不等式证明19个典型例题

1、实用标准文案不等式证明19个典型例题典型例题一例 1 若 0 <x <1 ,证明 log a (1 _ x) > log a(1 十x) ( a > 0 且 a #1 ).分析1用作差法来证明.需分为 a >1和0 < a <1两种情况，去掉绝对值符号 比较法证明.解法1 (1)当a >1时，因为 0 <1 _x <1 ,1 + x >1 ,所以 log (1 _x) - log (1 +x) aa-log a (1 -x) - log a(1 - x)= _log a(1 _x2) >0 .(2)当 0 <a c1

2、 时，因为 0 ：； 1 -x ； 1 ,1 x . 1所以 log a (1 x) - log a (1 + x)=log a (1 - x ) log a(1 - x) aa2、= log a (1 x ) >0 .综合(1) (2)知 log (1 -x) > log (1 + x). aa分析2直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号.解法2作差比较法.因为 log a(1 -x) - log a (1 +x)lg( 1 -x)lg alg( 1+x)lg a1gl-lg( 1-x)- lg( 1 +x)Llg(1 x) lg( 1 - x) j-1lg a2lg( 1 -

3、x ) >0 ,所以 log a（1 _x）| > log a （1 +x）.说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二 用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快.典型例题二例 2 设 a >b >0 ,求证：aabb >abba.分析：发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数，可以作商，判断比 值与1的大小关系，从而证明不等式.a ba ba b b a a a b证明：=a - b - =（） -b aa bbaa > b >0 , . >1,a b >

4、0.ba bb文档说明：本题考查不等式的证明方法一一比较法（作商比较法）.作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与 1的大小.典型例题三44a - b a - b “例3对于任息头数 a、b ,求证>（）（当且仅当a = b时取等号）22分析 这个题若使用比较法来证明， 将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有（让b）4 ,2展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：a2 +b2 2 2ab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明： a2 +b2之2ab （当且仅当a2 =b2时取等号）两边同加（a4 +b4）:2（a4 +b4） > （a

5、2 +b2）24422即:(1)a - b a . b 2()22又：: a2 +b2 >2ab （当且仅当a =b时取等号）两边同加(a2 - b2) : 2(a2 - b2 ) _ (a - b)222a -b a +b 2 () 2222a -b 2 a -b 4 () >()(2)2244a 一ba ：b 4由(1)和(2)可得>()(当且仅当a = b时取等号).22说明：此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来 解.典型例题四111例 4 已知 a、b、c

6、 R , a+b +c=1,求证一+ + 之9. a b c111分析 显然这个题用比较法ZE不勿证出的。右把 11通分，则会把不等式变得较a b c复杂而不易得到证明.由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征b a的形式，比如一+一,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑 a b倒数”的技巧.证明：: a +b +c =1111 a-b-c a-b-cH Ha b c abbcacab二（1 - 一 一）一（一 - 1 - ） 一 （一 - 1） aabbccbacacb= 3- （一 一）-（一 ）一（1.一） abacbcc acb+ >2

7、 ,十>2 。a cbc111-1 - - - -3222 = 9.a b c说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式.题目中用到了 “凑倒数” ，这种技巧在 很多不等式证明中都可应用， 但有时要首先对代数式进行适当变形， 以期达到可以“凑倒数” 的目的.典型例题五111例 5 已知 a > b >c ,求证：11> 0.a _.b b _c c .a分析：此题直接入手不容易， 考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.证明一：（分析法书写过程），一一 111为了证明+ > 0a - b b - c c - a111

8、只需要证明 1+ 1>1a - b b - c a - c1/ a . b . c .a _ c . a _ b , 0, b _ c , 0111A, >0a ba c b x11.+> 成立b - c a - c11一+>0成立a - b证明二：b - c c - a（综合法书写过程）/ a > b > c a c > a b > 0, b c >0>01 1. -> a b a c成立2 1 a - b b c a c3 11. . + +>0 成立a - b b c c a说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，

9、但有时这两种方法经常混在一起应用, 混合应用时，应用语言叙述清楚.典型例题六例 6 若 aA0,bA0,且 2c>a+b,求证:c - c2 -ab :二 a :二 c - - c2 -ab .分析这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有 什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式，要 有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）.证明： 为要证 c lc 2 ab < a <c +4c? a b .-cf c -a b <a -c <Jc -a

10、 b ,即证 a _c < Jc_ab ,也就是(a c)2 <c2 _ab,即证 a 2 _2ac < _ab ,即证 2 ac > a (a +b ),a -.-b-c 2a >0,2c >a +b,b >0 ,> Vab ,故 c > a b 即有 c ab >0 ,又 由2ca+b可得2aca（a+b）成立,所求不等式c "x/c a b a a m c + c/c a b 戈.说明：此题考查了用分析法证明不等式. 在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证需证”，综合法的书写

