随机变量的数字特征1教学文案

1、随机变量的数字特征1随机变量的数学期望随机变量的数学期望例例1 1 某工厂生产一批产品，一等品占某工厂生产一批产品，一等品占50%50%，二等，二等品占品占40%40%，次品占，次品占10%10%。如果生产一件次品，工。如果生产一件次品，工厂要损失厂要损失 1 1元钱，生产一件一等品，工厂获得元钱，生产一件一等品，工厂获得2 2元元钱的利润，生产一件二等品，工厂获得钱的利润，生产一件二等品，工厂获得 1 1 元钱的元钱的利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件产品获得的期望利润是多少？产品获得的期望利润是多少？设设X X表示每件产品获得的利润，则它是

2、随机变量，表示每件产品获得的利润，则它是随机变量，其概率分布为其概率分布为2110.50.40.1kXp 解：解：解：解：假设工厂一共生产了假设工厂一共生产了N N件产品，其中一等品件产品，其中一等品 n n1 1件，件，二等品二等品 n n2 2件，次品件，次品 n n3 3件件这这N N 件产品获得的平均利润为件产品获得的平均利润为12321( 1)nnnN 或者写为31221( 1)nnnNNN 312nnnNNNN、 、 分分别别为为件件产产品品中中一一等等品品、二二等等品品、次次品品出出现现的的频频率率而在大量重复试验下当而在大量重复试验下当N N无限增大时，频率的稳无限增大时，频率

3、的稳定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋近于近于12321( 1)ppp 2 0.51 0.4( 1) 0.11.3 或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每件产品获得件产品获得1.31.3元的利润。元的利润。数值数值1.31.3称为随机变量称为随机变量X X的的数学期望数学期望或或均值均值。 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率分布为：的概率分布为：X, 1,2,iiP Xxpi若若 绝对收敛，则

4、称绝对收敛，则称 为随机变量为随机变量 的数学期望或均的数学期望或均值，记为值，记为 ，即，即1iiix pXEX1.iiiEXx p1iiix p 注：注：u 度量了随机变量度量了随机变量 取值的加权平均！取值的加权平均！ u 为权重！为权重！EXX(1,2,)ip i 随机变量的数学期望随机变量的数学期望例例 甲乙二人射击，X：甲击中的环数；Y：乙击中的环数。他们命中环数的分布律分别为89100.10.30.6kXp89100.20.50.3kYp试问哪一个人的射击水平较高? ? 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率分布

5、为：的概率分布为：X, 1,2,iiP Xxpi若若 ，则称，则称 为随机变量为随机变量 的数学期望或均值。的数学期望或均值。1iiix p 1iiix pX离离 散散连连 续续概率概率ip密度函数密度函数( )f x定义定义 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为 , 若若 绝对收绝对收敛，则敛，则X( )f x称称 为随机变量为随机变量 的数学期望或均值，记为的数学期望或均值，记为 X+-( )xf x dx+-( ).EXxf x dx+-( )xf x dx,01( )2,12 .0,otherwisexxf xxx例例3.3 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为X求

6、求 的数学期望的数学期望 。XEX解解 由连续型随机变量数学期望的定义，有由连续型随机变量数学期望的定义，有( )EXxf x dx0120120+(2)0 xdxx xdxxx dxxdx122201+(2)1.x dxxxdx 三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望定理定理 设设 为随机变量，为随机变量， 为实函数，为实函数，X( )yg x为求为求 的数学期望，可以不必通过求的数学期望，可以不必通过求 的概率分布（离散）或密度的概率分布（离散）或密度函数（连续），而只需直接利用函数（连续），而只需直接利用 的概率分布或密度函数。的概率分布或密度函数。()Yg XYX,1,2

7、,iiP Xxp i若若 绝对收敛，则绝对收敛，则 存在，且存在，且()E g X（1）设）设 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为X1() =( ).iiiE g Xg x p1)(iiipxgX( )f x+-()( ) ( ).E g Xg x f x dx（2）设）设 为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为 ，若，若 则则 存在，且存在，且()E g Xdxxfxg)()(绝对收敛，绝对收敛，解解 =0 0.1+1 0.6+2 0.3=1.2EX，2222=(0 1.2)0.1+(1 1.2)0.6+(2 1.2)0.3=0.36.E XEX22=

8、( )EXx f x dx解解 01222220120+(2)0 xdxxxdxxx dxxdx,01( )2, 12 .0,otherwisexxf xxx 例例3.4 设随机变量设随机变量 的概率分布为的概率分布为X0120.10.60.3P求求2.E XEXX例例3.5 对例对例3.3中的随机变量中的随机变量 ，求，求X2.EX12323017+(2)=.6x dxxx dx 四、数学期望的性质四、数学期望的性质（1）若）若 ，则，则 ，特别地，特别地bXabEXa.CEC .aaEXXE（3）（2）.aEXaXE.baEXbaXE（4）随机变量的方差随机变量的方差p 有可能产品的寿命均

