《集合的含义与表示》教学设计

1、学习好资料欢迎下载1.1.1 集合的含义与表示教案【教学目标】1.了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；2. 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；3. 掌握常用数集及其记法；4.了解集合的表示方法；5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.【导入新课】一、实例引入：军训前学校通知： 8 月 20 日 8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里， 集合是我们常用的一个词语， 我们感兴趣的是问题中某些特定 （是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此

2、，我们将学习一个新的概念集合，即是一些研究对象的总体.二、问题情境引入：我们高一（一）班一共52 人，其中班长张三，现有以下问题： 52 人组成的班集体能否组成一个整体？ 张三和 52 人所组成的班集体是什么关系? 假设李四是相邻班的学生，问他与高一·一班是什么关系？新授课阶段（一）集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2.一般地，我们把研究对象统称为元素（ element ），一些元素组成的总体叫集合（ set ），也简称 集 .3. 思考 1：判断以下元素的全体是否组成集合，并

3、说明理由：（ 1） 大于 3 小于 11 的偶数；学习好资料欢迎下载（ 2） 我国的小河流；（ 3） 非负奇数；（4）方程 x210 的解；（ 5） 某校 20XX 级新生；（ 6） 血压很高的人；（ 7） 著名的数学家；（ 8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点；（ 9） 全班成绩好的学生 .对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题.4. 关于集合的元素的特征（ 1）确定性： 设 A 是一个给定的集合， x 是某一个具体对象， 则或者是 A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（ 2）互异性：一个给定集合中的元素， 指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此

4、，同一集合中不应重复出现同一元素.（ 3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关.（ 4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样.(二 )元素与集合的关系1. （ 1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（ belong to） A ，记作： a A ；（ 2）如果 a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（ not belong to ） A，记作： aA ，例如，我们A 表示“ 120 以内的所有质数”组成的集合，则有3 A ， 4A ，等等 .2集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B， C 表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c, 表示 .3常用的数集及记法：

5、非负整数集（或自然数集），记作 N ；正整数集，记作N *或 N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.学习好资料欢迎下载例 1 若集合 A 为所以大于1 二小于 3 的实数组成的集合，则下面说法正确的为（）A 0A.1 AC.0.2AD.1A解析： 根据元素与集合的关系可得，答案C.答案： C例 2用“”或“”符号填空：（1）8N；（ 2）0N；（ 3）-3Z；（4） 2 Q；（5）设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国 A ，印度 A，英国 A.答案：; ;, ,例 3判断下列各句的说法是否正确：(1)所有在 N 中的元素都在N* 中()(2)所有在 N 中的元素都

6、在Z 中()(3)所有不在 N* 中的数都不在Z 中()(4)所有不在 Q 中的实数都在R 中()(5)由既在 R 中又在 N 中的数组成的集合中一定包含数0()(6)不在 N 中的数不能使方程4x 8成立()答案： ×，×，×，例 4已知集合 P 的元素为 1,m, m23m3,若3 P且-1P，求实数 m 的值解：根据 3P ，得若 m3,则 m23m33 此时不满足题意；若m 3m 33, 解得此时 m0 或 m3 （舍），综上 符合条件的 m0 .点评： 本题综合运用集合的定义和元素与集合的关系解题，注意集合的性质的运用.（三） 集合的表示方法我们可以用自

7、然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合(1)列举法： 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法.如： 1 ， 2，3， 4， 5 ， x 2， 3x+2 ， 5y3-x，x2+y 2 ， 说明： 1集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.学习好资料欢迎下载2各个元素之间要用逗号隔开；3元素不能重复；4集合中的元素可以数，点，代数式等；5对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为1,2,3,4,5,. .例 5用列举法表

8、示下列集合：(1)x2 4 的一次因式组成的集合 .(2) y y x2 2x 3，x R,y N .(3)方程 x2 6x 9 0 的解集 .(4)20以内的质数 .(5) （ x， y） x2 y2 1， x Z,y Z .(6) 大于 0 小于 3 的整数 (7) x R x2 5x 14 0.(8) （ x， y） xN ，且 1 x 4， y 2x 0.(9) （ x， y） x y 6， x N， y N.分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.解： (1)因 x2 4（ x 2）（x 2），故符合题意的集合为 x 2

9、，x 2.(2)y x2 2x 3（ x 1） 2 4，即 y 4，又 y N， y 0， 1，2， 3， 4.故 y y x2 2x3， x R, y N 0 ， 1， 2， 3，4.(3)由 x2 6x 90 得 x1 x2 3，方程x2 6x 9 0 的解集为 3.(4)20 以内的质数 2 ， 3， 5，7， 11， 13，17， 19.(5)因 x Z, y Z ，则 x 1， 0， 1 时， y 0，1， 1.那么 ( x，y) x2 y2 1， x Z ,y Z （ 1， 0），（ 0， 1），（0， 1），（ 1， 0） .(6) 大于 0 小于 3 的整数 1 ，2.(7)因

10、 x2 5x 140 的解为 x1 7， x2 2，则 x R x2 5x14 0 7， 2.(8)当 x N 且 1 x4 时， x 1， 2， 3，此时 y 2x，即 y 2， 4， 6.那么 （ x， y） x N 且 1 x4， y 2x0 （ 1，2），（ 2，4），（ 3，6） .(9) （ x，y） x y 6， x N ，y N （ 0，6）（ 1， 5），（ 2， 4），（ 3，3），（ 4，2），（ 5， 1），（6， 0） .（ 2）描述法： 把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号 内 .学习好资料欢迎下载具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（

