一元二次方程与二次函数测试题

1、一元二次方程与二次函数测试题1.选择题（共10小题）1 .下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A. （x+1） 2=2 （x+1） B.C. ax2+bx+c=0 D. x2+2x=x2-1J K2 .关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0的一个根是0,则m的值为（A. 1B. 1 或-1 C. - 1 D. 0.53 .若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函A. (x+2) 2=9 B. (x-2) 2=9 C. (x+2) 2=1 D. (x-2) 2=15. 一元二次方程(1-k) x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则 k的取值

2、范围是()A. k>2 B. k<2C. k<2且 k*1 D. k>2 且 k*1A.当x<1时，y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点，则a<4C.当a=3时，不等式x2-4x+a>0的解集是1<x<3D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1, -2）,则a= -38.已知（-1, y1），（-2, y2）, （-4, y3）是抛物线 y= - 2x2 - 8x+m 上的点， 则（）A. y1 < y2< y3B, y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2<y3<

3、;y19.如图，RtAAOB中，AB ±OB,且AB=OB=3 ,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）10.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2m,另一边减少了 3m,剩余一块面积为20m2的矩形 自能*空地，则原正方形空地的边长是()30疗 事A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m君一丁一T1 事：二.填空题(共10小题)某11 .关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+| a| - 1=0的一个根是0,则实数a的 值为.12 . 2x2-夷x - 1=0的二次项系数是 , 一次项系数

4、是,常数项是.13 .已知a、B是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3) x+m2=0的两个不相等的实 数根，且满足 亲自二-1,则m的值是.14 . 一元二次方程x2+3 2j5x=0的解是.15 .抛物线y= -x2-2x+m,若其顶点在x轴上，贝U m=.16 .已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A (5, 0)、B (6, -6)和原点，则抛物线 的函数关系式是.17 .如图，已知抛物线y1= - x2+4x和直线y2=2x.我们约定：当x任取 一值时，x对应的函数值分别为y1、y2,若ywy2,取y1、y2中的较小 值记为M ;若y1=y2,记M=y 1=y2.则当x>4时

5、，M<0;当x< 2时，M随着x增大而增大；使得M大于4的x值不存在；若 M=2 ,则x=1,其中正确的有 (填写序号)18 .已知二次函数y= (x-2) 2+3,当x 时，y随x的增大而减小.19 .如果一条抛物线经过平移后与抛物线 y=-9x2+2重合，且顶点坐标为(4,-2),则它的解析式为.20.用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 2 cm .三.解答题(共10小题)21.解方程(1) 3x (x - 1) =2 2x(2) x2+8x- 9=0.(3) (x-3) 2=3 x(4) 3x2+5 (2x+1) =0.22.已知关于x的一元二次方

6、程kx2 - 4x+2=0有实数根.(1)求k的取值范围；(2)若4ABC中，AB=AC=2 , AB, BC的长是方程kx2 4x+2=0的两根，求 BC的长.23 .已知关于x的一元二次方程x2+ (2m - 3) x+m2=0的两个不相等的实数根 a、 0满足；+ , 口，求m的值.24 . (2014?蜀山区校级模拟)已知抛物线 y= -x+4,(1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；(2) x取何值时，y随x增大而减小？(3) x取何值时，抛物线在x轴上方？25.某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w (台)，销售单价x(元)满足w= - 2x+80,

7、设销售这种台灯每天的利润为y (元).(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时.每天的利润最大？最大利润多少？(3)在保证销售量尽可能大的前提下.该商场每天还想获得150元的利润，应将销售单价定位为多少元？28. (2015?黑龙江)如图，抛物线y=x2 - bx+c交x轴于点A (1, 0),交y轴于 点B,对称轴是x=2 .(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使 PAB的周长最小？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.一元二次方程与二次函数测试题 1参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1. (2016?新都区模拟)

8、下歹J方程中，关于 x的一元二次方程是(A. （x+1） 2=2 （x+1） B.2=0C. ax2+bx+c=0 D. x2+2x=x2-1J x【分析】利用一元二次方程的定义判断即可.【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1） 2=2 （x+1）, 故选A.2. （2016春?无锡校级期中）关于x的一元二次方程（m-1） x2+x+m2-1=0的一个根是0,则m的值为（）A. 1 B. 1 或-1 C. - 1 D. 0.5【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1*0;根据方程的解的定义得到m2-1=0,由此可以求得m的值.【解答】解：二,关于x的一元二次方程（m-1） x2

