函数y=Asin(wx＋φ)的图像与性质的教学设计

1、函数y=Asin(x)的图像与性质的教学设计年级：高一 学科：数学 教师：许晓利 单位：泗县二中教材分析： 函数y=Asin(x)（xR，A0，0）在物理与工程领域有着广泛的应用，教材不仅介绍了该函数图像的画法，更重要的是通过例题给出了一个理解与讨论图像变换的程序，让学生能从中初步学会从不同的角度（解析式、表、图）理解并参数讨论A、对图像的影响及其图像变换的数学实质。 本节通过例1、例2与例3分别讨论了函数y=Asinx 、y=sinx 、y=sin(x) 与y=sinx的关系，归纳分析出参数A、对图像变换的影响，每个例题中都是按照同一个程序展开讨论，在这里列表不是为了画图像，而是为了给学生提

2、供一个观察问题的角度，希望学生能从自变量与函数值的对应表格中观察函数值的变化规律，观察出所给函数与函数y=sinx的区别与联系，接着再利用五点作图法画出函数的图像，从几何直观中感受这种函数之间的区别与联系，列表和五点法画图像从两个不同的角度让学生去发现或验证所给函数与函数y=sinx的关系，即感受参数对图像的影响，在此基础上再利用函数的解析式进一步讨论所给函数的周期以及函数的其他性质，经过这种多角度的观察和讨论，最后抽象出从函数y=sinx的图像到y=Asinx的图像，或从y=sinx到y=sin(x) 或从y=sinx到y=sinx所需作的图像变换。学情分析 ： 通过对正弦函数与余弦函数图像

3、与性质的学习，学生对函数图像之间的关系有了初步的认识和了解，但本班学生数学水平总体较弱，对新知理解与掌握能力较弱，教学中应尽量用学生熟悉的知识引入，由于本节主要研究的是三角函数的图像变换问题，因此应注意多让学生亲自画图操作，同时还应注意控制例题与练习的难度以利于其对图像变换规律的理解与掌握。教学策略： 1.教学中，在条件许可时可以利用几何画板等数学软件从整体研究参数A、对函数y=Asin(x)图像变化的影响，通过取A、的多组值作出函数y=Asin(x)图像，对比参数变换前后图像的变化体会A、对函数y=Asin(x)图像变化的影响。 2.在分别讨论A、对函数y=Asin(x)图像变化的影响时，一

4、般采取从具体到一般的思路，即对参数赋值，观察具体函数图像的特点，获得对变化规律的具体认识，然后让参数“动起来”，看看是否还保持了这个规律，教学中应尽量使用计算机技术来帮助学生更好地观察规律。 3.教学中可以对讨论方法先作一个概括性的描述，特别应当指出一个问题中涉及几个参数时，一般先采取 “各个击破”然后再 “归纳整合”的方法。 4.从y=sinx的图像出发经过变换得到y=Asin(x)的图像，其变换途径不唯一，教学中可以提出寻找不同途径的问题，让学生自己去独立研究。教学目标：知识与技能 1.结合实例了解函数y=Asin(x)的实际意义。 2.结合多媒体展示观察参数A、对函数变化的影响。 3.能

5、利用五点作图法画出正弦型函数的图像。过程与方法 1.通过实例描述振幅、周期、初相、相位，明确参数A、的物理意义。 2.理解振幅变换、周期变换与相位变换的规律，会对函数y=Asin(x+)进行振幅变换、周期变换与相位变换。 3.培养学生发现问题、研究问题的能力及探究、创新的能力。情感、态度与价值观 1.通过本节的学习渗透数形结合的思想，树立运动变化的观点，学会运用运动变化的观点认识事物。 2.通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣，创设问题情境激发学生分析、探究的学习态度。教学形式：多媒体、新授教学过程：一、复习引入在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如yAsin(x+ )的函数(其中A，是

6、常数)，例如：在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如yAsin(x+)的函数.这个函数有什么性质？它与y=sinx有什么关系？引导学生思考然后指出显然函数ysinx 是函数yAsin(x+ )的特殊情况，其中A=1，=1，=0。指出本节课我们将利用函数ysinx的图像和性质来研究函数yAsin(x+ )的图像和性质分析在函数yAsin(x+ )中参数A，对函数及其图像的影响。回顾画函数ysinx图像的五点作图法，明确五点作图法的实质是令x+ 0，2， 32，2。二、明确学习目标1.熟练掌握五点作图法的实质.(重点)2.理解表达式yAsin(x+ )，掌握A，x+ 的含义.(重点) 3.会对函