11、或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：xA p( x)如： x|x-3>2， (x,y)|y=x2+1 ， x直角三角形 ， ；说明 ：1课本 P5 最后一段话；2描述法表示集合应注意集合的代表元素 ，如 (x,y)|y= x2 +3x+2与y|y= x2+3x+2是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如： x整数 ，即代表整数集Z.辨析：这里的 已包含 “所有” 的意思， 所以不必写 全体整数 . 下列写法 实数集 ，R 也是错误的 .说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元

12、素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.例 6用描述法表示下列集合：(1)方程 2x y 5的解集 .(2) 小于 10 的所有非负整数的集合 .(3)方程 ax by0（ ab0）的解 .(4)数轴上离开原点的距离大于3 的点的集合 .(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合.x+ y1(6)方程组 x y 1 的解的集合 .(7)1 ， 3， 5，7， .(8)x 轴上所有点的集合 .(9)非负偶数 .(10)能被 3 整除的整数 .分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素， 公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.解： (1) （x， y

13、） 2x y 5.(2)小于 10 的所有非负整数的集合用描述法表示为 x 0 x 10， x Z.(3)方程 ax by0（ ab0）的解用描述法表示为 （ x， y） ax by 0（ab 0）.(4)数轴上离开原点的距离大于3 的点的集合用描述法表示为 x x3.(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合用描述法表示为 （ x， y） xy 0.x+ y1x+ y1(6)方程组 x y 1 的解的集合用描述法表示为 （ x， y） xy 1 .(7)1 ， 3，5， 7， 用描述法表示为 x x 2k 1， k N* .学习好资料欢迎下载(8)x 轴上所有点的集合用描述法表示为 （ x， y

14、） x R， y 0.(9)非负偶数用描述法表示为 x x 2k，k N .(10)能被 3 整除的整数用描述法表示为 x x 3k，k Z.（3）文恩图法：集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：表示任意一个集合A表示 3 ， 9， 27表示 4 ，6，10边界用直线还是曲线， 用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.例 7 设集合 A x x2k，k Z ， B xx 2k 1， k Z ， C xx 4k 1，k解：因 A x x 2k，kZ ，B

15、 x x 2k1，k Z ，则集合 A 由偶数构成，集合B 由奇数构成 .即 a 是偶数， b 是奇数设 a 2m， b 2n1（ m Z , n Z ）则 ab 2（ m n） 1 是奇数，那么a b A， a bB.又 C xx 4k 1，k Z 是由部分奇数构成且x 4k1 2· 2k1.故 m n 是偶数时， ab C； m n 不是偶数时，a b C综上 a b A，a b B， a b C.课堂小结1.集合的概念中， “某些指定的对象” ，可以是任意的具体确定的事物，例如数、 式、点、形、物等.2.3. 集合的常用表示方法，包括列举法、描述法.作业1习题 1.1，第 1-

16、 2 题；学习好资料欢迎下载2预习集合的表示方法.拓展提升1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：(1) 所有绝对值等于8 的数的集合A；(2) 所有绝对值小于8 的整数的集合B.2.下列各组对象不能形成 集合的是（）A. 大于 6 的所有整数B. 高中数学的所有难题1C.被 3 除余 2 的所有整数D. 函数 y x 图象上所有的点3.下列条件能形成集合的是（）A. 充分小的负数全体B.爱好飞机的一些人C.某班本学期视力较差的同学D.某校某班某一天所有课程4.集合 A 的元素由 kx2 3x 20的解构成，其中k R ，若 A 中的元素至多有一个，求k值的范围 .5.若 x R，则

17、3 ， x， x2 2x 中的元素x 应满足什么条件?116.方程ax2 5xc 0 的解集是 2 ， 3 ，则 a _，c_.7.集合 A 的元素是由 x ab2 （ aZ, b Z ）组成，判断下列元素x 与集合 A 之间的关系：0，11.，32 12参考答案1. 分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提学习好资料欢迎下载对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.解： (1)A 绝对值等于8 的数 其元素为： 8， 8(2)B 绝对值小于8 的整数 其元素为：7， 6， 5， 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7.2

18、. 解：综观四个选择支，A 、 C、D 的对象是确定的，惟有B 中的对象不确定，故不能形成集合的是B.3 解：综观该题的四个选择支，A、 B、 C 的对象不确定，惟有D 某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.4. 解：由题A 中元素即方程kx2 3x2 0(k R)的根2若 k 0，则 x 3 ，知 A 中有一个元素，符合题设若 k 0，则方程为一元二次方程.当9 8k 0 即 k 9时， kx2 3x 2 0 有两相等的实数根，此时A 中有一个元素 .89又当 9 8k0 即 k 8 时 ,kx2 3x 20 无解 .此时 A 中无任何元素，即A也符合条件综上所述k 0 或 k 98评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论 .其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况 .5. 解：集合元素的特征说明 3 ，x， x2 2x 中元素应满足关系式x 3x3x 3x x2 2x即 x2 3x也就是 x 03 x2 2xx2 2x3 0x 1即 x 1， 0， 3 满足条件 .6. 解：方程 ax2 5xc 0 的解集是 1 ， 1 ，那么 1 、