名师辅导立体几何第3课线面平行

1、名师辅导 立体几何 第3课 线面平行含答案解析考试目标 主词填空1直线和平面平行如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行2. 平行关系的判定定理和性质定理1直线和平面平行的判定定理和性质定理判定定理：平面外一条直线， 如果和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行判定定理：两平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么题型例如点津归纳【例i】设直线a在平面这条直线就和交线平行.M内，那么平面 M平行于平面 N是直线a平行于面N的 为AC、BC、BD、AD上各一点，假设四边形 EFG

2、H为平行四边形，求证： AB /平面EFGH 且CD /平面EFGH .( )A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 非充分条件，也非必要条件 【解前点津】 因为当平面M /平面N时，a平面M，那么有a/平面 线a/平面N时，直线a M,那么平面M与平面N有可能平行也可能相交， 时，平面M平行于平面N是直线a平行于平面N的充分非必要条件.【标准解答】 A.【解后归纳】 要注意对根本概念的理解和灵活运用.【例2】如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，点N在BD上，点 M 在 BiC,且 CM = DN，求证：MN /平面 AAiBiB.【解前点津】 假

3、设能证明MN平行于平面AAiBiB中的一条直线， 那么依线面平行判定定理，MN /平面AAiBiB.于是有以下添辅助线的方法.【标准解答】 如图，作ME / BC,交BBi于E;作NF / AD,交AB于F，连结 EF，那么 EF平面AAiBiB.T BD=BiC,DN=CM,. BiM=BN.N，反之，当直 因此，当a MME BiM NF BN BC BiC , AD BDME BN NFBC BD AD ME = NF.又 ME / BC / AD / NF,. MEFN 为平行四边形. MN / EF. MN /平面 AAiBiB.【解后归纳】 证明直线I与平面a平行，1通过线线平行来

4、证明，即证明该直线2通过面面平行来证明，即证明过该直线【例3】 如下图，在空间四边形 ABCD通常有以下两个途径:I平行于平面a内的一条直线；I的一个平面平行于平面a .例2题图解中，AC、BD为其对角线，E、F、G、H分别【解前点津】 判定线面平行，根据线面平行的判定定理，只要在面内找到一条直线和面外的该直线平行就可以解决问题根据题意易知 GH / EF,这样可以推证 GH /平面ABC ,进一步推证GH / AB，利用线面平行的判定定理解决问题.【标准解答】 EFGH是平行四边形， EF / GH ,EF /GHGH / 平面 ABCGH 平面 ABC平面 ABC 平面 ABD BAEFG

5、H平面 ABC平面 ABCGH/BAGH平面 EFGHAB/平面 EFGHAB平面 EFGH例3题图【解后归纳】 请同学们完成CD /平面EFGH的证明.【例4】如图，在三棱锥 S ABC中，/ABC=90 ° ,SA丄平面ABC,AN丄SB,AM丄SC,试证明:SC丄平面AMN.例4题图【标准解答】 SA丄平面ABC而AB为SB在平面ABC中 的射影，又由/ ABC=90。知BC丄AB,由三垂线定理,BC丄SB, BC丄平面SAB/ AN 平面 SAB,. BC 丄 AN,TAN 丄 SB,. AN 丄平面 SBC, AN 丄 SC,t AM 丄 SC, SC丄平面 AMN.【解后

6、归纳】 此题在运用判定定理证明线面垂直 （SC±平面AMN）时，将问题化为证明 线线垂直（SC± AN）;而证明此线线垂直时，又转化为证明线面垂直 （AN丄平面SBC）这种相互转 化的方法，是本课的重要而又根本的证明方法对应训练分阶提升一、根底夯实1. “直线与平面a内无数条直线垂直'是"直线与平面a垂直'的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 直线m,n和平面a,那么 m/ n的一个必要而不充分的条件是（）A.m / a ,n / a B.m丄 a ,n1aC.n> a 且 m / a D.m,n