9、+x+m2 1=0的一个根是0, . m2- 1=0 且 m T w 0,解得m= - 1.故选：C.3. （2016?枣庄）若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）【分析】根据一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式 大于0,求出kb的符号，对各个图象进行判断即可.【解答】解：:x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，.=4-4 （kb+1） >0,解得kb<0,A. k>0, b>0,即 kb>0,故 A 不正确；B. k>0, b<0,即 kb

10、<0,故 B 正确；C. k<0, b<0,即 kb>0,故 C不正确；D. k>0, b=0,即 kb=0,故 D 不正确；故选：B.4. (2016?夏津县二模)用配方法解一元二次方程 x2+4x-5=0,此方程可变形为( )A. (x+2) 2=9 B. (x-2) 2=9 C. (x+2) 2=1 D. (x-2) 2=1【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可.【解答】解：x2+4x 5=0,x2+4x=5,x2+4x+22=5+22,2 (x+2) =9,故选：A.5. (2016?邹城市一模)一元二次方程(1-k) x2-2x-1=0有两个不相

11、等的实数根，则k的取值范围是()A. k>2 B. k<2C. k<2且 k*1 D. k>2 且 k*1【分析】根据一元二次方程的根的判别式，以及二次项系数不等于0,建立关于k的不等式组，求出k的取值范围.【解答】解：.a=1-k, b=-2, c=-1,方程有两个不相等的实数根. =b2 - 4ac=4+4 (1-k) =8-4k>0k<2又一元二次方程的二次项系数不为 0,即kw1.k<2且 kw1.故选C.19 / 18y轴的交点可得相关图象.【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和【解答】解：:二次项系数a<0, 开口方向向下,.一次

12、项系数b=0,对称轴为y轴，;常数项c=1,.图象与y轴交于（0,1）, 故选B.7 . （2016?滨州一模）已知二次函数 y=x2-4x+a,下列说法错误的是（）A.当x<1时，y随x的增大而减小8 .若图象与x轴有交点，则a<4C.当a=3时，不等式x2-4x+a>0的解集是1<x<3D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1, -2）,则a= -3【分析】现根据函数解析式，画出草图.A、此函数在对称轴的左边是随着 x的增大而减小，在右边是随x增大而增大， 据此作答；B、和x轴有交点，就说明学0,易求a的取值；C、解一元二次不等式即可；D、根

13、据左加右减，上加下减作答即可.【解答】解：: y=x2-4x+a,对称轴x=2,此二次函数的草图如图：A、当x< 1时，y随x的增大而减小，此说法正确；B、当=b2 - 4ac=16- 4a> 0,即a04时，二次函数和x轴有交点，此说法正确；C、当a=3时，不等式x2-4x+a>0的解集是x<1或x>3,此说法错误；D、y=x2-4x+a配方后是y= （x-2） 2+a-4,向上平移1个单位，再向左平移 3 个单位后，函数解析式是y= （x+1） 2+a-3,把（1, -2）代入函数解析式，易 求a=-3,此说法正确.故选C.8. (2016?滨江区模拟)已知(

14、-1, yi), (-2, y2), (-4, ya)是抛物线 y=-2x2-8x+m上的点，贝U ()A. yi < y2< ya B. ys< y2< yi C. ys< yi< y2 D. y2< ya< yi【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，根据对称性解答问题.【解答】解：抛物线y= - 2x2- 8x+m的对称轴为x= - 2,且开口向下，x=-2时 取得最大值.- 4< - i,且-4到-2的距离大于-i到-2的距离，根据二次函数的对称性，ya< yi.:ya<yi<y2.故选C.9. (20i

