次数分配表与累积次数分配曲线

1、§分析一維數據主題 1：次數分配表與累積次數分配表1.資料的分類：(1)連續型的資料：如測量身高、體重、價格、重量、長度等資料，它是可以計量的，這種資料稱為連續型資料，常以直方圖，次數分配曲線圖或累積次數分配曲線圖表之。(2)離散型的資料：如性別、宗教信仰、教育程度等資料是分類資料，它們是以類別區分，我們僅登錄每個個體所屬類別，以便統計各類別的次數 (整數 )，這種資料稱為離散型資料 (類別資料 )。常以長條圖或圓形圖表之。2.次數分配表的編制與步驟：(1)求全距：全部資料中，最大和最小之二數的差。(2)定組數：通常分成5 25 組，視實際情況而定。(3)定組距：一般採用相等的組距分

2、組，組距全距 組數 。(4)定組限：一般採用各組上限與相鄰較大一組下限相連結，且規定不含上限，以符合連續性與資料不重疊。(5)歸類劃記：以正字或表之，以便統計。(6)計算次數：最後要核對總數是否相符。(7)作次數分配表：(8)作統計圖，更能突出次數分配表的特徵。3.統計圖：(1)長條圖：用分離的長條，以長條的長短來表示分類資料中，各類次數的分佈情形，這種圖形稱為長條圖。(2)圓形圖：以圓區域內的扇形區域大小，來表示某些數值資料所佔的比例的圖形，稱為圓形圖。93)直方圖：以連接的長方形面積來表示數值資料中，各組數值的次數分佈情形，這種圖形稱為直方圖。(4)次數分配曲線圖：是由直方圖每個長方形頂端

3、中點，用線段連接起來，且兩端延伸到橫軸上，就可得一折線圖，這種圖形稱為次數分配曲線。(5)相對次數分配曲線圖：在次數分配曲線圖中的縱坐標的次數，改為相對次數。各組次數100(即%)總數(6)累積次數分配曲線圖：作累積次數分配表(a)以下累積次數曲線圖以各組的上限為橫坐標與各該組對應之以下累積次數為縱坐標，定出各點之位置連接各點，即得之。(b)以上累積次數曲線圖以各組的下限為橫坐標，再與各該組對應之以上累積次數為縱坐標，定出各點之位置連接之。(7)相對累積次數分配曲線圖 ：在累積次數分配曲線圖中的縱坐標的次數，改為相對累積次數。各組累積次數100(即%)總數重要範例1.某工廠 65 位員工每小時

4、工資的次數分布表如下：工 資人數50 60860 701070 801680 901490 10010100 1105110 1202總 計65（分 7 組，不含上限），則(1)全距。(2)第三組的組中點為。(3)工資小於 80 元者有人。 (4)工資大於 90 元者有人。(5)工資小於 100 元，大於 60 元者有人。【解答】 (1)70(2)75(3)34(4)17(5)50【詳解】 (1)最大值120 元，最小值50 元 全距 120 5070(2)第三組組中點7080752(3)工資小於 80 元者有 8101634 人(4)工資大於 90 元者有 105217 人(5)工資介於 6

5、0100 元者有 101614 1050 人2.下圖為某校 800 名學生第二次月考英文成績的相對次數直方圖，請問：(1)60 分以上的學生有人。(2)英文成績在全校6以內者，將給予獎狀，則得獎者至少分。（假設各組距分數分布平均）【解答】 (1)520(2)87.5【詳解】(1)800(3020123) 520(2)80(9080)12387.5123.二年甲班某次數學考試，累積次數分布曲線圖，如圖：（採相同組距 10，且不含上限），試問：(1)以60 分為準，不及格者有人。(2)70分 80 分者有人。【解答】 (1)18 (2)7【詳解】 (1)此圖形為以上累積次數分布圖當 x60 時，