11、过程是：“因为（.）所以（.）”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.典型例题七例 7 若 a3 +b3 =2 ,求证 a +b <2 .分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法.证法 ':假设 a +b>2 ,则 a，+b，=(a+b)(a? ab + b 2 ) > 2(a 2 ab +b?),3322而 a +b =2 ,故(a -ab +b ) <1 . 22.1+aba +b 至2ab.从而 ab <1 ,4 2,一 a + b <1 + ab < 2 .222一(a +b ) =a +b +2ab <

12、2 +2ab <4 . a +b <2 .这与假设矛盾，故a +b <2 .证法二：彳矍设 a+bA2,则a>2-b,333322故 2 =a +b >(2 -b) +b ，即 2 >8 -12 b +6b ,即(b -1) <0 ,这不可能.从而a +b <2 .证法三：假设 a +b>2 ,贝f (a +b)3 =a3 + b 3 + 3 ab ( a +b)>8.实用标准文案由 a3 +b3 =2 ,得 3ab (a +b) >6 ,故 ab (a +b) >2 .又 a3 +b3 =(a +b)( a 2 _ab

13、+b2)=2 ,.22ab (a +b ) >(a +b)(a ab +b ). a 2 _ab +b 2 <ab ,即(a _b ) 2 <0 .这不可能，故a +b <2 .说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾.一般说来，结论中出现“至少”“至多” “唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法.典型例题八例8设X、y为正数，求证/+y2 >,x3 +y3 .分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法.证明：要证 jx2 十 y2 A3J；X3 +y3 ,只需证(x2 + y 2 )3 >

14、;(x3 + y3 )2 ,6422466336即证 x +3x y +3x y +y > x +2x y +y ,化简得 3x4 y 2 +3x 2 y 4 >2x3y3, x 2 y 2 (3 x 2 - 2 xy +3 y 2 ) >0 .A =4y2 _4 M3 M3y 2 <0 , 22 3x 2 xy +3 y >0 ,2 2 _ 2_ 2一 . x y (3x-2xy +3y ) >0 .，原不等式成立.说明：1.本题证明易出现以下错误证法：，x2+y2之y , Vx3 +y3 >V2x-y-,然后分(1) x > y >1

15、; (2) x <y <1 ; (3) x >1 且 0 < y <1 ； (4) y >1 且 0 <x 父1 来讨论，结果 无效.2.用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是AU B ,前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以.典型例题九例 9 已知 1 <x2 + y2 <2 ,求证Ex2 xy + y2 <3分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明.证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r .2. 1 ：: x，可设x二 r cos二r sin日，其中

16、 1 mwJ2, 0 <e<2n.2 , ,1sin 0cos B=r (1 _ sin 2 0).2由1 <121 sin22< r (1行12而_r2一 xy+ y2 <3 .说明:1.三角代换是最常见的变量代换,当条件为222222x +y =r 或 x +y < r 或文档22、+J=1时，均可用三角代换.2.用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的 2-2a b变量和取值的变化会影响其结果的正确性.典型例题十1111例10设n是正整数，求证 1<十+<1 2 - n +1 n - 22 n '111分析：要求一个n项分式

17、+ +一的范围，它的和又求不出来， 可以采用n，1 n，22 n“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围.、r ,2111证明：由 2n 2n +k >n (k =1,2,，n),得一 <<2 n n k n当k =1时,111一 <<-；2 n n I n当k =2时,当k =n时,111M <.2 n n - n n二1说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境.例如证明1117.111二 十一7 十。十一2-一.由 二- <-一,如果从第 3项开始放缩，正好可证明；如果从12n 4 k k -1 k 第2项放缩，可得小于

18、 2.当放缩方式不同，结果也在变化.2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值 缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需 小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和.典型例题旺例1122(a _ b ) a +b (a _ b)已知a >b >0 ,求证： 工_4'ab 工分析: 证明较好.8 a欲证不等式看起来较为“复杂”8b,宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明:只须证22欲证(a -b) :：. a b _ ab (a b) 8a2'8b22(a -b) (a -

19、.b)<a +b _2 Jab <.4a4b即要证即要证a .ba .b即要证即要证：二2 :二即要证b. a1 +<2 <、+1 ,即> abb- -1 ：:a即要证:1 :-*)a >b >0 ,( *)显然成立,2(a _b) a - b故：:8a2(a - b) 2ab :说明：分析法证明不等式，证一一只要证一一即证一一已知”8b实质上是寻求结论成立的一个充分条件. 的格式.分析法通常采用“欲典型例题十二888233,求证： x - y . z 二 x y z而右边却结合在一起,分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态,而要寻求个熟

20、知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同）， (a 一b)2十(b -c)2+(c-a)2 >0，易得a 2 +b2+c2 >ab +bc +ca ,此式的外形特征符合要求, 因此，我们用如下的结合法证明.888424242证明：x +y +z =(x) +(y) +(z)22222 2222二(x y ) (y z ) (z x )2222222222:x y .y z - y z z x - z x=(xy z) (yz x) (zx y)_ xy z .yz x - yz x .zx y - zx y22.x y2.xy z233233233=x y z +y z x +

