二次函数在给定区间上地最值问题

1、实用文案二次函数在给定区间上的最值问题【学前思考】二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给 定区间的端点.因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物 线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的 是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间 的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.【知识要点&例题精讲】二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Casel、给定区间确定，对称轴位置也确定说明：此种类型是较为简单的

2、一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，冉将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次 函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内(i)当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调 性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端 点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单 调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值 .例1、二次函数y = x22x + 3在闭区间1,2上的最大值是.例2、函数f (x) =-x2+

3、4x -2在区间【0,3】上的最大值是,最小值是例3、已知2x2 M3x,则函数f (X) =x2+X + 1的最大值是，最小值是CaseH、给定区间确定，对称轴位置变化说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分 对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数y=ax2+bx+c (a#0)在给定区间p,q上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a >0的情形进行分析：(i)若-且<

4、;p,即对称轴在给定区间p,q的左侧，则函数f(x)在给定区间 2ap,q上单调递增，此时f (x)max = f (q) , f (x)min = f (p)；(ii)若p< <q,即对称轴在给定区间p,q的内部，则函数f(x)在p,-2 2a2a上单调递减，在-B,q上单调递增，此时k)标=9' , f (x)max= f(p) 2a2a或f(q),至于最大值究竟是f (p)还是f(q),还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若p<-<-pq,则f(x)max = f(q);若2a 2呼“；b 虫，则f(x)max = f(p)；2 2a

5、(iii)若Bq,即对称轴在给定区间p,q的右侧，则函数f(x)在给定区间 2ap,q上单调递减，此时f(x)max= f(p) , f(x)min = f(q).综上可知，当a>0时,p q2p q2-b、.bf (x)maxif(q)，2a<|f(p),若小2a. bf(P),右-丁 < P2af(x)min = f (2),若 P W2 Wq.2a2a. 什 bf(q),右-丁 >q2a通过同样的分析可得到：当a<0时,f (P),右一丁 < P2ab " bf(x)max =4f( )，右 PE Eq；2a2ar ,、:bf(q),右一丁

6、>q2af(x)minj f (q),若b一<2af (P),若-2a例4、已知x2 E1且a之2,求函数f (x) = x2+ax + 3的最值.例5、求函数f(x) =-x(x-a)在区间1,1上的最大值.例6、求函数f (x) = x2-2ax-1在区间b, 2】上的最大值和最小值.2例7、设函数f(x)=x2+ax+b(a,bWR)，当b =十1时，求函数f(x)在区4间1-1,1上的最小值g(a)的解析式.x =_a的抛物线22解析函数f (x) =x2 +ax +b=x2 4-ax +a_ +1 =(x +a)2 +1的图像是开口向上，对称轴为直线 42(i )若，即a

7、 222此时函数f (x)在2,1止单调递增a2a2于是g(a) =f ()=1 _a1=_a-244(ii )若>1,即a此时函数f (x)在2,1止单调递减22a a _ 于是 g(a) =f (1) =1 a - 一 1 =一a -244(iii )若 _1 <Ja <1,即 _2 <a <2一 2 一 一一此时函数f (x)在/，上单调递减，在_a,1上单调递增 22于是 g(a) =f (-2) =1.2a 一 一 a 2> a '? 2 4综上可知，g(a)=1, -2 <a <2I 2 a a 2, a ：- -24例8、已

8、知函数f (x) = x2 + mx-1，右对于任息的xWm, m + 1,都有f(x)<0成 立，则实数m的取值范围是Casein、给定区间变化，对称轴位置确定说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数.解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求 二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行 分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其 对称轴的横坐标.解决