9、集中在有可能产品的寿命均集中在9501050小时！小时！p 有可能一半产品的寿命集中在有可能一半产品的寿命集中在700小时，另一半产品的寿命集小时，另一半产品的寿命集 中在中在1300小时！小时！ 对随机变量对随机变量 ，知道了它的数学期望，知道了它的数学期望 ，虽然对该随机变，虽然对该随机变量有了一定的了解，但还不够！量有了一定的了解，但还不够！XEX 例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿命为命为1000小时，即小时，即 ，但不能完全肯定质量的好坏！，但不能完全肯定质量的好坏！1000EX质量稳定！质量稳定！质量相对不稳定！

10、质量相对不稳定！ 有必要找一个量，能够度量随机变量有必要找一个量，能够度量随机变量 相对于相对于 的偏离程度。的偏离程度。XEX 什么量，能够度量随机变量什么量，能够度量随机变量 相对于相对于 的偏离程度？的偏离程度？XEX?EXX 不能！不能！EXX 是随机变量是随机变量?)(EXXE不能！不能！. 0)(EXEXEXXE（正负偏差相互抵消）（正负偏差相互抵消）?EXXE不便于计算！不便于计算！2EXXE定义定义 设随机变量设随机变量 的数学期望为的数学期望为 ，则称，则称 为随为随机变量机变量 的方差，记为的方差，记为 ，或，或 ，并称，并称 为为 的标准差。的标准差。 XEX2EXXE)

11、(XD)(XVarXX)(XD 方差的计算：方差的计算：2)(EXXXg 考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望： ，因此，因此X 若若 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为 ，则，则 , 2 , 1 ,ixXPpii.)(122iiipEXxEXXEXDX 若若 为连续型随机变量，概率密度函数为为连续型随机变量，概率密度函数为 ，则，则 )(xf.)()(22dxxfEXxEXXEXD 在很多场合，计算方差经常用到如下公式：在很多场合，计算方差经常用到如下公式：.)(22EXXEXD2222)(EXXEXXEEXXEXD222E

12、XEXEXEXE.222222EXXEEXEXXE 方差的性质：方差的性质：; 0)(CD （1） （2） );(XDCXD （3） ;2XDCCXDdxxfxXE)(22,01( )2,12 .0,otherwisexxf xxx例例3.6 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为X解解 由例由例3.3的结果，的结果，求求 的方差的方差X).(XD. 1)(XE.670)2(02221210202dxxdxxxxdxxdxx.61)( 22EXXEXD例例3.7 对任意随机变量对任意随机变量 ，设，设 ，令，令 ，X0)(XD)(XDEXXY求求).(),(YDYE 解解 1( )0.

13、()()XEXE YEE XEXD XD X11( )1.()()()XEXD YDD XEXD XD XD XD X 称称 为为 的标准化的标准化 ，它是一个无量纲的随机变量，将原，它是一个无量纲的随机变量，将原分布中心分布中心 移至原点，且方差为移至原点，且方差为1个单位。个单位。XY()E X 证证 例例3.8 对随机变量对随机变量 ，设，设 存在存在 ，令，令 ，证明，证明X()D X2( )l CE XC当当 时，时， 达到最小值，且最小值为达到最小值，且最小值为()CE X( )l C.D X 22( )l CE XCEXEXEXC 222EXEXXEXEXCEXC222EXEXE

14、XEXEXCEEXC2()D XEXC因此当因此当 时，时， 达到最小值，且最小值为达到最小值，且最小值为()CE X( )l C.D X常用分布的数学期望和方差常用分布的数学期望和方差 一、常用离散型分布的数学期望和方差一、常用离散型分布的数学期望和方差 退化分布：退化分布：离散型随机变量离散型随机变量 只取常数只取常数 ，即，即 ，X1P Xcc22()1, ()=0.E XccD XE XEXE cc 2. 0-1分布：分布：离散型随机变量离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为X1, 01,P Xp P Xpq 因此因此因此因此()10,E Xpqp 222()10,E Xpqp222

15、()().D XE XEXpppq3. 个点上的均匀分布：个点上的均匀分布：n4. 二项分布：二项分布：, 0,1, ,kkn knP XkC p qkn1, 1,2, .iP Xxinn离散型随机变量离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为 XX，即离散型随机变量，即离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为1211111(),nniiE Xxxxxnnnn因此因此222221211111(),nniiE Xxxxxnnnn22222221111111()()=.nnnniiiiiiiiD XE XEXxxnxxnnn ( , )Xb n p, 0,1, ,kkn knP XkC p qkn.