21、z x y888233233233x +y +z >x y z +y z x +z x y .说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式a4A + 一 + 一 +b222ab而得到的.左右两边都是三项，实质上是a2 b2+c2 >ab +bc +ca公式的连续使用.如果原题限定x , y,z w R +,则不等式可作如下变形：x88833 3 1ff>3. (1 一a)b ,-.：(1 -b )c - . (1 -c) a ''21jy -z _xyz(_)xyz5进一步可彳#到：一工y333- x z x y x y z z355y z 111因为发现思路还

22、要有一个转化显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难,的过程.典型例题十三例 13 已知 0 <a <1 , 0 <b <1 , 0 <c <1 ,求证：在(1 _a)b,(1 _b)c,(1 _c)a 三数中，1不可能都大于-.4分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明.假设命题不成立，则1(1 -a)b,(1 b)c,(1 c)a三数都大于 ，从这个结论出发，进一步去导出矛盾.41证明： 假设(1 _a)b , (1 _b)c, (1 _c)a二数都大于 一， 4(1 -b )c >- , (1 -c)a >.又< 0 &l

23、t;a <1 , 0 <b <1 , 0 <c <1 ,111:- v (1 -a)b > , 4(1 -b) c > , (J (1 -c) a '2'2'i . .1 -a -b 1 _ b，c 1 _c -a乂 ；(1 _a)b < , J(1 b)c < , v(1 c)a <.222以上三式相加，即得：J(1 _a) b + 3(1 b) ,c +，(1 _c) .a <-3显然与相矛盾，假设不成立，故命题获证.说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反 证

24、法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合 法的解题思想.典型例题十四a a b b ''a + b + c 一 ；、例14 已知a、b、c都是正数，求证： 2 - a' ab |< 3 _ J abc .< 2333)分析：用分析法去找一找证题的突破口.要证原不等式，只需证 2而£©BOQ ,即只需证c +2十ab >3''abc .把2“'ab变为<ab +Jab，问题就解决了.或有分析法的途径， 也很容易用综合法的形式写出证明过程.证法要1E 2 高<3

25、'三匕.嬴< 2)3 <3)只需证 a +b 2 yab a a +b +c 3?abc ,即2 Jab <c 3 V abc ,移项，得 c + 2 Jab >3Vabc .由 a、b、c 为正数，得 c +2 Jab =c ab ab > 33/abc .，原不等式成立.证法二：.a、b、c为正数，, c +Jab ab 23tpe Jabab =33/abc .即 c +2 Jab >33Jabc ,故 2 Jab <c _33/abc ., a +b 2 Jab < a +b +c 3-abc ,、，一 一，”,一 a -b a

26、-b -c 说明：题中给出的 不一，Jab , -一，七abc ,只因为a、b、c都是正数，形 式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求 证，问题就不好解决了.原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当c=jab时取"=号.证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键.本题的关键是证明 c +2向之33面丁.典型例题十五例 15 已知 a >0 , b>0,且 a_b=1.求证：0(JT _2)(和 +-L) <1 .a. ab11-1分析：记m =0<_(ja_)(j

27、b+=),欲证o<m <1,联想到正、余弦函数的值 a. a. b域，本题采用三角换元， 借助三角函数的变换手段将很方便,由条件a _b =1 , a、b W r+可换元，围绕公式sec 2 Q _tan 26=1来进行.证明：令 a =sec2 0, b=tan 2 0, JeL 0 <0<, 2贝U( . a . )( b ) =2- (secaa. b sec r11 ) -(tansec 12 _/1=cos Xcos 22 . sin二cos 1-sin rcos -i-cos 力(-)cos sin cos u sin cos u1- 0 <0 <

28、; ,0 <sin 0 <1 ,即 0 <一(Va" -f-)( i/b + -) <1 成乂. -ab说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多,常用的换元法有：(1)若x <1，可设x =sin a,aW R ;(2)若 x2 +y2 =1 ,可设 x =cos a , y =sin u , ot W R ； (3)若 x2 + y 2 W1 ,可设 x = r cos a ,y =r sin o(，且 r <1 ,典型例题十六例16已知x是不等于1的正数，n是正整数，求证(1

29、 +xn)(1 +x)n A 2xn .分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有 2的因子，因此 可考虑使用均值不等式.证明： x是不等于1的正数，1 +x >2 网 >0 ,(1 +x)n >2n v'xn .又 1 +xn >2vGV>0 .将式，两边分别相乘得nn- n n / n(1 +x )(1 +x) >2qx .2x ,nnn -1n (1 +x )(1 +x) >2 十 x .说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利.由特点选方法是解题的关键，这里因为x *1 ,所以等号不成立，又因为，两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果.这也是今后解题中要注意的问题.典型例题十七例 17 已知，x , y, z R +,且 x+y+z=1,求证 Jx + J7+ JZ wJ3 .分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效.为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法.证明：要证 x'x +J7 + <，fz- < J3 ,只需证 x + y +z + 2(x-'xy- +Jxz +yz) <3 ,只需证.xy + Vxz +yz <1 .x , y , z W R +,