理想流体旋涡运动

1、什么是无旋流动和有旋流动什么是流线第四章 理想流体的旋涡运动流体的旋涡运动是自然界普遍存在的一种流动现象。例如 台风、龙卷风依然在破坏亚洲、澳洲和美洲的海岸，每年吞噬这成千上万人的生命。由于它的特殊性，人们对其认识在早期十分模糊，并且带上一种神秘的色彩。百慕大三角区的旋涡更使人神秘莫测，另外旋涡还伴随有飞机、舰船等的机械能损失。另一方面，旋涡有利于人类。现代生物力学证实主动脉窦内血液流动形成的蜗旋使主动脉瓣在射血结束时关闭，保证了人体血液循环的正常运行；利于三角翼形成的涡旋可增加机翼的升力；在水坝泄水口，为保证坝基不被急泄而下的水流冲坏，采用消能设备人为制造涡旋以消耗水流动能。涡旋运动的一些基

2、本概念和运动学特性 (a)图是圆筒中水随圆筒一起绕轴转动形成的涡流，此时水的运动如同刚体一样转动，流体质点速度和离轴距离成正比 (b)图是水中插一个旋转的直圆柱面形成的涡流注意，自由面呈现抛物曲面形状(c)图是面浆中插一个旋转直圆柱形成的涡流，有趣的是面浆会顺着圆柱向上“爬”(d) 图是流体以一定流速绕过圆柱时，圆柱后面将出现两列交替排列的涡，称为卡门涡街e) 图是柱状涡，旋风就是这一类涡流，通常直径10m，面高达 1000m(f) 图是碟状涡，海洋和大气层中很多为此类涡流和柱状涡相反，其直径达1000km，而高度约10km(g) 图是人体主动脉窦内血液在主动脉辩开启时所形成的涡流，正是这个涡

3、的作用使主动脉瓣在射血结束时关闭涡的这个作用早已由达 芬奇指出(h) 图是银河系的涡状结构，天文测旦证实了这样的结构此类结构的星系并不是唯一的，宇宙中成千成万地存在着无旋流动有旋流动在图(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动； 在图(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。 在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足0zyx0rotV 流

4、体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。 这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关， 4-1 涡量场以及旋涡的运动学特性 rotV速度的旋度称为流场的速度的旋度称为流场的涡量涡量 ),(tzyx是矢量流场，称为涡量场 1 涡线、涡管和涡束涡线、涡管和涡束 1843年年H.L.F赫姆霍茨赫姆霍茨1. 涡线涡线定义定义: 某一瞬时漩涡

5、场中的一条曲线，曲线上任意一点的某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为kjizyx取过该点涡线上的微元矢量为取过该点涡线上的微元矢量为kdzjdyidxld根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为0，即，即0ldzyxdzdydx这就是涡线的微分方程。这就是涡线的微分方程。 涡面 在涡量场中任取一条非涡线的曲线，过该曲线的每一点作同一时刻的涡线，这些涡线将构成一个

6、曲面称作涡面涡管定义涡管定义: 某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线c(不是涡线不是涡线)，通过曲，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。如果曲线如果曲线c构成的是微小截面，那么该涡管称为构成的是微小截面，那么该涡管称为微元涡管微元涡管。横断涡。横断涡管并与其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面，在微小断面上，管并与其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面，在微小断面上，各点的旋转角速度相同。各点的旋转角速度相同。n/ /n2 涡通量和速度环量涡通量和速度环量对有限面积，则通过这一面积的对有限面积，则通过这一面积

7、的涡通量涡通量定义为定义为AdAJlld速度环量速度环量定义定义: 某一瞬时在流场中取任意闭曲线某一瞬时在流场中取任意闭曲线 ，在线上取一微元线段在线上取一微元线段 ，速度，速度 在在 切线上切线上的分量沿闭曲线的分量沿闭曲线 的线积分，的线积分，即为沿该闭合曲线的速度环量。即为沿该闭合曲线的速度环量。开尔文开尔文1869年年VllldlVldVcoslld速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针绕行的方速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。速度环