15、6?东莞市二模)如图，RtAAOB中，AB XOB,且AB=OB=3 ,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为 S,则S与t之间的函数关系的图象为下【分析】RtAAOB中，AB，OB,且AB=OB=3，所以很容易求得/ AOB= / A=45 °再由平行线的性质得出/ OCD=/A,即/ AOD=/OCD=45°,进而证明 OD=CD=t;最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函 数解析式来选择图象.【解答】 解：. RtAAOB 中，AB XOB,且 AB=OB=3 , ./AOB=/A=45 °, .CDIOB,CD / AB , ./

16、 OCD=/A, ./AOD=/OCD=45 °, .OD=CD=t, .Sa ocdxODXCD=-t2 (0<t<3),即 S1t2 (0<t<3).22故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为0,3、开口向上的二次函数图象;故选D.10. （2015?佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边 减少了 2m,另一边减少了 3m,剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形 空地的边长是（）【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 (a, b, c是常数且aw0), 在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中

17、a, b, c分别叫二 次项系数，一次项系数，常数项.【解答】解：根据一元二次方程的定义得：2x2-/jx-1=0的二次项系数是2, 一次项系数是-娟，常数项是-1.13. (2016?高安市一模)已知a、B是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3) x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 亲日二-1,则m的值是 3 .【分析】先求出两根之积与两根之和的值，再将 L+4-化简成两根之积与两根 a p之和的形式，然后代入求值.【解答】解：: a、B是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3) x+m2=0的两个不相 等的实数根；21 - o+ f=- 2m- 3, a ? =m ;旦生=乌二=

18、1.d P ap 茂 'm2- 2m - 3=0;解得m=3或m= T;2 .一元二次方程x2+ (2m+3) x+m2=0有两个不相等的实数根；.= (2m+3) 2-4X 1 Xm2=12m+9>0;.3. . m 一 士；4m=- 1不合题意舍去；m=3.14. (2015?天水)一元二次方程x2+3 2j5x=0的解是 乂1=人25近 .【分析】先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可.【解答】解：x2+3 - 2V5x=0(x- V3) 2=0x1=x2=V3.故答案为：x1=x2=V5.15. (2012?滕州市校级模拟)抛物线y=-x2-2x+m,若其顶点在

19、x轴上,则m=-1.【分析】根据抛物线y=-x2-2x+m,若其顶点在x轴上可知其顶点纵坐标为0, 故可得出关于m的方程，求出m的值即可.【解答】解：:抛物线y= - x2 - 2x+m,若其顶点在x轴上，"飞旨W=0,解得m=r故答案为：-1.16. (2008秋?周村区期中)已知抛物线 y=ax2+bx+c经过点A (5, 0)、B (6, -6)和原点，则抛物线的函数关系式是y= - x2+5x .【分析】把三点坐标代入函数解析式，即可得到关于a, b, c的方程组，即可求得a, b, c的值，求出函数解析式.【解答】解：把点A (5, 0)、B (6, -6)、(0.0)代入

20、抛物线y=ax2+bx+c,得：，36a+6b+c= - 6E= 0"a= - 1解得：” b=5«二0则抛物线的函数关系式是y= - x2+5x.17. 如图，已知抛物线yi=-x2+4x和直线y2=2x.我们约定：当x任取一值时， x对应的函数值分别为yi、y2,若yi*y2, 取yi、y2中的较小值记为M ;若yi=y2, 记乂=丫1=丫2.则当x>4时，M<0;当x<2时，M随着x增大而增大； 使得M大于4的x值不存在； 若M=2,则x=1,其中正确的有 (埴 写序号)V*【分析】若y=y2,记M=y1=y2.首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图

21、象 可得当x>2时，利用函数图象可以得出y2>y1；当0Vx<2时，y>y2；当x< 0时，利用函数图象可以得出y2>y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数 值分别为y1、y2.若ywy2,取y1、y2中的较小值记为M;即可求得答案.【解答】解：<当y1=y2时,即-x2+4x=2x时，解得：x=0或x=2,.二当x>2时，利用函数图象可以得出 y2>y1；当0<x<2时，y>y2；当x<0 时，利用函数图象可以得出0>y2>y1；错误；，,抛物线yi=-x2+4x,直线y2=2x,当x任取一值时，x

