第四章 弯曲应力 习题解

1、 习题4-1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩. (a)解： 。(b)解：(1)求支座反力 （）（） （2）求指定截面上的内力 (c) 解：(1)求支座反力 由力偶只能由偶平衡的原理可知：A、 B支座的反力构成一约束反力偶，与主动力偶等值、共面、反向，故： （）（）（2）求指定截面上的内力； 。； (d)解：(1)求支座反力 因为AB平衡，所以： （） （） （2）求指定截面上的内力 。（e）解：(1)求支座反力 由力偶只能由偶平衡的原理可知：A（左）、C（右）支座的反力构成一约束反力偶，与主动力偶等值、共面、反向，故： （）；（）（2）求指定截面上的内力； 。； ； （f）解：(1)求支

2、座反力 因为AB杆平衡，所以： （） （） （2）求指定截面上的内力；。 （g）解：(1)求支座反力 由对称性可知： （） （2）求指定截面上的内力 （h）解：(1)求支座反力 由对称性可知： （） （2）求指定截面上的内力 习题4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(a)解： (b)（b）解：当 时 当时 (c) 解： 当时 当 时 （d）解： 当 时， 当 时， （e）解：当时， 当 时， （f）解：AB段： BC段： （g）解：AB段内： BC段内： （h） 解：AC段内： CD段内： DB段内： 习题4-3 试利用荷载集度、剪力和弯矩间和微分关系作下列各梁的剪

3、力图和弯矩图。 (a)(b) (c)(d) (e)(f) (g)(h) (i)(j)习题4-4 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图(a)(b)(c)习题4-5 试根据弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系指出图示剪力图和弯矩图的错误。（a）解:(a)图中的剪力图是错误的。因为本例中， （向上为正，向下为负），所以悬臂段的剪力图应该是：倾斜线与x轴的正向的夹角（直线的倾斜角）大于。悬臂段的剪力应该为正。 （a）图中的弯矩图是错的。因为左段的弯矩图的凸向应该向下。（b）解：（b）图中，弯矩图应该中集中力偶作用处，左右两侧弯矩有突变，突变的数值等于集中力偶的数值。（c）解：在（c）图中，剪力图明显错

4、误，在集中力偶作用处，剪力不会发生突变。弯矩图中集中力偶作用处应该有突变，突变的数值等于集中力偶的数值。另外，在AC段，弯矩图的凸向应该向上。习题4-6 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。（a）解：从剪力图可知，剪力是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、C、D，则根据以上控制截面的弯矩、剪力图，可作出如图所示的弯矩图和荷载图。(b) 解：从剪力图可知，剪力是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、C，则从图Q中可知，AB段作用着线均布荷载，（），在C处作用有铅垂向下的集中荷载（）。最在大正弯矩出现在剪力为零处，出现最大弯矩的截面位置在处，。由控制截面

5、的弯矩和以上受荷分析，可作出如图所示的弯矩图的荷载图。习题4-7 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。（a）解：从弯矩图可知，弯矩是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、C、D。弯矩图的斜率是剪力。因为AB平行于DB，所以这两段的剪力相同。A为铰，其弯矩为零。B处弯矩有突变，突变的数值等于集中力偶，从图中可读得20kN.m。D截面左右两侧的弯矩也有突变，突变的数值等于集中力偶的数值10kN.m。据此，可以画出如图所示的剪力图与荷载图。（b）解：从弯矩图可知，弯矩是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、C、D。弯矩图的斜率是剪力。AB段：BC段： CD段：根据以上分析，可作出如图所示