7、数ysinx进行振幅变换、周期变换和相位变换.(重点) 4.会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法作函数yAsin(x+ )的图像.(难点)三、新知探究探究点1 振幅A对三角函数图像的影响例1 作函数y=2sinx和y=12sinx的简图，并说明它们与函数y=sinx的关系.引导学生结合五点法分析画图解：（1）列表x02322y=sinx010-10y=2sinx020-20y=12sinx0120-120(2)画图从函数图像和解析式可以看到，对于同一个x值，y=2sinx的函数值是y=sinx的函数值的2倍，反映在图像上，是y=sinx图像上每个点的横坐标不变，而纵坐标伸长为原来的2倍，就

8、得到y=2sinx的图像.类似地，对于同一个x值，y=12sinx的函数值是y=sinx的函数值的12，反映在图像上，是y=sinx图像上每个点的横坐标不变，而纵坐标缩短为原来的12，就得到y=12sinx的图像.（3）确定周期令f1(x)=sinx，f2(x)=2sinx，f3(x)= 12sinx，从f1(x)到f2(x) 、f3(x) ，函数的周期是否发生了变化？根据诱导公式和周期函数的定义，不难看出这三个函数的周期没有变化，都是2。利用周期性把0, 2上的简图向左、右延拓就可以得到函数y=2sinx、y=12sinx在R上的图像。（4）讨论性质从图像上可以看出，在区间0, 2上函数y=

9、2sinx在0, 2 和32, 2上是增加的，在2, 32上是减少的；函数y=2sinx与x轴交点的横坐标是0， ，2；函数y=2sinx的值域是-2，2 ，最大值是2，最小值是-2。类似地，在区间0, 2上函数y=12sinx在0, 2 和32, 2上是增加的，在2, 32上是减少的；函数y=12sinx与x轴交点的横坐标是0， ，2；函数y=12sinx的值域是-12，12 ，最大值是12，最小值是-12。提升总结：参数A对函数y=Asin(wx+j)的影响 函数y=Asinx (A>0且A1)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标变化为原来的A倍(横坐标不变) 而得到

10、的.由上例可以看出：在函数yAsinx（A0）中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.变式练习：描述下列曲线,可以由正弦曲线如何变换得到（1）y=32sinx；（2）y=13sinx。解：（1）函数y=32sinx的图像可以看作是将y=sinx的图像上所有点的纵坐标变化为原来的32倍(横坐标不变) 而得到的.（2）函数y=13sinx的图像可以看作是将y=sinx的图像上所有点的纵坐标变化为原来的13倍(横坐标不变) 而得到的探究点2 参数j对函数y=Asin(wx+j)的影响例1 画出函数y=sin（x+4）和y=sin（x-6）的简图，并说明它们与函数y=sinx的

11、关系。引导学生采用类比的方法结合五点法分析画图。解：(1)列表（2）画图从函数图像和解析式可以看出，把函数 y=sinx的图像向左平移4个单位长度就可以得到函数y=sin（x+4）的图像；把函数 y=sinx的图像向右平移个单位长度就可以得到函数y=sin（x+）的图像。（3）确定周期令f1(x)=sin（x+4），f2(x)=sin（x-），从y=sinx到f1(x) 、f2(x) ，函数的周期是否发生了变化？根据诱导公式和周期函数的定义，不难看出这三个函数的周期没有变化，都是2。利用周期性把0, 2上的简图向左、右延拓就可以得到函数y=sin（x+4）、y=sin（x-）在R上的图像。（4

12、）讨论性质 从图像上可以看出，在区间, 上，函数 y=sin（x+4）在, 和, 上是增加的，在,上是减少的；函数y=sin（x+4）与x轴交点的横坐标是，；函数y=sin（x+4）的值域是-1，1 ，最大值是1，最小值是-1。类似地，在区间6,136上，函数y=sin（x-）在, 和,136上是增加的，在,上是减少的；函数y=sin（x-）与x轴交点的横坐标是6，6，136；函数函数y=sin（x-）的值域是-1，1 ，最大值是1，最小值是-1。提升总结：参数 j对函数y=Asin(wx+j)的影响 函数y=sin(x+j)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有的点向左(当j>0时

