132线段的垂直平分线的性质

1、13.2线段的垂直平分线的性质 如果如果一个平面图形一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够分能够互相重合互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这个图形就叫做轴对称图形. . 折痕所在的这条直线叫做折痕所在的这条直线叫做对称轴对称轴. .AABCBC把把一个图形一个图形沿着某一条直线折叠，如果沿着某一条直线折叠，如果它能够与它能够与另一个图形另一个图形完全重合，那么就完全重合，那么就说这说这两个图形关于这条直线成轴对称两个图形关于这条直线成轴对称。折叠后重合的点是折叠后重合的点是对应点对应点，叫做，叫做对称点对称点。观察观察 如图，人字形屋顶的框架中，点如图，人

2、字形屋顶的框架中，点A A与点与点A A关于线段关于线段CDCD所在的直线所在的直线l l 对称，问线段对称，问线段CDCD所所在的直线在的直线l l 与线段与线段AAAA有什么关系？有什么关系？我发现我发现AD=AD lAA., , 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图. . 已知点已知点A A与点与点A A关于直线关于直线l l 对称，如果沿直对称，如果沿直线线l l折叠，则点折叠，则点A A与点与点A A重合，重合，ADAD= =A AD D，1=2= 901=2= 90，即直线，即直线l l 既平分线段既平分线段AAAA，又，又垂直线段垂

3、直线段AAAA. .lAAD21(A)我们把我们把垂直垂直且且平分一条线段的直线平分一条线段的直线叫叫作作这条线段这条线段的的垂直平分线垂直平分线. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴它的对称轴. . 如图，在线段如图，在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线l l 上任取一上任取一点点P P，连接，连接PAPA，PBPB，线段，线段PAPA，PBPB之间有什么关系？之间有什么关系？探究探究C证明：证明：lAB， PCA =PCB 在在PCA 和PCB中 PCA =PCB AC = =CB， PC = =PC， PCA PCB（

4、SAS） PA =PB你能用不同的方法验证这一结论吗你能用不同的方法验证这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质如图，直线如图，直线l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是l 上的点，请猜想点上的点，请猜想点P1，P2，P3， 到点到点A 与点与点B 的的距距离之间的数量关系离之间的数量关系相相等等 ABlP1P2P3探究探究 作关于直线作关于直线l l 的轴反射（即沿直线的轴反射（即沿直线l l 对折），对折），由于由于l l 是线段是线段ABAB的垂直平分线，因此点的垂直平分线，因此点A A与点与点B B重合重合. . 从而线段从而线段PAP

5、A与线段与线段PBPB重合，于是重合，于是PAPA= =PBPB. .(A)(B)BAPl线段垂直平分线线段垂直平分线的的性质定理性质定理： 线段线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点与这条线段与这条线段两个端两个端点点的距离相等的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为： CA = =CB，lAB， PA = =PBABPCl8课堂练习课堂练习如图，如图，在在ABC 中中，BC = =8，AB 的中垂线的中垂线 交交BC于于D，AC 的中垂线交的中垂线交BC 与与E，则则ADE 的周长等于的周长等于_A B C D E AC = =CE课堂练习课堂练习 如图，如图，ADBC，BD = =DC

6、，点点C 在在AE 的垂直平分线上，的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？ AB+ +BD与与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 解：解：ADBC，BD = =DC， AD 是是BC 的垂直平分线的垂直平分线， AB = =AC点点C 在在AE 的垂直平分线上的垂直平分线上，AB = =AC = =CEAB = =CE，BD = =DC，13.2线段的垂直平分线的判定线段垂直平分线线段垂直平分线的的性质定理性质定理： 线段线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点与这条线段与这条线

7、段两个端两个端点点的距离相等的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为： CA = =CB，lAB， PA = =PBABPCl探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定反过来，如果反过来，如果PA = =PB，那么点，那么点P 是否在线段是否在线段AB 的的 垂直平分线上呢？垂直平分线上呢？点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 已知：如图，已知：如图，PA = =PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平的垂直平 分线上分线上PAB 证明：证明：过点过点P 作线段作线段AB 的垂线的垂线PC， 则则PCA = =PCB = =90在在RtPCA

8、和和RtPCB 中，中，PA = =PB， PC = =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC = =BC又又 PCAB， 点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上PAB C 已知：如图，已知：如图，PA = =PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定用数学符号表示为用数学符号表示为：PA = =PB，点点P 在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上与一条线段与一条线段两个端点距离相等两个端点距离相等的点，在这条线段的的点，在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上PAB C 解：解：AB =

9、 =AC，点点A 在线段在线段BC 的垂直平分线的垂直平分线MB = =MC，点点M 在线段在线段BC 的垂直平分线上，的垂直平分线上，直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 平分线平分线课堂练习课堂练习如图，如图，AB = =AC，MB = =MC直线直线AM 是线段是线段BC 的垂的垂直平分线吗直平分线吗？A B C D M 课堂练习课堂练习如图如图,AD,AD是是ABCABC的角平分线，的角平分线，DEDE，DFDF分别是分别是ABDABD和和ACDACD的高，求证：的高，求证：ADAD垂直平分垂直平分EF.EF.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB，BC的垂直的垂直平平

10、分线相交分线相交于点于点O，连接，连接OA，OB，OC.求证：点求证：点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.证：证：点点O O在线段在线段ABAB的垂直平分线上，的垂直平分线上， OAOA= =OBOB. . OB=OC. OA=OC. 点点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.课堂练习课堂练习点点O O在线段在线段BC BC 的垂直平分线上，的垂直平分线上，线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质: :线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定: :与线段两个端点距离相等的与线段两个端点距离相等的点点,在这条线段的在这条线段的垂直平分线上。垂直平分线上。ABPMN线段垂直平分线上的线段垂

11、直平分线上的点与这条线段点与这条线段两个端点的距离相等。两个端点的距离相等。（1）MNMN是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线， 点点P P是是MNMN上任一点，上任一点， 。（2）PA=PBPA=PB， 。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上（1）分别以点）分别以点A，B 为圆心，以大于为圆心，以大于 AB的长为半径的长为半径 作弧，两弧相交于作弧，两弧相交于C，D 两点；两点；（2）作直线）作直线CD CD 就是所求作的直线就是所求作的直线 12作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线怎样作线段怎样作线段AB 的垂直平分线呢？的垂直平分线呢？ ABCD作法：作

12、法：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的轴是任何一对对应点所连线段的 。垂直平分线垂直平分线ABCABCMNABC与与ABC关于某条直线对称，请你作出它关于某条直线对称，请你作出它的对称轴。的对称轴。MN就是它们的对称轴。就是它们的对称轴。自主探究一自主探究一分析：只要找到分析：只要找到任意一组对应点任意一组对应点，作出它们连线的作出它们连线的垂直平分线，就垂直平分线，就可以得到此图形可以得到此图形的对称轴的对称轴 自主探究二自主探究二尺规作图尺规作图 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线知直线的垂线？CABDKFE（1 1）任意取一点）任意取一点K K，使点，使点K K和点和点C C在在