6、的剪力图和荷载图。习题4-8 试用叠加法作出如图所示各图的弯矩图。解：在外力偶单独作用下，跨中呈直线变化。在F单独作用下，。这两种外力共同作用叠加的结果如图所示。（b）解：（1）求控制截面的弯矩 AC跨中叠加弯矩： BC跨中叠加弯矩： （2）画控制截面弯矩的竖标，连竖标叠加后得如图所示的弯矩图。（c）解：（1）求控制截面的弯矩 AB跨中叠加弯矩： （2）画控制截面弯矩的竖标，连竖标叠加后得如图所示的弯矩图。 （d）解：（1）求控制截面的弯矩 （2）画控制截面弯矩的竖标，连竖标叠加后得如图所示的弯矩图。(e）解：（1）求控制截面的弯矩 AD跨中叠加弯矩：（2）画控制截面弯矩的竖标，连竖标叠加后得

7、如图所示的弯矩图。(f）解：（1）求控制截面的弯矩 CD跨中叠加弯矩：（2）画控制截面弯矩的竖标，连竖标叠加后得如图所示的弯矩图。习题4-9 选择适当的方法，试作图示各梁的剪力图和弯矩图。（a）解：（1）求剪力与弯矩方程以B为原点，AB为x轴，BA方向为x轴正向。 （2）由剪力方程与弯矩方程作Q图和M图X00.20.40.60.811.21.41.61.7Q-3-2.8-2.2-1.20.224.26.89.811.45M(0.00 0.59 1.09 1.44 1.55 1.33 0.72 -0.37 -2.03 -3.09 4-9(a)（b）解：（1）求剪力与弯矩方程以A为原点，AB为x轴

8、，AB方向为x轴正向。AC段： CD段： AC段：（2）由剪力方程与弯矩方程作Q图和M图x011.522.533.544.556Q0403020100-10-20-30-400x00.30.60.911.522.533.544.555.15.45.76M01.87.216.22037.55057.56057.55037.52016.27.21.804-9(b)（c）解：(1)求支座反力（）（2）求剪力与弯矩方程以A为原点，AB为x轴，AB方向为x轴正向。AC段： ， 。令，得：时，CB段： ，。x00.511.522.533.54Q43.7531.750-1.8-3-3.8-4M01.963.

9、674.885.334.883.671.960设,，观察Q、M图的弯化情况。4-9（c）（d）解：左支座为A，右支座为B。(1)求支座反力 （）（）（2）求剪力与弯矩方程以A为原点，AB为x轴，AB方向为x轴正向。 令，得：当时， x00.20.40.60.811.1881.21.41.61.822.22.42.62.83Q5040.331.122.414.36.670.026-0.4-6.9-13-18-23-28-32-35-38-40M09.0216.121.525.127.227.8427.827.125.12217.812.76.720.06-7.2-154-9(d)(e)解：（1）

10、求支座反力 （）（）（2）求剪力与弯矩方程以A为原点，AB为x轴，AB方向为x轴正向。 令，得：当时，x00.40.81.21.622.42.522.83.23.64Q110.970.890.740.50.14-0-0.4-1-1.9-3M00.40.791.171.51.751.881.891.841.560.980设,，观察Q、M图的弯化情况。4-9(e) (f)解：（1）求支座反力A、 B之间正弦曲线的面积为：（）X截面以左部分的面积： （2）求剪力与弯矩方程以A为原点，AB为x轴，AB方向为x轴正向。 当时，；当时， 边界条件： 故：。当时，。x00.40.81.21.622.42.8

11、3.23.64Q3.823.6353.092.251.180-1.2-2.25-3.09-3.63-3.82M01.50 2.863.944.634.874.633.94 2.8611.50 0.00 设,，观察Q、M图的弯化情况。4-9(f)习题4-10 试作简支梁在图示4种荷载况下的弯矩图，并比较其最大弯矩值。这些结果说明梁上的荷载不能任意用其静力等效力系代替，以及荷载分散作用时，使梁内下降的情况。（a）解：（1）求支座反力 （）。如图所示。截面位置ACBX(L)00.250.50.751M(FL/4)00.510.50（b）解：（1）求支座反力 （） (2)求控制截面的弯矩 （3）画竖标