6、y32成績 60 分以上者有 32 人不及格者有 503218 人(2)成績 80 分以上者有 13 人，成績 70 分以上者有20 人70 分80 分者有 20137 人隨堂練習 .如圖是某次期中考，班上英文成績的累積次數分布曲線，下列哪些是正確的？(A) 70 至 80 之間的人數最多(B)全班人數共有50 人(C)成績的中位數大於70(D)以 60 分為及格分數，那麼不及格的人不超過20 人(E)成績在 50 到 80 之間的人數超過全班的百分之六十。【解答】 (A)(B)(D)(E)【詳解】 7080 之間，人數有 15 人，不及格人數有 503218 人5080 之間，人數有 439

7、34，占全班 68。隨堂練習 . 下圖是 100 個機車輪胎壽命的以下累積次數分布曲線圖：(1)輪胎壽命在 10950 公里以上的共有個。(2)輪胎壽命在4950 公里以下的共有個。(3)輪胎壽命在4950 公里以上的共有個。(4)輪胎壽命介於 4950 公里與8950 公里之間的共有個。【解答】 (1)20(2)30(3)70(4)40【詳解】 (1)輪胎壽命在 10950 公里以下者有 80 個，即 C 點的縱坐標在 10950 公里以上者有1008020 個(2)輪胎壽命在 4950 公里以下者有 30 個，即 A 點的縱坐標(3)輪胎壽命在 4950 公里以上者有 1003070 個(

8、4)輪胎壽命介於 4950 公里 8950 公里者有(B 點縱坐標 )(A 點縱坐標 )703040 個主題 2：平均數為了瞭解母群體的集中趨勢 ，常以平均數來顯示這種特性 ，常用的平均數有加權平均數（含去頭尾平均數） (3)幾何平均數 (4)中位數 (5)眾數。1.算術平均數 ()：(1)算數平均數(2)求法：(1)未分組資料：設有 n 個數值 x1 , x2 , xn ，則其算術平均數(2)已分組資料：設有 n 個數值資料之次數分配為：變數 xx1x2x3xk總計次數 ff1f2f3f kn(a)普通法：1 ( f1 x1f2 x2f k xk )1 kf i xinn i1(b)平移變量

9、：1kdi，其中 A 為假定平均數， diAf in i 1(c)平移且縮小變量：Ahkf i di ，其中 h 為組距， d in i 1n性質： (1)(xi)0i 1n) 2np)2 ，其中 p 為任意數(2) (xi( xii 1i 12.加權平均數 (W) ：1(x1x2nxiAxiAh1 nxn )xin i 1(1)一群資料中，各項數值的重要性彼此不相同時，採用加權平均數來計算平均數。(2)權數：是一種數值，用以衡量各項資料彼此之間的輕重指標。nWi xi(3)加權平均數： Wi 1，其中 xi 表第 i 個數值， Wi 表 xi 的權數。nWii13.幾何平均數 (G. M.)

10、：(1)幾何平均數：一組正數的資料x1, x2 , xn ，其幾何平均數定義為G. M .nx1 x2xn(2)成長率的幾何平均數：若n 年的成長率分別為y1 , y2 , yn ，則這 n 年的成長率的幾何平均數為 n (1y1 )(1y2 )(1yn )1。重要範例1.小明在某個階段中， 5 次平時成績的記錄是72，85， 68，90，88，求這 5 次成績的算術平均數。 【解答】 80.6【詳解】 72，85，68， 90， 88 的算術平均數7285689088x580.62.設有 12 個數值資料的次數分布表為數值 xi21592176219322102227個數 fi22332試求

11、其算術平均數。【解答】 2194.42【詳解】設平移值 A2193，組距 h17，由下表數值 x2159 2176 2193 2210 2227總計i個數 fi2233212xiA341701734xiA21012hfi ( xiA )420341h得算術平均數 xh 5xiA1712194.42Af i() 2193n i 1h123.某次考試，甲班30 人平均 75 分，乙班 35 人平均 72 分，丙班 35 人平均 80 分，則此三班合併的平均分數為。【解答】 75.7 分x1 n1x2n2x3 n375 3072 3580 35【詳解】 xn1n2n3303575.735隨堂練習 .

