高中数学一轮复习 第3讲 简单的线性规划问题

1、第3讲 简单的线性规划问题随堂演练巩固1.如图,表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 2.在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A=(x,y)|且,则平面区域B=(x+y,x-y)|的面积为( ) A.2 B.1 C. D. 【答案】 B 【解析】 令 则 作出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,是等腰直角三角形,可求出其面积选B. 3.若实数x,y满足不等式组 则3x+4y的最小值是( ) A.13 B.15 C.20 D.28 【答案】 A 【解析】 由题意得x,y所满足的区域如图所示: 令u=3x+4y,则 先作:如图所示,将平行移动

2、至过点B时,u取得最小值, 联立 解得 . 4.已知变量x,y满足约束条件 则的取值范围是( ) A. B. C. D.(3,6 【答案】 A 【解析】 作出可行域(如图中阴影部分所示).可看作可行域内的点与原点连线的斜率,由图易得的取值范围为. 5.不等式组 所确定的平面区域记为D.点(x,y)是区域D内的点,若圆O:上的所有点都在区域D内,则圆O的面积的最大值是 . 【答案】 【解析】 画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中离原点最近的距离为故r的最大值为所以圆O的面积的最大值是. 课后作业夯基基础巩固1.设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=5x+y的最大值为( ) A

3、.2 B.3 C.4D.5 【答案】 D 【解析】 如图,由z=5x+y,得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即. 2.已知x,y满足 则使目标函数z=4x+y-10取得最小值的最优解有( ) A.1个B.2个 C.3个D.无数多个 【答案】 D 【解析】 画出可行域如图,作直线:4x+y=0.由z=4x+y-10得y=-4x+z+10,所以求z的最小值,即求直线y=-4x+z+10在y轴上截距的最小值,因为将向右上方平移到与4x+y-4=0重合时z最小,故最优解有无数多个,故选D. 3.设变量x,y满足 则x+2y的最大值和最小值分别为( ) A.1,-1B.2,-2 C.1

4、,-2D.2,-1 【答案】 B 【解析】 由线性约束条件 画出可行域如图中阴影部分所示. 设z=x+2y,则 作出直线:平移可知过A点时z取最大值0+ 过B点时z取最小值. 4.设z=x+y,其中x,y满足 若z的最大值为6,则z的最小值为( ) A.-2B.-3 C.-4D.-5 【答案】 B 【解析】 由线性约束条件 画出可行域如图,由题意知当y=-x+z过点A(k,k)时k=3,z=x+y在点B处取得最小值,B点在直线x+2y=0上,则 B(-6,3),. 5.若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是( ) A.B. C.D. 【答案】 A 【解析】

5、 由题意做出线性约束条件的可行域如下图,由图可知可行域为ABC的边界及内部,y=kx+恰过点将区域平均分成面积相等的两部分,故过BC的中点即. 6.满足条件 的可行域中共有整点的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 B 【解析】 画出可行域,由可行域知有4个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2). 7.如果点P在平面区域 上,点Q在曲线上,那么|PQ|的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的距离的最小值为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去圆的半径1,由图可

6、知|PQ|. 8.不等式(x-2y+1)在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( ) 【答案】 C 【解析】 (x-2y+1) 或 结合图形可知选C. 9.设D是由 所确定的平面区域,记D被夹在直线x=-1和间的部分的面积为S,则函数S=f(t)的大致图象为( ) 【答案】 B 【解析】 如图,由不等式组画出平面区域,根据题意,由函数S=f(t)的单调递增情况易选出答案B. 10.若A为不等式组 表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 . 【答案】 【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,直线x+y=a扫过的区域为四边形AOB

7、C. . 11.已知实数x,y满足 则的最小值为 . 【答案】 【解析】 实数x,y满足的可行域如图中阴影部分所示,则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方,故. 12.由约束条件 所确定的平面区域的面积S=f(t),试求f(t)的表达式. 【解】 由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP,如图中阴影部分所示,其面积 而. 所以. 13.已知x,y满足条件 求: (1)4x-3y的最大值和最小值; 的最大值和最小值; 的最大值和最小值. 【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示,其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2). （1）设z=4x-3y,则就是斜率为的直线在y轴上截距的-3倍,作一组斜率为的平行线,当它扫过可行域时,由图可知,当它经过C点时z值最小,当它经过B点时z值最大. . (2)设则u就是点(x,y)与原点距离的平方, 由图可知,B点到原点的距离最大. 而当(x,y)在原点时,距离为0, 所以. （3）设则k就是点(x,y)与P(5,-8)连线的斜率,由图可知,AP连线斜率最小,BP连线斜率最大. 所以. 拓展延伸14.若x,y满足约束条件 (1)求目标函数的最值; (2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围. 【解】 (1)可求得A(3,4),B(0,1),