高中数学-不等式选讲各年高考题

1、五年高考真题分类汇编：不等式选讲一.选择题1.（2014·安徽高考文科·9）与（2014·安徽高考理科·9）相同若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）A.5或8 B.或5 C.或 D.或8【解题提示】 以a为目标进行分类讨论，去掉绝对值符号。【解析】选D.（1）当a<2时， ；（2）当a>2时，由（1）（2）可得，解得a=-4或8。2（2012湖北高考理）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则 ()A. B. C. D.【解析】选C 由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axby

2、cz)2400，当且仅当时取等号，因此有.3（2011山东高考理）不等式|x5|x3|10的解集是 ()A5,7 B4,6C(，57，) D(，46，)【解析】选D |x5|x3|表示数轴上的点到3,5的距离之和，不等式|x5|x3|10的解集是(，46，)二.填空题4. （2014· 湖南高考理科·13）若关于的不等式的解集为，则 【解题提示】求解绝对值不等式。【解析】由得到，又知道解集为所以。答案：5.(2014·广东高考理科)不等式+5的解集为.【解析】方法一:由得x-3;由无解;由得x2.即所求的解集为x|x-3或x2.方法二:在数轴上,点-2与点1的距离

3、为3,所以往左右边界各找距离为1的两个点,即点-3到点-2与点1的距离之和为5,点2到点-2与点1的距离之和也为5,原不等式的解集为x|x-3或x2.答案:x|x-3或x2.【误区警示】易出现解集不全或错误.对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不漏.6.(2014·陕西高考文科·T15)（文理共用）A.(不等式选做题)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.【解题指南】本题考查运用柯西不等式求最值的问题.【解析】由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)(ma+nb)2,即5(m2+n2)25,(m2+n2)5,所以

4、的最小值为.答案:7.(2014·江西高考文科·T15)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则x+y的取值范围为.【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解.【解析】由|a|+|b|a-b|知,|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|1,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以0x1且0y1,即0x+y2.答案:0,28（2013湖南高考理）已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_【解析】本小题主要考查应用柯西不等式求最小值由柯西不等式，得(a24b29c2)·(121212)(a&#

5、183;12b·13c·1)236，故a24b29c212，从而a24b29c2的最小值为12.【答案】129（2013陕西高考文）设a，bR，|ab|>2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2的解集是_【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的几何意义和绝对值不等式的性质，该题实质是给定条件最值的题目的变形呈现|xa|xb|ab|2，|xa|xb|2恒成立，则解集为R.【答案】(，)10（2013重庆高考理）若关于实数x的不等式|x5|x3|<a无解，则实数a的取值范围是_【解析】本题主要考查绝对值不等式问题，意在考查考生转化与化归的能力|x5|x3|(

6、x5)(x3)|8，故a8.【答案】(，811（2013陕西高考理）已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_【解析】本题考查使用基本不等式求最值的技巧和方法，意在考查考生的转化化归能力和运算能力(ambn)·(bman)ab(m2n2)mn(a2b2)2abmnmn·(a2b2)4ab2(a2b2)2(2aba2b2)2(ab)22(当且仅当mn时取等号)【答案】212（2013江西高考理）在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_【解析】本题考查绝对值不等式的解法，意在考查考生的转化与化归能力依题意得1|x2|11，即|x2|

7、2，解得0x4.【答案】0,413（2012江西高考理）在实数范围内，不等式|2x1|2x1|6的解集为_【解析】 原不等式可化为或或解得x，即原不等式的解集为x|x【答案】x|x14（2012陕西高考理）若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_【解析】|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4.【答案】2a415（2011江西高考理）对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_【解析】|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.【答案】516（2011湖南高考理）设x，yR，且xy0，则

8、(x2)(4y2)的最小值为_.【解析】(x2)(4y2)144x2y21429，当且仅当4x2y2时等号成立，即|xy|时等号成立【答案】917（2011陕西高考）若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是_【解析】由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以只需|a|3即可，所以a3或a3.【答案】(，33，)三.解答题18. (2014·福建高考理科·21)不等式选讲已知定义在上的函数的最小值为(1)求的值；(2)若是正实数，且满足，求证：【解析】(1)，当且仅当时，等号成立，的最小值为；3分(2)由(1)知，又是正实数，即.7分19. (20

9、14·新课标全国卷高考文科数学·T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数f(x) =+ (a>0)(1)证明:f2.(2)若f<5,求a的取值范围.【解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明.(2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范围.【解析】(1)由a0，有f（x）= +|x-a| = +a2.所以f(x)2.（2）f(3)= +|3-a|.当a3时，f(3)=a+,由f(3)5,得3a.当0a3时，f(3)=6-a+,由f(3)5，得a3.综上，a的取值范围是.20.(2014·新课标全国卷高考理科数学

10、83;T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数f(x) =+ (a>0)(1)证明:f2.(2)若f<5,求a的取值范围.【解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明.(2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范围.【解析】(1)由a0，有f（x）= +|x-a| = +a2.所以f(x)2.（2）f(3)= +|3-a|.当a3时，f(3)=a+,由f(3)5,得3a.当0a3时，f(3)=6-a+,由f(3)5，得a3.综上，a的取值范围是.21（2013江苏高考）已知ab>0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a

11、2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab>0，所以ab0，ab>0,2ab>0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.22（2013新课标全国高考文）设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明：本题主要考查不等式的证明与均值不等式的应用，意在考查考生的运算求解能力与推理论证能力(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b

12、2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.23（2013新课标全国高考文）已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解：本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析问题、解决问题的能力(1)当a2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x1|2x2|x3<0.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图像如图所示从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是x|0<x<2(2)当x时，f(x)

13、1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.24（2013辽宁高考文）已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解：本题主要考查分段函数、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x

14、)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.25（2013福建高考理）设不等式|x2|<a(aN*)的解集为A，且A，A.求a的值；求函数f(x)|xa|x2|的最小值解：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想因为A，且A，所以<a，且a，解得<a.又因为aN*，所以a1.因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时取到等号所以f(x)的最小值为3.26（2013辽宁高考理）已知函数f(x)|xa|，其中a>1.(1)当a2时，求

15、不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解：本题主要考查了绝对值不等式的解法以及逆向求参数问题，也考查了逆向思维能力的应用以及分类讨论思想(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2<x<4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.27（2013新课标全国高考

16、理）已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解：本题主要考查绝对值不等式的解法和含参数的不等式恒成立问题，意在考查考生运用分类讨论思想解决问题的能力(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示从图象可知，当且仅当x(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.28（2013新课标全

17、国高考理）设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1) abbcac；(2) 1.证明：本题考查不等式的基本知识以及运用基本不等式进行简单的不等式证明等知识，旨在考查考生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力以及转化与化归的能力(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.29（2012辽宁高考文）已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(

18、2)若|f(x)2f()|k恒成立，求k的取值范围解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a>0时，x，得a2.(2)法一：记h(x)f(x)2f()，则h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范围是k1.法二：|f(x)2f()|21，由|f(x)2f()|k恒成立，可知k1所以k的取值范围是k1.30（2012新课标高考文）已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解：(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2<

19、;x<3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0. 故满足条件的a的取值范围为3,031（2012辽宁高考理）已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1|(1)求a的值；(2)若|f(x)2f()|k恒成立，求k的取值范围解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a>0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f

20、()，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.32（2012江苏高考）已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.解：因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.33（2012福建高考理）已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解：(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()(···)29.34（2012新课标高考理）已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解：(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)