8、量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。证：流体以等速度证：流体以等速度v0水平方向流动，先求沿图所示的矩形封闭曲水平方向流动，先求沿图所示的矩形封闭曲线的速度环量，线的速度环量，000004134231212341bvbv其次求沿图所示圆周线的速度环量其次求沿图所示圆周线的速度环量0)90cos(coscoscos2002002000drvdrvrdvdsvoKK同样可证，均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等于零。同样可证，均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等于零。例题例题1 证明均匀流的速度环量等于零。证明均匀流的速度环量等于零。实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的

9、趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。kwj vi uVkzj yi xlddddzwyvxulVddddllzwyvxulV)ddd(d由 Stokes 定理llV dJdAA涡通量J与速度环量 虽然都能用来表征旋涡的特性，但是在某些时况下，利用速度环量往往更为方便，这是因为速度环量是线积分，被积函数是速度本身；而涡通量则是面积分，被积函数是速度的偏导数再考虑例1 3涡管强度守恒定理AdAJ内容：在同一时刻、同一涡管的各个截面上，涡通量（涡管强度）都是相同的称为该瞬时涡管的强度若 A为某瞬时涡管的某一横截面，则涡通量1n2n3n2n1A2A3A321AAAA321321AAAAdAndA

10、ndAndAJ03 n2121AAAdAndAndAJ由 Gauss定理0ddivdAA02121AAdAndAn22nn2121AAdAndAn对于微元涡管对于微元涡管11A22A近似认为近似认为11/ /n22/ /n由涡管强度守恒定理由涡管强度守恒定理1122AA （1）对于同一微元涡管，截面越小的地方，涡量越大（2）涡管截面不可能收缩到零 (?) 。涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体壁面或自由面）。4-2 Kelvin速度环量定理 涡管强度守恒定理指出：同一时刻涡管不同截面的涡通量是相同的，然而Stokes定理又指出任一

11、封闭曲线上的速度环量等于以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。由此，我们知道，同一时刻绕涡管的任意封闭曲线的速度环量相等但是，不同时刻的情况如何呢?下面将讨论这个问题1 速度环量随时间的变化率速度环量随时间的变化率 首先引出首先引出流体线流体线(也称为时间线也称为时间线)的概念。（与迹线相关）的概念。（与迹线相关）流体线：指在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始流体线：指在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成终是由同样的流体质点所组成。 (体系体系)封闭流体线速度环量对时间的变化率等于此封闭流体线的加速度环量ddtldldtdVKelvin方程 )()(t

12、dtldltVtdVVldtlddV)()(dldtdVdldtdVdlVdtddVVdldtdV)2(2VddldtdV)(lldlVdtddlVdtddtdllVddldtdV)2(2ldldtdV t时刻时刻ttltdtldltVtdVV)(流体线微元流体线微元t 时刻流体线微元lt + 时刻流体线微元tdtldl)(tddtldldtdV2 Kelvin环量定理 正压性正压性的的理想理想流体在流体在有势的质量力有势的质量力作用下沿任何作用下沿任何封闭流体线的速度环量不随时间而变化，即封闭流体线的速度环量不随时间而变化，即0dtd体力有势体力有势gradF流体是正压的流体是正压的Pgra

13、dpgrad1pgradFVVtVdtdV1)(PgradgraddtdV()()0lllddVdlgradgradPdldPdtdt 对于密度函数仅与压力有关的理想流体，当体力有势时，沿任何封闭流体线的速度环量在流体运动的全部时间内将保持不变由 Kelvin方程1 涡线、涡管和涡束涡线、涡管和涡束2 涡通量和速度环量的关系涡通量和速度环量的关系3涡管强度守恒定理4 Kelvin定理 4-3 Lagrange定理 在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻流体内的在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻流体内的某一部分内没有旋涡，则在以前或以后的时间内，该部分流体内某一部分内没有

14、旋涡，则在以前或以后的时间内，该部分流体内也不会有旋涡。也不会有旋涡。证明：由条件知，在某一时刻（可认为是初始时刻），在被研究的那部分流体中，处处有 ，则由Stokes公式知 0LlV d0AndA由 Kelvin定理，沿上述任意封闭流体线的速度环量，在以前或以后的时间内将保持为零A是以封闭流体线L为边界的流体面再利用由Stokes公式，对于完全位于所讨论的那部分流体中的任何流体曲面A而言，在运动过程中，始终有LlV d0AAdAndA由于曲面A选取的任意性，故要使上式成立，则必须处处有 02 亥姆霍兹亥姆霍兹(Helmholtz ）方程）方程理想流体运动中涡量理想流体运动中涡量 必须满足的方