13、)或向右(当j<0时)平移|j|个单位长度而得到的。在函数y=sin(x+)中，决定了x=0时的函数值，通常称为初相，x+为相位。变式练习：描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到（1）y=sin（x+）；（2）y=sin（x-3）。解：（1）函数y=sin（x+）的图像可以看作是将函数y=sinx的图像上所有点向左平移个单位而得到的。（2）函数y=sin（x-3）的图像可以看作是将函数y=sinx的图像上所有点向右平移3个单位而得到的。探究点3 参数w对函数y=Asin(wx+j)的影响例3 画出函数y=sin2x及y=sin12x的简图，并说明它们与函数y=sinx的图像的关系。引导学

14、生采用类比的方法结合五点作图法完成。解：（1）对于函数y=sin2x：列表：x042342x02322y=sin2x010-10描点作图：（2）对于函数y=sin12x：列表：x023412x02322y=sin12x010-10描点作图：（3）确定周期令f1(x)=sin2x，f2(x)= sin12x根据诱导公式和周期函数的定义，不难看出f1(x+)=sin2（x+）= sin（2x+2）= sin2x=f1(x)；f2(x+4)=sin12（x+4）= sin（12x+2）= sin12x=f2(x)所以，是函数y=sin2x的周期，实际上，是函数y=sin2x的最小正周期。由函数y=s

15、in2x的简图向左、右延拓就可以得到函数y=sin2x在R上的图像。4是函数y=sin12x的周期，实际上，4是函数y=sin12x的最小正周期。由函数y=sin12x的简图向左、右延拓就可以得到函数y=sin12x在R上的图像。（4）讨论性质 从图像上可看出，从图像上可以看出，在区间0, 上，函数 y=sin2x在0, 和3, 上是增加的，在,3上是减少的；函数y=sin2x与x轴交点的横坐标是0，2，；函数y=sin2x的值域是-1，1 ，最大值是1，最小值是-1。类似地，在区间0,4上，函数y=sin12x在0, 和3,4上是增加的，在,3上是减少的；函数y=sin12x与x轴交点的横坐

16、标是0，2，4；函数函数y=sin12x的值域是-1，1 ，最大值是1，最小值是-1。提升总结：参数 w 对函数y=Asin(wx+j)的影响 函数y=sinwx (w >0且w1)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标变化为原来的 1w倍(纵坐标不变)而得到的。通常称周期的倒数f= 1T = w2为频率。变式练习：描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到（1）y=sin4x；(2)y=sin13x。解：（1）函数y=sin4x的图像可以看作是将函数y=sinx的图像上所有点的横坐标变化为原来的 14倍(纵坐标不变)而得到的。（2）函数y=sin13x的图像可以看作是将函数y

17、=sinx的图像上所有点的横坐标变化为原来的3倍(纵坐标不变)而得到的。四、课堂小结引导学生结合本节学习的内容对本节课作总结本节重点研究了参数A(A>0),(>0),对函数y=Asin(x+)图像的影响(1)将函数y=sinx的图像上所有点向左(>0)或向右(<0) 平移 个单位长度得到y=sin(x+)的图像。(2)将函数y=sin(x+)的图像上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的1w倍(纵坐标不变)得到函数y=sin(x+)的图像。(3)将函数y=sin(x+)的图像上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时)或缩短(当0&

18、lt;A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到函数y=Asin(x+)的图像。五、课堂训练1.若将某函数的图像向右平移2以后所得到的函像的函数式是y=sin(x+)，则原来的函数表达式为（） A. y=sin(x+3) B. y=sin(x+2) C. y=sin(x-) D. y=sin(x+)- 2.函数y=3sin(2x+3)的图像可由y=sinx的图像经过下述哪种变换而得到（ ）A.向右平移3个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍；B. 向左平移3个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍；C. 向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的13；D. 向平移个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标缩小到原来的13。3.已知函数y=Asin(wx+j)，在同一周期内，当x=9时函数取得最大值2，当x=49时函数取得最小值-2，则该函数的解析式为（ ） A. y=2sin(3x-6) B. y=2sin(3x+6) C. y=2sin(x3+6) D. y=2sin(x3-6)4.要得到函数y=cos(2x+1)的图像，只要将函数y=cos2x的图