拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数.实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以 引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个但事实上假如从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理与其几何意义作一概述 .1罗尔Rolle中值定理如果函数f x满足条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间a,b内可导；

2、3fa f b，如此在a,b内至少存在一点，使得f0罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线 y fx在点A,B处的纵坐标相等， 那么，在弧 AB上至少有一点C ,f，曲线在C点的切线平行于 x轴，如图1，注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于 a, b的，使得f'0.这就是说定理的条件是充分的，但非必要的9i1i1 1I j! t一0i h*032拉格朗日lagrange中值定理假如函数f x满足如下条件：1在闭区间a, b上连续；2在开区间a,b内可导;如此在 a, b内至少存在一点，使ff b fab a拉格朗日

3、中值定理的几何意义:函数y f x在区间a,b上的图形是连续光滑曲线弧AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦 AB.如图2,从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，假如f x在闭区间a,b两端点的函数值相等，即fa f b，如此拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形正因为如此，我们只须对函数f x作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理3证明拉格朗日中值定理3.1教材证法证明作辅助函数 F x显然，函数F x满足在闭区间 a,b上连续，在开区间a,b内可导，而且Fa F b 于是由罗尔中值定理知道， 至少存在一点ab，使Ff b f

4、ab a3.2用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数x f x显然，函数 x在闭区间a,b上连续，在开区间 a,b内可导,b 0,因此,由罗尔中值定理得，至少存在一点a,b，使得f'f b fab a0，即推广1如图3过原点O作OT / AB，由f x与直线OT对应的函数之差构成辅助函数 x，因为直线OT的斜率与直线 AB的斜率一样，即有：Kot Kabf b fab afoOT的直线方程为：y x，于是引入的辅助函数为：b afox f x x.证明略b a推广2 如图4过点a,O 作直线A'B' / AB，直线A'B'的方程为：f b fa一 一一yx

5、 a，由f x与直线函 A B数之差构成辅助函数x，于是有：b ax f x 丄x a .证明略b a5过点作b,O 直线A'B' / AB ,直A'B'线的方程为推广3如图f Koy x b，由f x与直线A B函b a数之差构成辅助函数 x ，于是有：£ f b f a ux f xx b .b a事实上，可过 y轴上任点 0,m作A/B/ /f K£ oAB得直线为 y x m，从而利用b af x与直线的A'B'函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数x都可以用来证明拉格朗日中值定理.因m是任意实数，显然，这样的辅助函数

6、有无多个3.3用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数f x减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数 f x ,即可得与之对称的辅助函数如下:f bf a x ff bf a,_x b f xb a等等这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个.这里仅以为例给出拉格朗日中值定理的证明证明 显然，函数 x满足条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间a,b内可导；3 a严.由罗尔中值定理知，至少存在一点a,b，使得f b f a b a 作类似的证明.

7、0，从而有f，显然可用其它辅助函数3.4转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，假如把坐标系xoy逆时针旋转适当的角度，得新直角坐标系 XOY，假如OX平行于弦AB，如此在新的坐标系下 f x满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明证明作转轴变换x X cos Y siny X sin Y cos ，为求出，解出X,Y得xcosysinxcos f x sin例如由kx m，令Yxsinycosxsinf x cos Y x 由Ya Y b 得a sinfa cosbsinf b cos，从而tanfo，取 f X在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，知Y x在b a闭区间a,

8、b上连续，在开区间 a,b内可导，且YaY b，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点a,b ，使得Ysinf' cos0即1f b f aftanb a3.5用迭加法引入辅助函数法让f x迭加一个含待顶系数的一次函数y kxm，例如令x f xkxm或xf x kx m，通过使ab，确定出k,m，即可得到所需的辅助函数得fa ka m f b kb m，从而k 丄卫厘，而m可取任意实数，这样b af K£ o我们就得到了辅助函数x x m ,由m的任意性易知迭加法可构造出无数b a个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理3.6用行列式引入辅助函数法证明 构造一个含f

9、x且满足罗尔中值定理的函数x，关键是满足a b 我的值在x a,x b时恰恰均为0，因此可设易xfx1们从行列式的性质想到行列式afa1bfb1x f x1证xa f a1，展开得b f b1xf b x bf a因为f x在闭区间a,b上连续，在开区间在开区间a, b内可导，且aba,b，使得'0因为1f bfa即：fba3.7数形相结合法af x af b fax bf x .a,b内可导，所以 x在闭区间a,b上连续,0，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点f a f b a b f 0易验证 x满足罗尔中值定理的条件：在闭区间引理 在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为