9、方法与知识点2类似，这里不再赘述.例9、已知函数f(x)=(x-1f+1定义在区间！t,t+1(HR)上，求f(x)的最小值.例10、已知函数f(x) = x2 -2x+3 ,当xW&,t+1(HR)时，求f(x)的最大值.CaselV、与二次函数最值问题有关的综合题型利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题:(1)求函数的最值或最值的取值范围；(2)求函数的解析式；(3)证明不等式；(4)求参数的取值范围；(5)探究参数是否存在；例 11、设函数 f (x )=x2 +2ax-a -1 , xw0,2】，a 为常数.(I)求f (x )的最小值g(a)的解析

10、式;(II )在(I )中，是否存在最小的整数 m ,使得g(a) - m W 0对于任意a w R均 成立.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【解析】(I )函数f (x )=x2 +2ax-a-1 =(x + a)2 - a2 -a-1的图像是开口向上，对称轴为直线x = a的抛物线(i )若a <0 ,即 a >0此时函数f(x)的对称轴x = -a不在区间10,2】上，f(x)在区间 此2】上单调递增于是 g(a) =f (x)min = f (0) - -a -1(ii )若-a >2 ,即 a < -2此时函数f(x)的对称轴x = -a不在区间 此

11、2】上，f(x)在区间此2】上单调递减于是 g(a) =f(x)min = f(2) =4 4a-a-1=3a 3(iii ) 0<-a <2, IP -2<a<0此时函数f(x)的对称轴x = -a在区间b, 2】上，f(x)在区间 此-a】上单调递减，在区间I-a,2】上单调递增于是 g(a) = f (x)min = f (-a) =-a2-a-1-a -1,a 0综上可知，g(a) = -a2-a T,2 M a E 03a - 3,a < -2(II )要使g(a) -m W0对于任意的aw R均成立，只需m >g(a)max , Va R 下求g

12、(a) max11由函数g(a)的图像可见，g(a)在(夕上单调递增，在1,依)上单调递减1 1 213g(a)max =g( -)-(-) -(-)-1 -2 2243于是m - -4又m Z故m的最小值为0例12、已知函数f(x) =x22ax+b (a,bWR),记M是| f (x) |在区间0,1上的 最大值.(I )当b=0HM =2时，求a的值；1.(H )右 M £ -，证明 0 Ea E1.2【解析】(I)函数f (x) = x2 2ax + b = (xa)2 a2+b的图像是开口向上，对 称轴为直线x=a的抛物线而函数f(x)的图像是将函数f(x)在x轴上方的图像

13、保持不变、把它在 x轴下方 的图像翻折上去得到的(I)当 b=0时，函数 f(x) =x2 2ax =(xa)2 a2(i )若 a <0此时函数f(x)的对称轴x = a不在区间0,1上，f (x)在区间0,1上单调递增于是 M = f(x)max =max( f(0) , f (1) = max10,1 2a = |1 2a =2一 1 一. 3=1 - 2a =2或1 -2a = -2 ,即 a = -一(舍去 a =)22(ii )若 a >1此时函数f(x)的对称轴x = a不在区间0,1上，f(x)在区间0,1上单调递减 于是 M = f (x)max =max( f(

14、0) , f (1) = max0,1 2a ) = |1 2a =2,、一 3.1= 1 -2a =2或1 2a = 2 ,即 a =(舍去 a =) 22(iii )若0 wa <1此时函数f(x)的对称轴x = a在区间0,1上，f(x)在区间0,a上单调递减，在区间匕,1 上单调递增 于是 M = f (x) max = max f (a), f (1) = maxQ2,1 2a)= 2 当a2=2时，a=±T2即0,1,舍去当 12a|=2时，12a=2或12a = _2 = a = _1 或a = 3,均舍去 22,、，一，1 .3综上可知，a =或a= 一221

15、b - f (1)a 二2(iIf-1 f (0) - f (1) 1 f (0) - f (1) =十22211f(0)不，了 、一厂 f(于是有-1 < f(0) -f(1)<1即 a 0,111.1 f(0)-f(D11.故 0= Wa= 一十w 十 = 1,222 22 2例 13、(2015 浙江高考)已知函数 f(x)=x2+ax+b (a, b= R),记 M (a,b) 是f(x)在区间-1,1上的最大值.(1)证明：当 |a 22时，M (a,b) >2 ；(2)当a, b满足M (a,b)«2时,求|a十|b的最大值.【分析】本题考查的知识点是二