15、程必须满足的方程 。pgradFVVtV1)(pgradFVVgradtV1)2(2)1()()2()(2pgradrotrotFVrotVrotgradtVrottrotVttVrot)()(0)2(2VrotgraddivVVVVrot)()()()(1)1(2pgradgradpgradrot)(1)()(2pgradgradrotFdivVVVt公式11在有势的质量力作用下，正压理想流体在有势的质量力作用下，正压理想流体0rotF0pgradgrad0)()(divVVVt亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程它为动力学方程。优点是不出现压力、体力和密度，而只包含速度它为动力学方程。优点是不出现压力

16、、体力和密度，而只包含速度和涡量和涡量3 关于旋涡的形成和消失关于旋涡的形成和消失由Lagrange定理可知，当流体满足下述三个条件：(1)流体是理想的：(2)流场是正压的，(3)体力是有势的时，若流体在某时刻的运动有旋，则将永远有旋；若流体某时刻的运动无旋，则将永远无旋即流场中的旋涡既不会产生也不会消失因此，Lagrange定理是判断流场是否有旋的重要定理（1）无穷远均匀来流绕流物体的流场是无旋流场；（2）物体在静止流场中的运动所造成的流场也是无旋流场等等但要特别指出的是，如果上述三个条件中有一个条件得不到满足旋涡就既可以产生，也可以消失这说明等压面与等密度面处处重合在实际流体的流场中，开始

17、并不存在旋涡，只是流体绕过物体或在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡，只是流体绕过物体或流体流经特变的边界时才产生旋涡。这表明，旋涡既能在流体中流体流经特变的边界时才产生旋涡。这表明，旋涡既能在流体中产生也会在流体中消失。产生也会在流体中消失。粘性粘性是旋涡产生和消失的根本原因。是旋涡产生和消失的根本原因。 流线不能突然折转，因而在图的物体尾部，必然有一部分流体不能参与主流方向的运动，而被主流带动产生涡旋这样就消耗了主流的能量，或者增大了运动物体的阻力。如果将物体平直的尾部改成圆滑的“流线型”形状，则可以减小尾部的涡旋，改善运动物体的动力性能，所谓“流线型”就是适应流线不能突然折转而采取的减少

18、阻力的措施。在局部装置处经常出现涡旋区和速度的重新分布。 涡旋区中，流体不规则地旋转、碰撞、回流，往往给主流运动造成巨大的阻碍，消耗主流运动的能量，导致压强、水头、能量的降低，这种涡旋区的存在是局部阻力的普遍现象。1涡线保持定理涡线保持定理在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻构成涡面、在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻构成涡面、涡线或涡管的流体质点，在运动的全部时间内将仍然构成涡面、涡线或涡管的流体质点，在运动的全部时间内将仍然构成涡面、涡线或涡管涡线或涡管 （正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质

19、点组成的涡管。远保持为由相同流体质点组成的涡管。）4-4 涡线及涡管强度保持定理涡线及涡管强度保持定理 （亥姆霍兹旋涡定理）（亥姆霍兹旋涡定理）在初始时刻流体涡面 上，任取一个封闭流体线L为周界的流体曲面 A，依据涡面的定义和Stokes公式 *ALlV d0AndA考虑以后任意时刻 ,*A*1AL1LLdlVdtddtd0LLdlVdlV1LdlV010LdlV由 Stokes公式01AndA首先证明涡面的保持性：在初始时刻组成涡面的流体质点，在以后任一时刻也永远组成涡面因为周线 可取任意小，而且它可位于 面上的任意位置，因此在 面上任一点都应有 1L1A1A0n即 为涡面1A涡管永远保持为

20、由相同流体质点组成的涡管。涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。涡面永远保持为由相同流体质点组成的涡面。涡面永远保持为由相同流体质点组成的涡面。下面证明涡线保持定理下面证明涡线保持定理在初始时刻取一涡线 ，通过 作两个相交的涡面 与 LLaAbA以后任一时刻1taA1aAbA1bAL1L由涡面保持定理 都是涡面bA1bA所以 是涡线 1L流体质点冻结在涡线上随涡线一起运动。流体质点冻结在涡线上随涡线一起运动。2 涡管强度保持定理涡管强度保持定理 在有势的质量力作用下，正压理想流体中任何涡管的强度不随时在有势的质量力作用下，正压理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。间而变化，永

