球内接教学案

1、2018 届高三数学第一轮复习教学案 18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大） ；小圆：截面不过球心 2球心和截面圆心的连线垂直于截面3球心到截面的距离 d 与球半径 R及截面圆半径 r 的关系： R2 d2 r24几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切 二、多面体的外接球（球包体）例： 1（2017年全国卷 III 第 8题）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该 圆柱的

2、体积为ABCD解析】模式辨识：球包体” 中的垂底侧边棱 （母线）”类型， h 1 ， R 1，底面半径为 r ，则由 R h得： 12212r23，V4r 2h 342（ 2010 年全国新课标卷第 面积为A10 题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表BCD解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，a，R2a 2 7a2 ，3 12所以该球的表面积 S 4 R 47a2127a2答案3B3（ 2014 年全国大纲卷第 8 题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 为A4，底面边长为 2，则该球的表面积解析】模式辨识：所以 S 4 R2 4BCD球包体

3、”中的顶点连心锥” ，h 4，r 2 2 2 ，则222hr R2h16 2 98 4 ，81 81 ，16 4 ，第 6 题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高6 cm ，如果不计容器的厚度， 1372 3 cm答案： A4（2013 年全国卷 I 再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为A 5003B 8663AcmBcm33【解析】设水面与球的接触点（切点）为P ，C球心为3O，则8 cm ， 则球的体积为 D 20483Dcm3PO 垂直于正方体的上表面，依题意将一个球放在容器口，P 到正方体上表面的距离为 h 2 ，球与正方体上表面相交圆的半径r 4 ，有：R2

4、2 2 2r 2 R2 ，由两垂线的交点确定圆心例 2 ：1已知边长为 2 3 的棱形 ABCD 中，60 ，现沿对角线BD 折起，使得二面角 A BD C 为 120 ，此时5003R r2 4 5 ，所以球的体积 V 4 R343三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，点 A， B ，C， D 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A 20B 24C 28D 322在矩形 ABCD中， AB 4， BC 3，沿 AC 将矩形折成一个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD的外接球 的体积为 3在边长为

5、1的菱形 ABCD 中， BAD 60 ，沿对角线将菱形折成直二面角 A BD C ，则三棱锥 A BCD 的外 接球的表面积为 四、正多面体的内切球（体中球）锥体的内切球：R 圆锥的内切球：R边长为 a 的正方体：Ra2等边圆柱（母线 a ）： R a 2边长 a 的正八面体： R五、正多面体的“切边球”（与所有的棱都相切的球）正四面体边长为 a ，球半径 R正方体边长为 a ，球半径 R 正四面体边长为 a ，球半径 R例 3： 1一个球的外切正方体的全面积为6 ，则球的体积为 V 的球，若 AB BC，AB 6，BC 8，AA1 3 ，则V 的最大值是 ABCD解析】考查直三棱柱中截面的

6、内切圆为球的大圆的情景，有8 10 R 6 8 R 2 AA12，故当球半径34为 3 时球的体积最大为 V 423 练习：1（ 2015年全国卷 II 第 9题） 表面积为ABR3已知，27 答案82是球的球面上两点，CB为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为D36，则球的2（ 2016 年福建漳州市 5 月质检）三棱锥 SABC 中，SB 平面 ABC， SB 5 ， ABC是边长为3 的正三角形，则三棱锥 S ABC 的外接球的表面积为（A 3B 53（ 2014 年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球 的半径等于（ ）A1）C

7、9D12B2C 3D42某圆锥的截面为边长为 2 的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为 3（2016 年全国卷 III 第 10 题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为4（ 2013 年辽宁卷理 10）已知三棱柱 ABCA1B1C1的 6个顶点都在球 O的球面上，若 AB 3，AC 4，AB AC，AA1 12 ，则球 O 的半径为（ ）A 3 172B 2 10C132D 3 105（2012 年全国新课标卷第11 题）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为ABCD6在正三棱锥 P ABC中， PA PB PC 3 ，侧棱 PA与底面 ABC所

8、成的角为 60 ，则该三棱锥外接球的体 积为（ ）AB3C 4D437已知底面边长为1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32B4C 24AD338（ 2017 年福建省质检） 空间四边形 ABCD的四个顶点都在同一球面上，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且EF AB,EF CD ，若 AB 8,CD EF 4 ，则该球的半径等于A65 2B 65 2216D 659若三棱锥 P ABC 的最长的棱 PA 2 ，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 10 （ 2008 年高考浙江卷理 14）已知球 O的面上四点 A 、 B 、 C、 D ， DA

9、 平面 ABC， AB BC， DA AB BC 3 ，则球 O 的体积为 11（ 2016 年东北三省三校联考）三棱柱ABC A1B1C1 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，ACB 120 ，CA CB 2 3， AA1 4 ，则这个球的表面积为 12在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 AA1 垂直底面，ACB 90 ，BAC 30 ， BC 1，且三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 3 ，则三棱柱 ABC A1B1C1的外接球表面积为 13在正三棱锥 S ABC中， M ， N分别是棱 SC、 BC的中点，且 AM MN ，若侧棱 SA 2 3 ，则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 14在三棱锥 A BCD中， AB CD 2， AD BC5， AC BD 7 ，则三棱锥 A BCD外