12、、连竖标、形成弯矩图如图所示截面位置ACDEBX(L)00.250.50.751M(FL/6)00.7510.750（c）解：（1）求支座反力 （） (2)求控制截面的弯矩 （3）画竖标、连竖标、形成弯矩图如图所示截面位置ACDEFGBx(L)01/61/31/22/35/61M(FL)01/122/153/202/151/120(d)解：（1）求支座反力 （）(2)写弯矩方程以A为坐标原点，AB为x轴的正向。令，得：当时，（3）由弯矩方程描绘弯矩图截面位置A跨中Bx(L)00.51M(FL)0 1/80讨论：以上四个算例说明：（1）作用在变形固体上的力不能作静力等效替换，否则会影响内力的分布

13、。（2）以上四个结构，虽然均受到合力为F的作用，但把力分散作用之后，弯矩分布趋于均匀，且最大弯矩变小。最大弯矩变化情况如下图所示。习题4-10Mmax(FL)作用点个数(a)0.251(b)0.1673(c)0.155(d)0.125无穷个习题4-11 图示以三种不同方式悬吊着的长12m 、重24kN的等直杆，每根吊索承受由杆重引起的力相同。试分别作出三种情况下杆的弯矩图，并加以比较。这些结果说明什么问题。(a)解：（1）求约束反力等直杆的线均布荷载为： 吊索承受的力为（）（2）写弯矩方程 以A为坐标原点，AB为x轴的正向。 （3）由弯矩方程描绘弯矩图截面位置A跨中Bx(m)024681012

14、M(kN.m)020323632200（b）解：（1）求约束反力等直杆的线均布荷载为： 吊索承受的力为（）（2）写弯矩方程 以A为坐标原点，AB为x轴的正向。AC段：，CD段：，DB段：，（3）由弯矩方程描绘弯矩图AC中DBx00.511.522.534567899.51010.51111.512M0-0.3-1-2.3-4-6.3-325652-3-6.3-4-2.3-1-0.30（c）解：（1）求约束反力等直杆的线均布荷载为： 吊索承受的力为：（）（2）写弯矩方程 以A为坐标原点，AB为x轴的正向。AC段：，CD段：，DE段：，EF段： ，FB段：，（3）由弯矩方程描绘弯矩图ACDEFx0

15、0.51.522.534.555.567.588.599.51010.51111.512M0-0.25-2.25-1-0.250-2.25-1-0.250-2.25-1-0.250-0.25-1-2.25-1-0.250讨论：本题的三种吊装方法中，吊点越多，弯矩的绝对值越小，对构件的安全越有利；在相同吊点的情况下，合理的布点，也可大大地减小弯矩的数值。习题4-11|Mmax|(a)36(b)6.25(c)2.25习题4-12 如欲使图示外伸梁的跨中点处的正弯矩值等于支点处的负弯矩值，则支座到端点的距离与梁长之比应等于多少？解：（1）求支座反力 （）(2)求欲求截面的矩（3）依题意：，求的值负根

16、不合题意，舍去。习题4-13 一根搁在地基上的梁承受荷载如图所示。假设地基反力是均匀分布的。试求地基反力集度，并作剪力图和弯矩图。（a）解：(1)求 因为AB梁平衡，所以。即：（2）写剪力方程，并作剪力图以A为坐标原点，AB为x轴的正向。AC段：，CD段：，DE段：，EF段： ，FB段：，点ACDEFx00.5999990.6000011.0999991.1000012.0999992.1000012.5999992.6000013.2Q037.50 -12.50 18.75 -31.25 31.25 -18.75 12.50 -37.50 0.00 （3）写弯矩方程，并作弯矩图以A为坐标原点

17、，AB为x轴的正向。AC段：，CD段：，DE段：，EF段： ，FB段：，点ACDEFBx(m)00.30.60.851.11.62.12.352.62.93.2Q(kN)0.00 2.81 11.25 10.08 12.81 5.00 12.81 10.08 11.25 2.81 0.00 （b）解： (1)求 因为AB梁平衡，所以。即：（2）写剪力方程，并作剪力图以A为坐标原点，AB为x轴的正向。设AB的中点为C。；AC段： 令，得：当时， 当时，CB段：， 令，得： ，。当时， 当时，由剪力方程描绘剪力图描绘剪力图如下图所示。截面位置ACBx(L)00.250.50.751Q(qL)0 1