21、远保持定值。11LAndlVdAJ由Kelvin定理，沿上述封闭流体周线的速度环量在运动的全部时间内保持不变0dtd再由涡管表面保持性，涡管强度在运动中永远保持不变01dAdtddtdJAn涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理 ？ 例 在理想、不可压缩流体的定常流动中，若体力有势，试证明：（1） 对于平面流动，沿流线涡量保持不变（2） 对于 的轴对称流动， 沿流线保持不变0Vr证明：对于平面流动，存在kwz00在流动平面（xy）上，任取一小流管（宽度为一个单位的流层）在流管中做面积为 的微元涡管，根据涡管强度保持定理121A2Axy1A2211AA根据连续性方程 21AA因为流体不可压缩 21AA

22、 常量21所以 沿流线 沿流线涡量 总与z轴平行，且数值不变。所以涡量 沿流线保持不变（2）对于 的轴对称流动，存在 因此0V0eezVrVrotVrz)(r11A2Axr在流管中做面积为 的微元涡管，根据涡管强度保持定理1A2211AA对于不可压缩流体，根据质量守恒原理，组成上述环形涡管的流体质量应守恒 221122ArAr1221rrAA常量2221rrr2 4-5 旋涡的形成 形成旋涡的原因可能是以下三个中的一个：（1）流体是非理想的 （2）流体是非正压的 （3）体力是无势的 1 流体是非正压时旋涡的形成 仍考虑 流体是理想的，体力是有势的gradpgraddtdV1 由Kelvin 方

23、程LLLLLddpdlgraddlpgraddldtdVdtd11 由此得Ldpdtd1Ldpdtd1比容为了阐明上述方程右端项放入意义，下面引进等压等容管概念 p=常量称为等压面 =常量称为等容面对于正压情况， 等压面和等容面是重合的)(pp 对封闭流线L但对于非正压情况，等压面和等容面彼此相交的作一系列单位间距的等压面和等容面,将流体空间分为一系列管子,称为单位等压-等容管DACDBCABLpdpdpdpdpd1在AD、BC上，p恒定， dp=0在AB、DC上， 恒定1) 1() 1(00101000001ppppLdpdppd11Lpd负单位管积分环行方向为负；正单位管；积分环行方向为正

24、111Lpd1NpdL当周线L包含N1个正的单位等压-等容管当周线L包含N2个负的单位等压-等容管2NpdL010p10ABCD0ppgradgrad对于ABCD的周线 1Lgradp到grad 为正方向1L2L个负的只包围个正的只包围2211NLNLL2121NNpdpdpdLLL21NNdtdBjerknes定理(伯耶克内斯) 如果流体是理想的，且体力是有势的，则沿着任何封闭流体线L的速度环量对时间的导数将等于穿过此周线L的正的与负的单位等压-等容管数目之差llV dJdAA对于处在有势体力作用下的理想、非正压流体，通过任何流体面A的涡通量对时间的导数将等于穿过该流体面力的正的与负的单位等

25、压等容管数目之差 由于速度环量刻划了漩涡的性质，所以，等压面与等容面的相交便是旋涡形成的原因之一他们发现，每年的11月到第二年的3月，风总是从东北方的大陆上吹来，拂动着海水向西南流去。这时的海上总是晴空万里，积云和雨水都很少。4月至11月则恰恰相反，出现西南风，驱赶着云涛和海流不断驰向东北方，海上的雷雨也比较多。 横渡印度洋的办法找到了！说起来道理很简单，只消掌握住风向和海流的变化规律，就能定期扬帆到远方去贸易，并能按时顺风返回故乡。夏、秋两季，可以利用西南风直航印度；冬、春季两行，再顺着东北风返回阿拉伯半岛和非洲。 依靠季风的帮助，他们十分顺利地建立起了和非洲、印度的联系。接着，印度和波斯的