12、某生第二次月考成績及上課時數如下表：科目 國文 英文 數學 物理 化學 歷史 地理 公民成績 8555706575827092時數 66633222則以上課時數為權數的平均成績為。【解答】 72.27【詳解】 W85 655 6706653753822702922216872.2766633222304.某電子公司 280 個員工的薪資所得次數分布表如下： （單位：仟元）組0102030405060708090100 110 總別計102030405060708090100 110 120人5266154613222104113280數試求其算術平均數。【解答】 40.71（仟元）40710

13、元【詳解】設平移值 A45，組距 hixiA，則其次數分布表如下10，dh組別組中點 xi次數 fi xiA dixiAfi dih0 10554042010201526303782030256120212230403554101544050456100050605532101326070652220244708075103033080908544041690 100951505510011010516066110120115370721總計28012012fi di(20)(78)(122)(54)0324430165621120i1故算術平均數 xAhn12x i Ah12fi() Af

14、i dii 1hn i 110( 120) 45 120040.71（仟元）40710 元452802805.5 個數 2， 4，8，8，32 的幾何平均數為。【解答】 6.96【詳解】 2，4，8，8，32 的幾何平均數52488325 21445 166.966.大明開設一公司，連續三年的成長率依序為10， 20， 60，則此公司三年的年成長率平均值為。【解答】 20【詳解】 1 r391216122101010r201010隨堂練習 .某公司去年的銷售金額比前年成長20，而今年的銷售金額比去年衰退20，求這兩年的平均成長率。【解答】衰退 2.02【詳解】設前年的銷售金額為a，並設這兩年都

15、有相同的成長率r （平均成長率）則去年的銷售金額為a(1r)，而今年的銷售金額是a(1r) (1r) 20與20時，今年的銷售金額相等，即a(1 r)2a(120)(120 )(1r)2(120 )(120)1 r(1.2)(0.8) r0.96 10.9798 10.0202故每年減少銷售金額2.02，即兩年平均成長率衰退2.027.設變數 Xx ，x ， x ，且變數 Y 3X5，若x24，則y。12n【解答】 77【詳解】當 Y3X5 時， y3X53 x5324577隨堂練習 .某班段考的數學成績經統計後，得到平均分數為48 分，而且最高分也只有60 分， 1.5 後，再加 10 分，

16、求經此調整後，平均分數為分。【解答】 82 481.51082主題 3：中位數與眾數1.中位數 (Me)：將一群數值資料，按其大小順序排列後，位置居中的一數稱為中位數。(1)未分組資料的求法：假設一筆數值，經重排大小順序得x1 x2xn ，定義為，當 為奇數，且n 1xknkMe21 (xkxk 1 )，當 n為偶數，且 kn22(2)已分組資料的求法：設n 個數值資料整理得一次數分配表組別次數 f以下累積次數 CL1 U1f1C1 f1Li 1 U i 1fi 1Ci 1f1f 2fi 1n2Li U ifiCif1f2f i 1nf i2Lk U kf kC kn總計nnCi ，則中位數必

17、落在第 i 組的下限 Li 與上限 U i 之間。假設組內各數值均勻分佈在 Ci 12MeLinC i 12fi該組區間內，則如圖；依比例可得LifiC i 1CiU innC i 122(U iLi ) 。L iMeUi中位數Me Lif i組距(Mo)：就是一組資料中出現次數最多的數值。重要範例1.有 10 個同學參加某科的學力測驗，成績排序後，其結果為62，73， 76，78， 84，86，89，90，92，98，則它們的中位數為。 【解答】 85【詳解】中位數8486852隨堂練習 .有 10 位學生的身高如下（單位：公分） ：157189185 181179184186182 177

18、180試求此組資料的算術平均數、中位數。【解答】 180，181.5【詳解】 (1)算術平均數為 (157189 185181179 184 186 182 177 180) 180(2)將此 10 位學生的身高度量由小排到大為：157，177，179，180， 181，182，184， 185，186，189居中兩數為 181 與 182，故中位數為 1 (181182)181.522.某班 50 位學生第二次月考數學成績的次數分布表如下：成績 3040 40 50 5060 6070 7080 8090 90 100總計人數12710188450試利用以下累積次數分布表求中位數。【解答】