18、/160- 1/160（2）写弯矩方程，并作弯矩图AC段： 令，得：，当时， 当时， 当时，CB段： 由对称性可知，当时，；当时，由弯矩方程描绘弯矩图如下图所示。截面位置ACBx(L)00.250.50.751Q(qL)0 1/160- 1/160M(qL*L)0 1/96 1/48 1/960 习题4-14 一根搁在地基上的梁承受荷载如图所示。假设地基的反力按直线规律变化。试求反力在在两端A点和B点处的集度和，并作梁的剪力图和弯矩图。解：（1）求和 因为地基梁处于平衡状态，所以 （a） (b) 联立(a)、(b)，解方程组得： ；（2）求剪力方程，并作剪力图 以A为为座标原点，AB为x轴的正

19、向。设截面的地基反力集度为，则由相似三角形对应边成比例的关系可得： AC段： 当时， 当时，当时，CD段： ，当时，当时，当时，（最大正剪力）DB段： ，当时， （最大负剪力）当时， 当时， 由剪力方程作剪力图如下。 截面位置ACDx(a)0.000 0.250 0.500 0.500 1.000 1.500 1.500 1.750 2.000 Q(F)0.000 0.164 0.469 -0.5310.125 0.969 -1.031-0.2110.000 （3）写弯矩方程，并和弯矩图AC段： ，因，故：，当时， 当时， 当时，CD段： ， 当时，当时， 当时，（最大正弯矩）DB段：， 当时

20、，当时，当时，截面位置ACDBx(a)00.250.511.51.752M(Fa)0.000 0.025 0.109 0.000 0.266 0.068 0.000 习题4-15 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。解： 习题4-15（a） 习题4-15（b）习题4-15（c）习题4-15（d）习题4-15（e）习题4-15（f）习题4-16 试作图示斜梁的剪力图、弯矩图和轴力图。解：（1）求支座反力以A为坐标原点，AB为x轴的正向；过A点，且斜向左上方的直线为y轴的正向。 （） （） （） （）（2）求剪力方程，并作剪力图当时，当时，截面位置A右邻B左邻x(m)03.464Q(kN)10.

21、5-10.5（3）求弯矩方程，并作弯矩图截面位置A跨中Bx(m)00.8661.7322.5983.464M(kN.m)0.00 6.82 9.09 6.82 0.00 （4）求轴力方程，并作轴力图截面位置ABx(m)03.464N(kN)-12.1240习题4-17 折杆ABC的受力如图所示，试作杆的剪力图、弯矩图和轴力图。 解：（1）求支座反力 由对称性可知： （） （2）求控制载面的弯矩 （3）画弯矩的竖标，连竖标，形成弯矩图 （4）作剪力图 （5）作轴力图 习题4-18 圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆的轴线半径为R，试写出任意横截面C上的剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成角的函数），并

22、作剪力图、弯矩图和轴力图。 习题4-18(a)习题4-18(b) 习题4-18(c)（a）解： ， ，4-18（a） (b)解： ， ，角度(度)0306090Q(F)1.000 0.866 0.500 0.000 M(FR)0.000 -0.500 -0.866 -1.000 N(F)0.000 -0.500 -0.866 -1.000 4-18（b）(c)解： ， ，角度0306090Q(F)-1.000 -0.866 -0.500 0.000 N(F)0.000 0.500 0.866 1.000 M(FR)0.000 0.500 0.866 1.000 习题4-19 图示吊车梁，吊车的

23、每个轮子对梁的作用力都是F，试问：（1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？（2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？解：梁的弯矩最大值出现在某一集中荷载作用处。（1） 求支座反力由AB梁的平衡条件得：（2）求最大弯矩及其出现位置当 时， 当M极大时： ，即： ，故， 即 为梁内发生最大弯矩的截面 = 习题4-20 习题4-18b图所示曲杆如位于水平面内，而荷载F仍为竖直力，试分析此时任意横截面上的内力，并作各内力图。解：任意截面上的内力有：M、T和Q。 （上侧受拉）角度(度)0306090M(FR)0.000 -0.500 -0.866 -1.