7、 与 a 成等角3. 过直线I外的两点作与I平行的平面，那么这样的平面（）A.不可能作出B.只能作一个C.能作出无数个D.以上情况都有可能4. a、b是异面直线，P为a、b外的任一点，以下结论正确的选项是（）A.过P可作一平面与a、b都平行B.过P可作一平面与 a、b都垂直相交C.过P可作一直线与a、b都平行D.过P可作一直线与a、b成等角5. a、B表示平面，a、b表示直线，那么 a/a的一个充分条件是（）A.a±3且a 丄 B B. aA3= b且 a/ b C.a/ b且 b/a D. a/B且 a36. 直线a、b,以及平面a、3，以下命题正确的选项是（）A.假设b尹a, a

8、 / b,那么aliaC.假设 a / b,aA3= b，那么 ala 么I丄aB.假设a丄a, b丄a，那么a / bD.假设aR a, b a, I丄a, I丄b,那7. 假设一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段 的位置关系是（）A.平行B.相交 C.异面D.平行、相交或异面8. 直线m、n、I，平面a、B . m / a ,n /a,那么 m / n; 假设二面角a I B是直二面角， mil，那么m丄B； 设m、n是异面直线，假设 m/a，那么n与a相交； 假设m± n, m丄a, n a,那么 n / a .A.0B.1C9.等边 ABC的

9、边长为以上正确命题的个数是（）、；6a，过 ABC的中心。作Op丄平面ABC且OPpa，那么点P到厶ABC的边BC的距离为 （） 三、能力提高A. a10.直线a、b和平面a、B，以下命题中，真命题是（）A.假设 a 二 a, B, a 丄 b,那么 a丄BB.假设 a= a, b B, a / b，那么a/BC.假设a /a, a丄b，那么b丄a 二、思维激活D.假设a /a, a丄B，那么a丄B11.如下图，直角三角形ABC的直角顶点C在平面a内,斜边AB /a,并且AB与a间的距离为 6 , A与B在a内的射影分别为/ Ai CBi =.第11题图第12题图12. 如下图，在四棱锥P A

10、BCD中，0为CD上的动点，四边形ABCD满足条件 时VP-AOB恒为定值（写出你认为正确的一个条件即可）.13. 长方体 ABCD-A1B1C1D1中，棱 A1A=5 , AB=12,那么直线 B1C1与平面 A1BCD1的距离是.14. 如下图，在正四棱柱 ABCD A1B1C 1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC中点.点M在四 边形EFGH及其内部运动，那么 M只须满足条件 时，就有MN /平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑 全部可能情况）.第14题图15正四棱锥 P ABCD的各条棱长均为 13.M、N分别是PA、BD上

11、的点，且 PM : MA =BN : ND = 5 : 8.求证：MN /平面PBC.(2)求线段MN长16. 如下图，a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，垂足分别是 A、B,平面a过 AB第16题图的中点P且与a、b都平行，M、N分别是a、b上的点，MN交平面a于Q.(1) 求证：MQ = QN.假设a丄b, AM = 6,问BN等于何值时，PQ的长为5.17. 如下图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1 , M、N分别为面对角线 AD1、BD上 的点，且AM = BN= x.第17题图(1) 求证：MN /平面 CDD1C1.(2) 求证：MN丄AD.(3) 当x为何值时，M

12、N的长取得最小值，并求出这个最小值第18题图第19题图18. 如下图，二面角 P AC B 为 60°, BC丄AC, PA丄AC, AC= a, BC = PA = 2a,点P在平面ABC内的射影为 D.(1)求证：AD /平面PBC.求点A到平面PBC的距离.19. 如下图，在四面体 ABCD中，截面EFGH平行于对棱 AB和CD,试问：截面在什么位置 时,其截面积最大？第3课线面平行习题解答1. B 平面内可以有无数条直线与平面的斜线在平面内的射影垂直，由三垂线定理知它们都与斜线垂直，但斜线不垂直于平面2. D 要m/ n能推出四个选择中的某个结论，而此结论为条件又不能推出m/

