组(建议用时： 30 分钟 )一、选择题1.(2018 全国 卷 )已知集合

15、A x|x10 ， B0 ， 1， 2 ，则 AB()A.0B.1C.1 ，2D.0 ，1，2解析由题意知， A x|x1 ，则 AB1 ，2.答案C2.设集合 A1 ，2，3 ， B 4 ，5 ， M x|x a b，aA，bB ，则 M 中元素的个数为 ()A.3B.4C.5D.6解析因为 A1 ，2，3 ，B4 ，5 ，又 M x|xab，a A，bB ，M5 ，6，7，8 ，即 M 中有 4 个元素 .答案B3.(2019 大连、渤海高级中学期末)已知全集3 ，B2，3，4 ，则(?UA)(?UB)(U0，1，2，3，4 ，若 )A0 ，2，A.?B.1C.0 ，2D.1 ，4解析因为

16、全集 U 0 ，1，2，3，4 ，A0 ，2，3，B2，3，4 ，所以 ?UA 1 ，4，?UB0 ，1，因此 (?UA)(?UB)1.答案B4.(2018 石家庄质检 )设集合 A x| 1x2 ， B x|x0 ，则下列结论正确的是()A.( ?R A)B x|x1B.AB x|1x0C.A(?R B) x|x0D.AB x|x2 ，?RB x|x0 ， (?R A) B x|x1 ，A 项不正确 .AB x|1x0 ，B 项正确，检验 C、D 错误 .答案B5.已知集合 A xN|x22x80 ，B x|2x8 ，则集合 AB 的子集的个数为()A.1B.2C.3D.4解析因为A x N

17、|x22x 8 0 0 ，1，2，3，4 ，B x|x 3 ，所以AB3 ，4 ，所以集合 AB 的子集个数为4.答案D6.(2019 豫北名校联考 )已知集合 M x|yx1 ， N x|ylog2(2 x) ，则?R(MN)()A.1 ， 2)B.( ， 1)2 ， )C.0， 1D.( ， 0) 2， )解析 由题意可得RM x|x 1 ，N x|x2 ，M N x|1x2 ，? (M N) x|x1 或 x 2.答案 B7.设集合 A( x，y)|xy1 ，B( x，y)|xy3 ，则满足 M? (A B)的集合 M的个数是 ()A.0B.1C.2D.3xy 1，x 2，解析由得xy

18、3，y 1，AB (2 ， 1).由 M? (AB)，知 M?或 M(2， 1).答案 C一题多解)(2018 中原名校联考 )已知集合 A22 cx0 ，若 A? B，则实数 c 的取值范围为 ()A.(0， 1B.1 ， )C.(0， 1)D.(1 ， )解析 法一由题意知， A x|ylg(xx2 x|x2 x|0x0B x|xcx0 x|0xc. 由 A? B，画出数轴，如图所示，得c1.法二A x|ylg(x x2) x|x2 x|0x01B x|0x1 ，则 A? B 成立，可排除 C、 D；取 c 2，得 B x|0x0 ，则(?RS)T_.解析易知 S x|x2 或 x 3 ，?R S x|2x3 ，因此 (?RS) Tx|2x3.答案 x|2x3已知集合1， ， ， 23 ，若 AB1 ，则实数 a 的值为 _.10.A2 B a a解析由 A B 1 知， 1B，又 a233，则 a1.答案111.(2019 福州质检 )已知集合 A1 ，3，4，7 ，B x|x2k1，kA ，则集合AB 中元素的个数为 _.解析A1 ，3，4，7 ，B x|x2k1，kA ，B3 ，7，9，15，AB1 ，3，4，7，9，15，集合 AB 中元素的