24、000 T(FR)0.000 0.134 0.500 1.000 Q(F)1.000 1.000 1.000 1.000 习题4-21 长度为250mm、截面尺寸为 的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为 的圆弧。已知弹性模量 。试求钢尺横截面上的最大正应力。解：由中性层的曲率公式：及横截面上的最大正应力得： 。由几何关系得： 于是钢尺横截面上的最大正应力为： 习题4-22 厚度的钢带，卷成直径的圆环，试求钢带横截面上的最大正应力。已知钢的弹性模量解：由中性层的曲率公式：及横截面上的最大正应力得： 。习题4-23 直径为的钢丝，其屈服强度为。现在两端施加外力偶使其弯成直径为D的圆弧。试求

25、当钢丝横截面上的最大正应力等于时，D与的关系式，并据此分析为何钢丝绳要用许多高强度的细钢丝组成。解：。D与正比的关系。一般地，要求钢丝绳柔软，即D可大可，且尽可能的小。这就要求横截面积相同的时候，用多个小圆代替单一的大圆。另外，用多个钢丝，可使截面应力更加均匀些。习题4-24 梁在铅垂纵对称面内受外力作用而弯曲。当梁具有图示各种不同形状的横截面时，试分别绘出各横截面上的正应力沿其高度变化的图。解： 设圆的直径为，组合矩形截面的高度为，宽度，壁厚为，则：(a) 图： (b) 图： （c）图：求图形的形心位置： 设下矩形形心为，上矩形形心为，则 （中性轴离底边的距离）； （中性轴离顶边的距离） (

26、d)图: (e)图：求图形的形心位置： 设下矩形形心为，中矩形形心为，上矩形为则 （中性轴离底边的距离）； （中性轴离顶边的距离） (f)图: 4-24-1500150(a)39760747915000000-5.658805.65885(b)25416000015000000-8.852708.85269(c)12721110015000000-17.687017.6871(d)28872000015000000-7.79307.79302(e)25198200015000000-8.929208.92921(f)28903500015000000-7.784507.78452根据上表可绘出

27、不同同情况下正应力的变化图。如下图所示。习题4-25 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。试求截面m-m和固定端截面n-n上A，B，C，D四点处的正应力。解：对m-m及n-n截面，都给以坐标系如图所示。于是有： m-m截面及n-n截面的弯矩分别是： 横截面对z轴的惯性矩为： 因此，各点的正应力分别是：习题4-25点b(mm)h(mm)Iz(mm4)Mm(N.mm)Mn(N.mm)y(mm)MPaMPaA18030040500000020000000-25000000-150-7.407 9.259 B18030040500000020000000-250000001004.938

28、 -6.173 C18030040500000020000000-2500000000.000 0.000 D18030040500000020000000-250000001507.407 -9.259 习题4-26 一外径为，壁厚为、长度为的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满着水，如图所示。铸铁的密度，水的密度。试求管内最大拉压应力的数值。解：单位长度铸铁管的重力重力集度： 单位长度水的重力重力集度：水管的荷载集度：最大弯矩出现在跨中截面：习题4-27 对于横截面边长为的矩形截面梁，试求当外力偶分别作用在平行于截面长边及短边之纵向对称面内时，梁所能承担的许可弯矩之比，以及梁的弯曲刚度之比。