19、Me72.8【詳解】 50 位同學數學成績的次數分布如下：組別以下累次數 fi積次數3040114050235060710607010i1Me20 C70801838809084690 100 450總計50次數 n 50n中位數 Me 位在第五組 70 80 這一組內252L i 70，Ui80，Ci 120，fi18nC i 125205故中位數 MeLi2(Ui Li)f i70(80 70) 7010 72.818183.某射擊小組有六人，今各射擊5 發，各人命中數分別為4、1、4、3、2、4 發，若 a 表其算術平均數， b 表其眾數， c 表其中位數， d 表其幾何平均數，則 a，

20、 b， c 與 d 之大小關係為。【解答】 b cad【詳解】由小至大排序：1，2，3，4，4，4算術平均數 a12 34 443，眾數 b = 46中位數 c343.5，幾何平均數 d 6 1234442 6 62 b c a d4.某單位65 名員工的日薪資料如下表：日薪（元） 55065075085095010501150人數81016141052則日薪的算術平均數為，中位數為，眾數為。【解答】797.7；750；750x850【詳解】 (1)算術平均數可利用平移縮小變換：y，得(3)8(2)10(1)16014110253234My6565故 Mx100My850797.7(2)中位數

21、有 65 位員工，其日薪依次排列，最中間者為第33 位，故中位數為 750(3)眾數人數最多的一組其日薪為750 元，故眾數750隨堂練習 .某校九位學生數學抽考分數分別為30， 40，60，50， 70，80，60，90， 60，則此九個分數的平均值為，中位數為。若使用簡單隨機抽樣法，從這九個分數中取出三個，則所取出三個分數的中位數等於60 分的取法有種。【解答】 60；60；46【詳解】 (1)算術平均數304050603708090960(2)將九個分數由小而大依次排列得30，40，50， 60，60，60， 70，80，90第 5 個分數為中位數中位數60(3)依隨機抽樣取出三個，最中

22、間一個為60，取法分成三類一個 60，另二個必有一個大於 60，一個小於 60取法有 C13C 13C 1327二個 60，另一個任選取法有 C 23C 1618三個均為 60 取法有 C 331故所有取法有 27181 46種隨堂練習 .就數值 1，2，2，3，3，3，4，4，4， 4，5， 100，100， 100， 100（共 1001個 100），下列何者正確？ (A) 算術平均數(log 1 log 2 log 3log 100)50.5 (B) 幾何平均數10 100(C)中位數 55(D)中位數70(E)眾數100。 【解答】 (D)(E)【詳解】 (A) 12 3 100505

23、0100 100 101 201kk633835067算術平均數k 1505050505050(B) G 5050 122 3334100100logG1(log12log23log3 100log100)50501(log 12 log 2 3 log 3100 log 100)故 G10 5050(C)(D) 1 237024855050123 7125562 中位數為 71(E)眾數 100有 20 位學生英文成績的次數分布表如下：分數405050 60607070808090人數25553則成績的算術平均數，中位數。 【解答】 66；66【詳解】組 別 人數 組中點 x y x 65

24、以下累積次數1040 502452250 605551760 70565012Me70 8057511780 90385220(1) My(2)2(1)505152312010 Mx10M y 65101656610n20中位數 Me 落在 6070 之間1022(2)利用比例： Me60107Me 6031066706012755.某校 80 個學生參加學力測驗，其成績分布如下：成績人數5055155602606510657011707512758020808578590990955951003總計80(1)求算術平均數。(2)求中位數。(3)求眾數組。【解答】 (1) 75.94 (2)

25、76(3) 75 80【詳解】成績分布如下：由下表的資料可知成績人數 fi 組中點 xixi A f i( xi A)累積次數50 55152.52525155 60257.52040360 651062.5151501365 701167.5101102470 751272.55603675 802077.5005680 85782.55356385 90987.510907290 95592.515757795100397.5206080合計80125(1)算術平均數 x77.512575.9480(2)中位數在 7580 這一組，利用內插法求之4036Me75，所以， Me 754765