16、次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的 最值问题.解决此类问题的关键是正确理解“ M(a,b)是f(x)在区间-1,1上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。2【解析】(1)函数f (x) = x2+ax+ b = (x+9)2-里+b的图像是开口向上，对称24轴为直线x=-的抛物线2而函数f(x)的图像是将函数f(x)在x轴上方的图像保持不变、把它在 x轴下方的图像翻折上去得到的a >2,即 a 之2或aM 2.-a < -1 或-a .1 22此时函数f(x)的对称轴x =-刍不在区间-1,1】上2于是函数f(x)在区间1-1,1上单调故 M (a,b)式

17、f (x)max =maxl f ，f (-1) ； = max'-1 a b ,1 -a b1>-(1 +a+b +1 -a+b)1-2 (1 a b) -(1-a b)=1 2a = a *22(2) ；M(a,b)<2f(x) <2,-x -1,1 于是有 f (1) <2, f (-1) <2,即 1+a + bE2, 1-a + b M2 3-2 <1+a+b<2 , -2<1-a+b<2即-3<a+b <1 , -3<-a+b<1又a +b w a + b , a -b w|a + bl|a +b

18、 二 a| +|b = <p-b,ab - 0,ab :二 0于是 a +|b =max1a + b , a-b| = 3标准文档又当a = 2, b = 1时,=3,且 f(x)=x2十2x 1在区间1,1上的最大值为 2,即 M (2, 1)=2故a + b的最大值为3例14、已知函数f(x) = -x2+2bx+c,设函数g(x)=| f(x)在区间-1,1上的最大值为M .(I )若b=2,求M的值；(H )若M之k对任意的b , c何成立，试求k的最大值.【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题以及函数包成立问题，解决此类问题的关键是正确理解

19、”M 是 f(x)在区间-1,11上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识【解析】函数f(x) = -x2 +2bx+c = -(x-b)2 +b2 +c的图像是开口向下，对称轴为直线x =b的抛物线而函数g(x) =|f (x)的图像是将函数f(x)在x轴上方的图像保持不变、把它在 x轴下方的图像翻折上去得到的(1)当 b=2 时，函数 f (x) = x2+4x+c = (x2)2+4 + c此时其对称轴x =2不在区间-1,1上，f(x)在区间-1,1上单调递增故 M =g(x)max = f (x)max =maxt f(1), f(-1) ,'= max13

20、+ c , -5 + “=3 GC 15 -c,c <1(2)要使M >k对任意的b, c包成立，只需k <M min,Vb,c= R下求M的最小值.g(x) =|f(x)=-x2 +2bx +c =|-(x-b)2 +b2 +c(i )若 b >1,即 b a1 或 b c -1此时函数f(x)的对称轴x = b不在区间-1,1】上二函数f(x)在区间-1,1上单调于是 M =g(x)max =f (x)max 二max|f(1), f(-1) = max4-1+2b + c, -1-2b + c11 ,1,>- -1 +2b +c + -1 -2b +c) &

21、gt;-|(-1 +2b+c) -(-1-2b+c) =-|4b = 2 b a2(ii )若 b Ml,即1 <b<1 此时函数f(x)的对称轴x = b在区间1-1,1上 于是 M =g(X)max =f(X)max=maX,：f ，f(-1), f(b)-1 1 一.当一1Mb <=0 时，f (1)< f (-1)< f (b)2此时 M =maxV(1),|f(b)|1>2( f (1)+| f (b)之2| f (1)f(b) =；|(1 +2b + c) (b2 +c)1 2121=-b 2b+1= (b1) >-,Vb = -1,0)