29、解：当外力偶平行于长边纵向对称平面时，抗弯截面系数：惯性矩： 当外力偶平行于短边纵向对称平面时，抗弯截面系数：惯性矩： ；梁所能承担的弯矩之比： 梁的抗弯刚度之比： 习题4-28 正方形截面的梁按图a、b所示的两种方式放置。试求：（1）若两种性况下横截面上的弯矩M相等，比较横截面上的最大正应力；（2）对于的正方形，若如图c所示截去高度为的尖角，则弯曲截面系数与未切角时（图b）相比有何变化？（c）为了使弯曲截面系数最大，则图c所切去的尖角尺寸应等于多少？这时的比未切去尖角时增加百分之多少？解：（1）比较最大正应力的大小。 式中， （2）求切去两个小三角形之后组合图形的抗弯截面模量，并与未切角之前

30、对比 计算切去的一个小三角形对其形心轴的惯性矩： 应用平行移轴公式，可得： 计算小三角形对Z轴的惯性矩 整个组合图形对Z轴的惯性矩为： 整个组合图形对Z轴的抗弯截面模量为： 求未切角之前的抗弯截面模量 对比切角后的抗弯截面模量增加：。增加了： 。（3）求最大时的值。 (a)解得，当时，取最大值。把代入(a)得：WZ =1042093mm3。比未切角时增加：，增加10.53%。习题4-29 有一圆形截面梁，直径为。为增大其弯曲截面系数，可将圆形截面切去高度为的微小部分，如图所示。试求使截面系数为最大的值。解：圆的方程为：如图所示的微分面积为：切去之后，剩下部分对Z轴的惯性矩为：令用试凑法解此方程

31、，得（无意义，舍去）。此时取最大值。当取最大值时， 习题4-30 图示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F。在梁的截面C-C处下边缘上，用标距的应变仪量得纵向伸长。已知梁的跨长，弹性模量。试求F力的大小。解：（1）求支座反力 （） （2） 求C-C截面的弯矩 （3） 求F的大小 查型钢表，16号工字钢的 习题4-31 由两根号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用，如图所示。已知该梁材料为钢，其许用弯曲正应力。试求梁的许可荷载F。解：（1）求支座反力由对称性可知（左支座为A，右反座为B）： （） （2）求最大弯矩 设从左至右三个集中力的作用点为C、D、E，则： （最大弯矩）（3）求最大弯曲正应

32、力，并代入强度条件求F 。查型钢表，两根号槽钢的，故许可荷载： 习题4-32 简支梁的荷载情况及尺寸如图所示，试求梁的下边缘的总伸长。解：（1）求支座反力 （） （2）写弯矩方程 （3）求梁下缘的伸长量 微分线段的伸长量： 全梁下边缘的伸长量： 习题4-33 已知铸铁简支梁的，许用拉应力，许用压应力。试求：（1）许可荷载F；（2）在许可荷载下，梁下边缘的总伸长量。解：（1）求许可荷载 支座反力： （） 最大弯矩： 正应力强度条件：； 故许可荷载为：（2）求在许可荷载下，梁下边缘的总伸长量 微分线段的伸长量： 全梁下边缘的伸长量： 习题4-34 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为的均布荷载作

33、用，其截面尺寸为，长度为。 （1）试证明在离自由端为处的截面上切向内力元素的合力等于该截面上的剪力，而法向内力元素的合力偶矩等于该截面的弯矩。（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部分，如图所示，试问在截开面上的切应力沿梁长度的变化规律如何？该面上总的水平剪力有多大？由什么力来平衡？解：（1）证明在离自由端为处的截面上切向内力元素的合力等于该截面上的剪力，而法向内力元素的合力偶矩等于该截面的弯矩。 （证毕）。 受拉区与受压区的三角形面分布荷载简化之后构成一对力偶，此力偶之矩为弯矩：（证毕）。（2）求中性层截开面上的切应力沿梁长度的变化规律如何？该面上总的水平剪力有多大？由什么力来平衡？根据切应力互等