10、A a, f a ，B b, f bC c, f c ，如此 ABC面积为SABC这一引理的证明在这里我们不做介绍， 下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种 新的证明.这种方法是将数形相结合， 考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的 条件如图，设c, f c 是直线AB与y f x从A点开始的第一个交点，如此构造1afa1x -1cfc41xfx1afaafa1cfccfc1f111f/即:a,c上连续，在开区间a,c内可导，而且ab ，如此至少存在一点a,b ,但是0，这是因为,如果1afa1cfc1f0，如此a，这样使得成为直线AB与y f X从A点的第一个交点，与矛盾1a

11、fa1cfc1f故0，即ff b fab a假如只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造a f ab f b来解决问题，x f x1 g af a1 g bf b来证1 g xf x明柯西中值定理3.8区间套定理证法证明 将区间I a,b二等分，设分点为1，作直线，它与曲线交于M1，过M1作直线M 1L1 /弦MaMb.此时，有如下两种可能 假如直线M1L1与曲线y f x仅有一个交点 M侧.否如此，直线M1L1不平行于直线 MaMb.由于曲线y f x在点M1处有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线MiLi就是

12、曲线y f x在点Mi处的切线，从而f i.由作法知,i在区间a,b内部，取i于是有2biaib a把Ii作为新的“选用区间，将 Ii二等分，并进展与上面同样的讨论，如此要么得到所要求的点 ，要么又得到一个新“选用区间"|2.如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生:(a)在逐次等分“选用区间的过程中，遇到某一个分点k，作直线x k它与曲线y f x交于Mk，过点Mk作直线MkLk /弦MM b,它与曲线y f x只有一个交点 M k，此时取k即为所求.(b)在逐次等分“选用区间'的过程中， 遇不到上述那种点，如此得一闭区间序列 In,满足：1IiI2"Tnan,

13、bnbnanb a0n2nfbnf anfbfabnanba由知， In构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点In n 1,2,3 ，此点 即为所求.事实上lim an lim bn , f 存在lim匸丑f ，由nnnbna“ limnf anbnanf a,所以f,从“选用区间'的取法可知，确在a,b的内部3.9旋转变换法证明引入坐标旋转变换 A: x X cos Y sin y X sinY cos 因为cossin22cos sin 10sincosf x sinX x 所以A有逆变换A/: X xcos ysin xcosY xsin ycosxsinf x cos Y

14、x 由于f x满足条件：1在闭区间a,b上连续;2在开区间a,b内可导，因此式中函数丫 x在闭区间a,b上连续，在开区间 a,b Y x满足罗尔中值定理的第三个条件，只要适当选取旋转角，使Ya Y b ,即asin fa cos bsin f b cos ，也即f b f atanb a这样，函数Y x就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点ab，使Ysinf cos0 即 ftan.由于所选取旋转角满足f bf a ，f bf atan，所以fbaba结论本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进展了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与

15、补充.通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容 而且更重要的是我们应该学会去思考， 学会但凡多问几个为什么， 不要让自己仅仅局限于课本上的内容， 要开 动脑筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！总之，数学的开展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程，全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.参考文献1 华东师X大学数学系.数学分析上册第二版M.:高等教育.1991: 153-1612 某某大学数学系.数学分析（上册）M.:人民教育.1979 : 194-1963 同济大学应用数学系.高等数学第一册M.:高等教

16、育第五版.2004： 143-1534 周性伟,X立民.数学分析M.某某：南开大学.1986 : 113-124 林源渠，方企勤.数学分析解题指南M.:大学.2003: 58-67 孙清华等数学分析内容、方法与技巧上M.某某：华中科技大学.2003： 98-1067 洪毅.数学分析上册M.某某：华南理工大学.2001 : 111-1138 党宇飞.促使思维教学进入数学课堂的几点作法J.某某：数学通报.2001,1 : 15-189 王爱云.高等数学课程建设和教学改革研究与实践J.某某：数学通报.2002,2 : 84-8810 谢惠民等.数学分析习题课讲义M.:高等教育.2003: 126-13511 X玉莲，杨奎元等.数学分析讲义学习指导书上册M.:高等教.1994 : 98-11212 大学数学力学系.高等代数.：人民教育.1978:124-13513 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.:高等教育.1993: 102-11014 X琉