13、 n.因m/ n,那么m,n与a成等角，而 m,n与a成等角，可以不同方向上成等角，不能推出m/ n.3. D 当两点所确定的直线与I平行时作无数个；与I异面时作一个；与I相交时不能作.4. D 过点P作平面a,假设 b /a且a三a,那么A不正确.5. D 由面面平行的性质定理知 D正确.6. B 垂直于同一平面的两直线平行 .7. D 画图可知两线段可平行、相交或异面.8. B 只有正确.9. B 如下图，连结AO并延长交BC于Q点，由于PO丄平面 ABC,所以AO是PQ在平面ABC上的射影.点O是正三角形的 中心，所以AO丄BC,由三垂线定理知，BC丄PQ.因此PQ的长 是点P到厶ABC

14、的边BC的距离，计算得PQ=3a210. D 在a内作直线 a'/ a故a'丄B,a丄B .11. AB= 37，/ AiCBi=120°AC= 326 = 15 ,BC= 42622 .二AB= AC2 BC237.16 9 371cos/A1CB1=./ A1CB1=120° .2 4 3212. AB / CD 只须 AOB的面积为定值即可.60 亠13. 作 B1M 丄 A1B 于 M ,13T A1D1 丄平面 A1B1BA,. A1D1 丄 B1M ,T B1C1 /平面 A1BCD1,于是 B1M长是B1C1与平面 A1BCD1的距离.TA1A

15、=5, AB=12,. A1B=13.于是所求的距离为601314. M在FH上 平面FHN /平面 BDD1B1.15. 第 (1)小题有多种证法，不管用哪种证法，证明的关键 都是证MN与面PBC中的一条线平行.(1)证明：如图，连 AN交BC于K，连PK. AND BNK.NKANBNNDPMAM. MN / PK.第15题图解又 PK 面 PBC,. MN /面 PBC.(2)解： AND BNK ,BKADBNND5，又 AD = 13,8138 PBK 中，PK2= PB2+BK2-2PB BK cos60° PK =25 1382 135 13813MN / PKMNAM

16、MN8 MN = 7PKAP，13 78 5816. (1)证明：连 AN 交 a于 R,连 PR、RQ,T b/a,aQ平面 ABN = RP,b 平面 ANB , b / RP,由 AP= PB 得 AR= RN,同理 QR / a,由 AR= RN 得 QM = QN.解：由(1)知/ PRQ就是a与b所成角，由 a丄 b 知/ PRQ= 90°, AM = 6, RQ= 3又 PQ = 5, PR = 4, BN = 8.17. (1)过M作MR丄AD，垂足为 R,那么 MR丄平面 ABCD .连结 RN,那么 RN丄AD.过 M、N 分别作MQ丄DD1, NP丄CD，垂足分

17、别为 Q、P.因为MD1= ND，所以MQ / RD / NP, MQ =RD = NP，故 MNPQ是平行四边形.所以MN / PQ ,从而 MN /平面 CDD1C1.(2) / AD丄RN , AD丄MN(三垂线定理).(3) MN2= MR2+RN2=-= (x22 )2+ 1.当x=即M、N分别为AD1、BD的中点时，MNmin =.18.(1)PAT ACPD丄平面ABC2 2=>面 P&C=也丄?ID AC I HC (三垂统定理)与HC共面由(1)知A到平面PBC的距离就是点 D到平面PBC的距离.PA AC,.，.”.，.”/ PAD为二面角PAC B的平面角，

18、AD AC/ PAD = 60° .又 PA= BC = 2a，在 Rt PDA 中，可求得 PD = ,3a, AD = a，过 D 作 DE 丄BC,垂足为E,连PE,那么BC丄平面PDE.面PBC丄面PDE，交线为 PE,过D作DF丄PE，垂足为 F,那么DF即为D到平面PBC的距离.在 Rt PDE 中，PD = ,3 a, DE = a,. PE = 2a.PD DE 、3由 PE DF = DE PD，得 DF =a ,PE 2即点A到平面PBC的距离为 a.219.AB /平面 EFGH，平面 EFGH与平面 ABC和平面 ABD分别交于 FG,EH. AB / FG,AB / EH,. FG / EH,同理可证，EF / GH.截面EFGH是平行四边