22、222-1 1 一.当 0=Wb W1 时，f (-1)< f (1)< f(b)21 1 rr_-Lri i H _ 1 i i i i _ 1 ii 1 Io止匕时M =maxf(1), f(b)芝2( f(-1)+|f(b)>2|f(-1)-f(b) -1(-1 -2b+c)-(b2+c)12=- 4 -2b-1 212121=-b +2b+1 = (b+1) >-,Vb = 0,1 2221由(i ) , (ii )可知，对任意的b , c,都有M父12又当b=0, c = l时，g(x)= -x2+1在区间1-1,1】上的最大值为，即M =2222故M之k对任

23、意的b , c包成立的k的最大值为1.2【课后总结】解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是关于二次函数的对称轴与 给定区间的位置关系的讨论.一般分为：二次函数的对称轴在给定区间的左 侧、内部以及右侧三种情况，然后根据不同情况求出相应最值 .建议在理解相 关结论或解题时，一定要注意结合二次函数的图像，做到数形结合。须知：函 数图像就是指路明灯！ ！ ！【习题精练】1、若 f (x) =x2 -bx +c，且 f (-3) = f ，则(A. c :二 f(-1):二 f (1) B.C. f(1)：c；f(-1) D.2、(2013浙江高考)已知a, bf(0) = f(4) > f(

24、1),则()A. a 0,4a b = 0B.C. a 0,2a b =0D.f(-1)。f (1)f(1) ： f(-1) ccw R ,函数 f (x) = ax2 +bx + c .若a ： 0,4a b = 0a :二 0,2a b =0与a有关，但与b无关 与a无关，但与b有关3、(2017浙江高考)若函数f(x)=x2+ax + b在0,1上的最大值是M ,最小值是 m ,则 M -m ()A.与a有关，且与b有关B.C.与a无关，且与b无关D.2解析函数f(x)=x2+ax+b=(x+a)2_a-+b的图像是开口向上，对称轴为直线x=-a的抛物线242(i )若 _a <0

25、,即a >02此时函数f(x)在0,1上单调递增于是 M =f (x)max =f (1)=1+a+b,m=f (x)min = f(0) = bM M m=1+a,与a有关，但与b无关(ii )若a >1,即a二2此时函数f (x)在0,1上单调递减于是 M =f (x)max =f (0) =b,m=f (x)min = f (1) =1 +a +bM M m =-1 a,与a有关，但与b无关(iii )若。£亘(色:1，即1<aM0222此时函数f(x)在0,-a上单调递减，在-a,1上单调递增，并且f (0) =b, f (1) =1+a+b>b =

26、f(0) 222于是 M =f (x)max = f (1) =1 a , b, m = f (x)min = f ( ') =b242一aM M -m =+a+1,与a有关，但与b无关4(iv )若1 <-0-1 <-a E1,即 一2 Wa WT222此时函数f(x)在0,-a上单调递减，在-a,1上单调递增，并且f (0) =b, f (1)=1+a+b Mb = f(0) 222于是 M =f (x)max =f (0) =b,m =f 诋=f (一旦)二一a- b242M M m=±,与a有关，但与b无关41 a, a < 22,-2 <a&

27、lt;-1综上可知，M m=« 24,与a有关，但与b无关a- +a +1, T <a <041 +a, a >04、已知函数f (x) =-x2+ax+b2-b+1 (a,bR)对任意的实数x ,都有f (1-x) = f (1+x)成立.若当xw-1,1】时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )A. -1 :二 b ：二0B.b 2C. b>2或 b<1D.b < -15、已知一次函数y=ax + b (a*。)的图像不经过第一象限，且在区间-2,1】上的最大值和最小值分别为1和-2,则函数y=x2_ax + b在区间2,1上的最大值为()A. -2 B. 2 C. -1 D. 16、设函数y=ax2+4(a+1)x_3在2,收)上单调递减，则实数a的取