22、对应的函数值分别为yi、 y2.若yi w y2,取yi、y2中的较小值记为M ;当x<2时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；正确；抛物线yi= - x2+4x的最大值为4,故M大于4的x值不存在，正确；二,如图：当 0<x<2 时,yi>y2；当 M=2, 2x=2, x=1;x>2 时，y2>yi;当 M=2 , - x2+4x=2 , xi=2+&, x2=2 - V2 （舍去）,使得M=2的x值是1或2+V,.错误；故答案为：.18. （2015?漳州）已知二次函数 y= （x-2） 2+3,当x <2 时、y随x的增大 而减小

23、.【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的 a为1和对称轴；由a的值可判 断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性.【解答】解：在y= （x-2） 2+3中，a=1,; a>0,开口向上，由于函数的对称轴为x=2,当x<2时，y的值随着x的值增大而减小；当x>2时，y的值随着x的值增大而增大.故答案为：< 2.19. （2015?东光县校级二模）如果一条抛物线经过平移后与抛物线y= -7?x2+2重合，且顶点坐标为（4, -2）,则它的解析式为 y=-卷 04） 2-2 .,J【分析】一条抛物线经过平移后与抛物线 y=-1x2+2重合，所以所求抛物线的 二次项

24、系数为a= 1,再根据顶点坐标写出表达式则可.【解答】解：根据题意，可设所求的抛物线的解析式为y=a （x-h） 2+k；v此抛物线经过平移后与抛物线 y=-2x2+2重合，'-1.此抛物线的顶点坐标为(4, -2),其解析式为：y=- (x-4) 2-2.320. (2015?莆田)用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最 大值是 64 cm2.【分析】设矩形的一边长是xcm,则邻边的长是(16-x) cm,则矩形的面积S 即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解.【解答】解：设矩形的一边长是xcm,则邻边的长是(16-x) cm.则矩形的面积S=x (16-x),

25、即S=-x2+16x,当x=-且=-2殳=8时，S有最大值是：64.2a -2故答案是：64.三.解答题(共10小题)21. (2014秋?成都期中)解方程(1) 3x (x - 1) =2 2x(2) x2+8x-9=0.【分析】(1)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.【解答】解：(1) 3x (x 1) =2-2x,3x (x- 1) +2 (x- 1) =0,(x- 1) (3x+2) =0,x- 1=0, 3x+2=0,a2x1 = 1 , x2= - y ；(3) x2+8x-9=0,(x+9)

26、(x- 1) =0,x+9=0, x - 1=0, x1= - 9, x2=1.22. (2013秋?武穴市校级月考)解方程：(3x-1) (x-1) = (4x+1) (x-1).【分析】分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1),将方程变为3x- 1=4x+1,所以x=-2,这样就丢掉了 x=1这个根.故特别要注意：用含有未知数 的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根.【解答】 解：(3x1) (x1) (4x+1) (x1) =0,(x- 1) (3x- 1) - (4x+1) =0,(x-1) (x+2) =0,X1 = 1, X2= - 2.23. (2013秋?嘉峪关校级期中

27、)解方程(1) (x-1) (x+3) =12(2) (x-3) 2=3 x(3) 3x2+5 (2x+1) =0.【分析】(1)方程整理为一般形式后，左边利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；(2)方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；(3)方程整理为一般形式后，找出 a, b, c的值，代入求根公式即可求出值.【解答】解：(1)方程整理得：x2+2x- 15=0,分解因式得：(x-3) (x+5) =0,解得：x1=3, x2=-5;(2)方程变形得：(x

28、-3) 2+ (x-3) =0,分解因式得：(x-3) (x-3+1) =0,解得：x1=3, x2=2;(3)方程整理得：3x2+10x+5=0,这里 a=3, b=10, c=5,. =100-60=40,x=>= 1 x6324. (2015秋?永川区校级期中)已知关于 x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实 数根.(1)求k的取值范围；(2)若4ABC中，AB=AC=2 , AB, BC的长是方程kx2 4x+2=0的两根，求BC的长.【分析】(1)若一元二次方程有实数根，则根的判别式 =b2 - 4ac> 0,建立关 于k的不等式，即可求出k的取值范围.(2)由于AB=