16、) 1(2222npqnpnppnnEXXEDXknknkknknkknqpknknkqpCkEX00)!( !则则1!(1)!()!nkn kinp qknk1(1) (1)1(1)!(1)! (1)(1) !nknkinnppqknk1.nnp pqnp2201!(1)!()!nnkkn kkn kniinE XkC p qkp qknk11!(1)(1)!()!(1)!()!nnkn kkn kiinnkp qp qknkknk22(2) (2)2(1)(2)!(2)! (2)(2) !nknkin npnpqnpknk2(1).n npnp5. 几何分布：几何分布：1=1, 1,2,k

17、P X kppk随机变量随机变量 的概率分布为的概率分布为X112111111.kkkkE Xkpppkpppp1211, 1(1)kkkxxx1122232112211,kkkkppE Xkpppkpppp21311+, 1(1)kkxk xxx2222221().pqD XE XEXppp6. 超几何分布：超几何分布：, 0,1,min,.kn kMN MnNC CP Xkkn MC随机变量随机变量 的概率分布为的概率分布为X, 0,1,min,.kn kMN MnNC CP Xkkn MC2222()+.D XE XEX2()(), ().(1)MnM NMNnE XnD XNNN（证明

18、略）（证明略）7. 泊松分布：泊松分布：随机变量随机变量 的概率分布为的概率分布为, 0,1,!kP XkekkX101,!(1)!kkkkE Xkeee ekk22011 1!(1)!kkkkE Xkekekk 21(2)!(1)!kkkkeekk21221(2)!(1)!kkkkeekk2 ， 二、常用连续型分布的数学期望和方差二、常用连续型分布的数学期望和方差 均匀分布：均匀分布： ,otherwise0,1bxaabxf密度函数为密度函数为ba ,连续型随机变量连续型随机变量 服从区间服从区间 上的均匀分布，上的均匀分布，X01()( )00babE Xxf x dxdxxdxdxba

19、则则211=.22bbaaxabxdxbaba而而2202221()( )00=,3babaabbE Xx f x dxdxxdxdxba从而从而222222()()().3212aabbabbaD XE XEX2. 指数分布：指数分布：连续型随机变量连续型随机变量 服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布，X ,0, 00, xxexfx密度函数为密度函数为00()( )0 xE Xxf x dxdxxedx则则000011=-0,xxxxxd exeedxe 而而2222000()( )=-2xxxE Xx f x dxxedxx exedx从而从而22222211()().D XE

20、XEX22,3. 正态分布：正态分布： 则数学期望为则数学期望为随机变量随机变量 ， 其密度函数为其密度函数为2,X N 22()21 , ,2xf xex 22()21()( )2xE Xxf x dxxedx221=2yyedy （令（令 ） =xy2222=22yyyedyedy=02 = .2 方差为方差为 22()21 , ,2xf xex 2()( )D XxEXf x dx2222222=22yyyy edyd e （令（令 ） =xy2222221=-22yyyeedy22()2212xxedx2. 常用离散型分布的数学期望和方差常用离散型分布的数学期望和方差 分布名称分布名称

21、 概率分布概率分布 数学期望数学期望 方差方差 退化分布退化分布1 cXPc 0-1分布分布qXPpXP0 ,1ppq 个点的个点的均匀分布均匀分布n., 1 ,1ninxXPi0niixn11211221niiniixxnn 二项分布二项分布., 2 , 1 ,1kpqkXPknpnpq 几何分布几何分布., 0 ,niqpCkXPknkknp12pq 超几何分布超几何分布nNknMNkMCCCkXPNMn) 1()(2NNnNMNnM 泊松分布泊松分布, 1 , 0,!kekkXPk 常用连续型分布的数学期望和方差常用连续型分布的数学期望和方差 分布名称分布名称 密度函数密度函数 数学期望

22、数学期望 方差方差 均匀分布均匀分布otherwisebxaabxf01)(2ba122ab 指数分布指数分布2 正态分布正态分布000)(xxexfx12122221)(xexf随机变量的矩和切比雪夫不等式随机变量的矩和切比雪夫不等式 一、矩一、矩 矩是数学期望和方差的推广，在数理统计中有重要应用。矩是数学期望和方差的推广，在数理统计中有重要应用。定义：定义：对随机变量对随机变量 ，设，设 为正整数，如果为正整数，如果 存在存在kX()kkE X11, k 即为数学期望即为数学期望 。()E X22, k 即为方差即为方差 。1(), 0D X定义：定义：对随机变量对随机变量 ，设，设 为正整数，如果为正整数，如果 存在，存在，kX()kE X 则称则称 为为 的的 阶阶中心矩中心矩。XkkkE XEX()kE X （即（即 ），则称），则称 为为 的的 阶阶原点矩原点矩。XkkXE| 矩的计算：矩的计算： 则则,1,2,iiP Xxp i（1）若）若 为离散型随机变量，概率分布