研究院北京2018二模理分类汇编——立体几何与空间向量教师版

1、2018二模分类汇编立体几何1.（2018昌平二模·理）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是A2左视图主视图2BC 2D俯视图1. B2.（2018房山二模·理）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（A） （B） （C） （D）2. B3（2018西城二模·理）某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是（A） （B）（C） （D）3. B4.（2018顺义二模·理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A. B. C. D.16 4. B5.（2018东城二模·理）如图，已知正方体

2、的边长为1，若过直线的平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为_.5.6.（2018朝阳二模·理）如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为.四面体以 所在的直线为轴旋转弧度，且始终在水平放置的平面上方.如果将四面体在平面内正投影面积看成关于的函数，记为，则函数的最小值为 ；的最小正周期为 6.7.（2018丰台二模·理）如图，在矩形中，为边的中点将沿翻折，得到四棱锥设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题： 总有平面； 三棱锥体积的最大值为； 存在某个位置，使与所成的角为其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）7.8.（2018朝阳二模

3、3;理）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的底面和三个侧面中，直角三角形的个数是 . 9.（2018海淀二模·理）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为_.9.答案不唯一，或的任意实数10.（2018顺义二模·理）（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，侧棱长和底面边长均为1，是的中点（）求证：平面；（）求与平面 所成角的正弦值；（）试问线段上是否存在点，使？若存在，求 的值，若不存在，说明理由 10.（）连结交于点O，连结OD 交于点O O是的中点又是的中点 OD是的一条中位线OD 又平面.4分（）以点D为坐标原点，DB所在直

4、线为X轴，AD所在直线为Y轴，垂直于面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0），C（，0，0）在平面ADC1中，（0，0），设为平面ADC1的一个法向量，则有，即不妨令，则，所以又，则设与平面所成角为，则=与平面所成角的正弦值为.9分（）假设点E在线段上，使不妨设（）， 11.（2018.西城二模.理）（本小题满分14分）如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）线段上是否存在点，使得平面？请说明理由（本小题满分14分）11.解：（）因为 ，且， 所以 四边形为平行四边形，所以 2分 因为 平面， 3分所以 平面

5、 4分（）在平面内，过作因为 平面平面，平面平面，又 平面，所以 平面，所以 ， 如图建立空间直角坐标系 5分由题意得，所以 ，设平面的法向量为， 则 即 令，则，所以 7分平面的一个法向量为 ， 8分则 所以 二面角的余弦值 10分（）线段上不存在点，使得平面，理由如下： 11分解法一：设平面的法向量为， 则 即 令，则，所以 13分因为 ，所以 平面与平面不可能垂直，从而线段上不存在点，使得平面 14分解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下： 11分假设线段上存在点，使得平面，设 ，其中设 ，则有，所以 ，从而 ，所以 13分因为 平面，所以 所以有 ，因为 上述方程组无解，所以假设不

6、成立所以 线段上不存在点，使得平面 14分 12.（2018海淀二模·理）（本小题共14分）如图，在三棱柱中，平面，分别是，的中点（）证明：（）证明：平面； （）求与平面所成角的正弦值.12.（本小题共14分）解：（）因为平面，平面， 所以1分因为，平面，所以平面3分因为平面，所以4分（）法一：取的中点，连接、 因为、分别是、的中点， 所以ME，且ME5分 在三棱柱中，且，所以MEAD，且ME=AD，所以四边形ADEM是平行四边形，6分所以DEAM7分又平面，平面，所以平面9分注：与此法类似，还可取AB的中点M，连接MD、MB1法二：取AB的中点，连接、 因为D、分别是AC、AB的中

7、点，所以MDBC，且MDBC5分 在三棱柱中，且，所以MDB1E，且MD=B1E，所以四边形B1E DM是平行四边形，6分所以DEMB17分又平面，平面，所以平面9分法三：取的中点，连接、 因为、分别是、的中点，所以，5分 在三棱柱中， 因为、分别是和的中点，所以，所以，四边形是平行四边形，6分所以，7分 又因为， ,平面MDE，BB1,平面，所以，平面平面8分因为，平面，所以，平面9分（）在三棱柱中， 因为，所以在平面内，过点作，因为，平面，所以，平面10分建立空间直角坐标系C-xyz，如图则,.，11分设平面的法向量为，则，即，得，令，得，故12分设直线DE与平面所成的角为，则sin，所以

8、直线与平面所成角的正弦值为.14分13.（2018房山二模·理）（本小题分）如图，正六边形的边长为，为中心，为的中点.现将四边形沿折起到四边形的位置，使得平面平面，如图.（）证明：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.图图13.（）证:图（1）中M图（2）中，又面，为点，又四边形为菱形 5分（）取的中点，连接,以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示.设面的法向量为，令则，设面的法向量为，则二面角的大小为 10分（）假设存在，设，矛盾 14分14.（2018东城二模·理）（本小题14分）如图，在四棱锥中，平

9、面,，,.（）求证：平面；（）若为中点，为线段上一点，平面，求的值； （）求二面角的的大小;14.（共14分）（）证明：如图1，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.4分（）如图2，取中点，连接，因为平面，平面，平面平面，所以.所以.因为，所以.所以.所以.所以=.因为为的中点， 所以. 9分 （）连接，由（）知平面，平面，平面所以，因为，点为中点，所以.作，所以.如图3建立空间坐标坐标系.因为所以，因为，所以平面.平面的法向量.设平面的法向量，则有 即令，则，即.由题知二面角为锐角，所以二面角的大小为. 14分15.（2018昌平二模·理）（本小题14分）

10、如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值；（III）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由15.（共14分）证明：（I）因为，所以又因为，,所以平面因为平面，所以又因为,所以平面-5分（II）因为平面，所以以E为原点，分别以EB，ED，EA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，所以,设平面的法向量，由，得令，得因为平面，所以平面的法向量，所以因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 -10分（III）假设在线段上存在一点，使得平面平面设，则所以所以，设平面的法向量，由，得，令，得因为平面平面，所

11、以，解得，所以在线段上存在点，使得平面平面，且-14分 16.（2018朝阳二模·理）如图，在四棱锥中，平面平面.是等腰三角形，且.在梯形中，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？请说明理由.16.证明：（）因为又因为平面,平面所以平面（）取中点，在中,因为，所以又易知，所以又因为平面平面,且平面平面,所以平面,所以.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系在梯形中，因为所以又因为，所以于是有所以因为平面，所以是平面的一个法向量设平面的一个法向量所以令，则所以由图可知，二面角为锐角所以二面角的余弦值为（）因为，且，所以所以设平面的一个法向量为，则令,则假设线段上存在点，使得平面,且设所以所以因为平面,所以所以，显然不存在所以假设不成立,故线段上不存在点使得平面17.（2018丰台二模·理）（本小题共14分）如图所示，在三棱柱中，是中点，平面，平面与棱交于点，（）求证：；（）求证：；（）若与平面所成角的正弦值为，求的值（本小题共14分）（）证明：在三棱柱 中，侧面 为平行四边