26、船只也出现在这条航线上。由于这种按季节而变化的定向风帮了商船队的大忙，所以人们就把它称作贸易风贸易风 信风信风。贸易风贸易风假定地球是圆球，在高度相同的地方压力相同，即等压面是以地心为中心的球面；由于太阳对地球表面照射强度不同，同一高度，赤道要比北极温度高。因此，沿球面从北极向赤道温度逐步升高，根据气体状态方程RTp可以看到，比容 由北极向赤道逐步增大；此外，在同一地点，高度越高，空气越稀薄，比容也越大。所以等容面不是球面，而是自赤道到北极向上倾斜。这样，沿 到 有正的单位等压等容管，即 。从而是空气沿地面从北纬流向南纬，在赤道上升，然后再从上层流回北纬，在北纬处再下降到地面。这种环流就是贸易

27、风pgradgrad0 dtd3 体力无势的时漩涡的产生假设理想流体，但不正压。以地球表面上大气运动为例说明体力无势时漩涡的产生考虑地球自转，在运动坐标系中流体的相对运动方程为)(21rervapgradFdtdv)2(22RgradaeR为所研究的流体质点到地球自转轴的距离地球引力有势gradF)(21)2(22rrvpgradRgraddtdvLrLLrdlvdlpgraddldtdvdtd)(21第一项反映对速度环量变化的影响，将产生贸易风由于贸易风，在圆周L上每一点将有自北纬到南纬运动的速度，L逆时针为正RLrvdl0)()(dlvdlvrr所以Coriolis力无势将使即随着时间的增

28、长， 将减小0dtd这样，就产生按顺时针方向由东向西的 风。因此，贸易风将不是严格地自北向南吹，而是自东北向西南吹 LrLLrdlvdlpgraddldtdvdtd)(214.6 由涡量场和散度场决定速度场 流动区域出现漩涡时，流动状态将发生变化。所以确定漩涡引起的速度场常常是重要的。5.3 由涡量场决定速度场 设在流场中，同时存在涡旋场和散度场 （1） VrotqVdiv,其中 分别为已知的速度散度和涡量函数，现要求这散度和涡量场所决定的速度场V),(tzyxqq ),(tzyx1 基本方程的归结 由流体与物面即不分离又不渗透的条件可知，物面上流体的法向速度 应等于物体本身的法向速度 ，即w

29、nV)(wwnV wnV)(wwnV 将速度V分解为三部分 （3）aveVVVV （2）将（3）式带入基本方程（1）和边界条件（2）qVVVdivave)()(aveVVVrotwwwavenVnVVV)(0eeVrotqVdiv它们可分解为vvVrotVdiv0wwvwewwaaanVVVnVVrotVdiv)()()(000eeVrotqVdiv必存在速度势eeegradVqe2以上三组方程和边界条件与原基本方程及边界条件的提法是完全等价的对 而言，相当 于求满足Poisson任一特解e第一组方程vvVrotVdiv0必存在矢量势vBvvBrotV)(vBrotrotvvBdivBgrad

30、2)(若假定 稍后说明含义0vBdivvB2对 而言，也相当 于求满足Poisson任一特解vB0eeVrotqVdiv它们可分解为vvVrotVdiv0wwvwewwaaanVVVnVVrotVdiv)()()(0015式第二组方程wwvwewwaaanVVVnVVrotVdiv)()()(00这是一组无散度和无旋的流动。由无旋条件 必存在速度势aaagradV代入无散度条件02a所对应的边界条件wwvwewwawanVVVnVn)()()(式中的 与 由第一组和第二组方程的特解给出weV )(wvV )(因此，求已知散度场和旋度场引起的流动，可以归结为求解两个与散度和旋度有关的Poisso

31、n方程的特解，以及一个Laplace方程及其边界条件的解下面仅讨论给定旋度场的不可压缩流动（第二组方程）Laplace方程第三组方程0vBdivvB2给定旋度场的不可压缩流动相当于给定旋度场的无散度流动vB2是矢量型泊松方程，有解drtBv),(41),(t为涡量场dd d d 222)()()(zyxr为积分元到所感应点的距离 现在假设点源所在的点M的坐标为( )，其强度为，要求它在M点以外任一点P(x,y,z)处所定的边度场,d),(第二组方程对应的诱导速度场为drtrotrotBVvv),(41drtrotdrtrotrotBVvv),(41),(4132)1()(rrrrgradrgradrrotdrrVv341（4-56）0vBdiv的力学含义041dArnBdivAv对于任意一点，要求在边界 A上，处处满足0