29、2是方程kx2-4x+2=0,所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值.【解答】解：(1)二方程有实数根， =b2-4ac= ( -4) 2- 4X kx2=16- 8k>0,解得：k<2, 又因为k是二次项系数，所以kw0,所以k的取值范围是k&2且kw0.(2)由于 AB=2 是方程 kx2-4x+2=0,所以把x=2代入方程，可得k=J_, 所以原方程是：3x2 - 8x+4=0,解得：xi=2, x2=Z,3所以BC的值是2.325. (2004?重庆)已知关于x的一元二次方程x2+ (2m-3) x+m2=0的两个不相等的实数根a、B满足工二1,求m的值.【分

30、析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求 得方程的根的和与积，将 0转化为关于m的方程，求出m的值并检验.【解答】解：由判别式大于零，得(2m-3) 2-4m2>0,解得m< .又 a+ 芹一(2m 3), a =m2.代入上式得3 - 2m=m2.解之得 mi= - 3, m2=1., m2=1>-1,故舍去.m= - 3.26. (2014?蜀山区校级模拟)已知抛物线 y=-x+4, -w(1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；(2) x取何值时，y随x增大而减小？(3) x取何值时，抛物线在x轴上方？【分析】(1)用配方法时，先提二次项系数，再配

31、方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；(2)对称轴是x= - 1,开口向下，根据对称轴及开口方向确定函数的增减性；(3)令y=0,确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围.【解答】解：(1) y=-yx2 - x+4=-y (x2+2x-8) w乙=-(x+1) 2-92=-y(HL)之得，它的顶点坐标为(-1,2),对称轴为直线x= -1； 2(2)二.抛物线对称轴是直线x=- 1,开口向下，.二当x > - 1时，y随x增大而减小；(3)当y=0时，即：+ =0解得x1二2, x2=-4,而抛物线开口向下，.当4<x<2时，抛物线在x轴上方

32、.27. (2011?乌鲁木齐)某商场销售一种进价为 20元/台的台灯，经调查发现，该 台灯每天的销售量w (台)，销售单价x (元)满足w=-2x+80,设销售这种台 灯每天的利润为y (元).(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时.每天的利润最大？最大利润多少？(3)在保证销售量尽可能大的前提下.该商场每天还想获得150元的利润，应将销售单价定位为多少元？【分析】(1)用每台的利润乘以销售量得到每天的利润.(2)由(1)得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润 以及销售单价.(3)把y=150代入函数，求出对应的x的值，然后根据w与x的关系，舍去不

33、合题意的值.【解答】解：(1) y= (x-20) (- 2x+80),2= -2x2+120x- 1600;(2) v y=- 2x2+120x- 1600,=-2 (x-30) 2+200,;当x=30元时，最大利润y=200元；(3)由题意，y=150,即：2 (x-30) 2+200=150,解得：x1=25, x2=35,又销售量W= - 2x+80随单价x的增大而减小，所以当x=25时，既能保证销售量大，又可以每天获得 150元的利润.28. (2015?黑龙江)如图，抛物线y=x2 - bx+c交x轴于点A (1, 0),交y轴于 点B,对称轴是x=2 .(1)求抛物线的解析式；

34、(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使 PAB的周长最小？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.X-2【分析】(1)根据抛物线经过点A (1, 0),对称轴是x=2列出方程组，解方程 组求出b、c的值即可；(2)因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接 BC与x=2交于 点P,则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可.1 -b+c=O【解答】解：(1)由题意得，b ，U=2解得 b=4, c=3,抛物线的解析式为.y=x2 - 4x+3;(2)二点A与点C关于x=2对称，连接BC与x=2交于点P,则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点 C的坐标为(3, 0), y=x2-4x+3与y轴的交点为(0, 3),设直线BC的解析式为：y=kx+b,(驰+向lb=3 5解得，k= - 1, b=3,直线BC的解析式为：y=-x+3, 则直线BC与x=2的交点坐标为：(2, 1) .点P的坐标为:(2, 1).x-229. (2015?齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边长为4, 顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=-工x2+bx+c经过B、C两点,2点D为抛物线的顶点，连接 AC、BD、CD.(1)求此抛物线的解析式.(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边