34、定理，中性层截开面上的切应力等于横截面中性层处的切应力，方向水平向右。中性层上总的水平剪力大小为： （）由（）可知，切应力呈线性变化，且是连续函数，根据切应力互等定理，它由A的右邻截面（）、B的左邻截面（）、AB的上邻截面上的切应力（）来平衡。习题4-35 开口薄壁圆环截面如图所示。已知横截面上剪力的作用线平行于截面的轴，试推导此截面上弯曲切应力的计算公式。 解：在环中心线的上角q 处，取微分弧长。查附录II，截面对中性轴z的惯矩为，而DB扇形面积对z轴的静矩为 切应力如图所示，任意的开口薄壁杆件。当杆件发生平面弯曲时，其截面上的弯曲剪应力形成剪应力流，如图所示。开口薄壁杆件横截面上的剪应力，

35、可按照与矩形截面相同的方法来分析。设薄壁杆件的截面上剪力为。欲求该截面上距自由边缘为点的剪应力时，仍从梁中以相距的两个横截面和沿薄壁厚度的纵向截面截出一部分。在这一部分的和面上有弯曲正应力和，在底面上有剪应力（在面上有，由剪应力互等定理可知，它们相等，方向如图所示）。、方向都平行于轴。类似于矩形截面弯曲剪应力的推导，先求得和面上方向的合力 和分别是 及 式中，和分别是和两横截面上的弯矩；是距自由边缘为处以外部分截面对中性轴的静矩；为整个截面对中性轴的惯性矩。这两个合力和之差，被dc面上剪应力的合力（）所平衡，即， ， 由此可求出剪应力为 利用剪应力互等定理，可推导出开口薄壁杆件横截面上距自由边

36、缘为处的剪应力计算公式为 （为薄壁厚度） 习题4-36 由两根号槽钢组成的梁如图所示。已知：，。钢的许用弯曲应力，试校核梁的正应力强度。解：（1）求支座反力 （2）求梁的最大弯矩 最大弯矩出现在跨中 （3）计算最大正应力 ，查型钢表得。（4）强度校核因为，即：，所以该梁符合正应力强度要求。习题4-37 起重机连同配重，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量。梁材料的许用弯曲正应力。试选择工字钢的号码。设全部荷载平均分配在两根梁上。解：（1）求C、D轮压 由起重机的平衡条件得： （），故C轮施加于梁的力为： （）（），故D轮施加于梁的力为： （2）求支座反力设某一时刻C轮离A

37、支座为，则由AB的平衡条件得： （）（）（3）求最大弯矩 AC段： 令得：当时， DB段： 令得：当时， （4）由正应力强度条件选择钢号 查型钢表，选择号工字钢（），误差。在工程上允许范围。习题4-38 一简支木梁受力如图所示，荷载，距离，材料的许用弯曲应力，横截面为的矩形。试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。 解：（1）求支座反力 （） （2）求最大弯矩 （3）由正应力强度条件确定截面尺寸 可取：习题4-39 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知，。试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比，以及梁所需木料的最小直径。 解：（1）求支座反力 （） （2）求最大弯矩 （3）计算抗弯截面系数

38、为最大时的高宽比 令 得：当， 时，即：当 时， 。 （4）计算梁所需木料的最小直径 习题4-40 一正方形截面悬臂梁的尺寸及所受荷载如图所示。木料的许用弯曲正应力。现需在梁的截面C上中性轴处钻一直和径为的圆孔，试问在保证梁的强度条件下，圆孔的最大直径（不考虑圆孔处应力集中的影响）可达多大？解：（1）求C截面的弯矩 （2）由强度条件确定d习题4-41 横截面如图所示的铸铁简支梁，跨长，在其中点受一集中荷载作用。已知许用拉应力，许用压应力。试确定截面尺寸。解：（1）求截面关于Z轴的惯性矩 截面形心位置： （2）由强度条件确定 综合拉、压强度条件所需的，取。习题4-42 一铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限，压缩强度极限。试求梁的安全系数。解：（1）求最大弯矩 （2