26、6368075520(3)眾數組： 7580隨堂練習 .某班月考的數學成績統計表如下，試求下列各值（若有小數，小數點以下取一位，第二位四捨五入）分數 20 30 3040 4050 5060 6070 70 80 809090100人數11231116142(1)算術平均數。(2)中位數。(3)眾數在這一組內。【解答】 (1) 72.2(2) 74.375(3) 70 80【詳解】成績xi人數 以下累積次數xi 65fididi1020 3025114430 4035123340 5045242450 6055371360 706511180070 8075163411680 90851448

27、228901009525036合計5036(1)算術平均數65 10 3672.2 (2)中位數 70 10 774.3755016(3)眾數在 7080 組內6.如圖是某班的第二次段考數學成績統計，求：(1)算術平均數。(2)中位數（取到小數點後第一位 ，第二位以下四捨五入）。【解答】 (1) 72.4(2) 74.1【詳解】分數xifi以上累dixi75積次數di fi1040504555031550605554521060706584018708075173200809085101511090 1009555210合計5013(1) 75101372.4(2) 701075074.117

28、隨堂練習 .下表為高二某班上次月考的數學成績次數分布表（不含上限）：分數（分）人數 fi2030430406405011506012607087080680902901002總計51(1)求算術平均數（計算到小數第一位） 。(2)試作以下累積次數分布曲線圖。(3)求中位數。(4)眾數在哪一組？【解答】 (1) 54.8(2)見詳解(3) 53.8(4)落在 50 60 這一組【詳解】分數人數 組中點xiAdixiA ，h 10i i以下fixi（取 A55）hf d累積20 3042530312430 40635202121040 501145101112150 6012550003360 7

29、086510184170 80675202124780 9028530364990100295404851總計511h ki10(1)M Afi d 55( 1) 54.8n i151(2)如圖：n(3)25.5中位數落在 5060 這一組2Me5051212 Me 53.860503321(4)眾數落在 5060 這一組7.某次數學競賽，某校七位同學得分數分別為27，40，38， 35，43，39，32 分，今在此七個分數中任取出三個 ，已知其中一個為 38 分，試求此三數之中位數為39 分的機率為。【解答】 215【詳解】由小至大排序： 27， 32，35，38， 39，40，43在此 7

30、 個分數中任取 3 個，已知一個為 38，取法共 C 62 種使三數之中位數為39，取法有 (38，39， 40)， (38， 39，43) 2 種2 2 機率C62 15主題 4：全距與四分位差離差是衡量母群體內個體彼此之間分散情形的量數，以瞭解其離中的趨勢。計算方法有 (1)全距 (2)四分位差 (3)標準差 (含平均絕對離差 ) 。1.全距 (R)：(1)未分組資料的全距= 最大數值最小數值。(2)已分組資料的全距= 最大上限最小下限。(3)優點：在數值集中時，可以清楚表達離散的程度。缺點：只採用首尾兩端的數值，忽略了中間數值的變動情形，故只能粗略說明資料的集中程度，難以顯示全體資料的變

31、異性。2.四分位差 (Q.D.)：假設一筆數值資料 X 有 n 項，經重排大小次序得 x1 x2xn ，將已排序的資料等分成四段，其中有三個分界點 ，最小的一個稱為第1 四分位數，以 Q1 表示；其次一個即為中位數 M e ；最大的一個稱為第3 四分位數，以 Q3 表示；我們定義四分位差 Q.D . 為 Q.D . Q3 Q1(1)未分組資料的求法： n 個資料中，比中位數小的一群，其中位數為Q1；比中位數大的一群，其中位數為 Q3 ， Q.D. Q3Q1(2)已分組資料的求法：其計算原理和已分組求中位數相同。n3nCQ3CQ14Q1LQ14hQ1 ， Q3LQ3hQ3 ， Q.D .Q3Q1

32、fQ1f Q3其中 LQi 表 Qi 所在組的下限，CQi 表較 LQi 小的累加次數。fQi 表 Qi 所在組的次數， hQi 表 Qi 所在組的組距 hQiU QiLQi 。重要範例1.求 2，3，9，7，14， 15， 18，6，8，10， 12 的(1)中位數為。(2)四分位差（ Q3Q1）為。【解答】 (1) 9(2) 8【詳解】由小至大排序：2，3，6，7，8，9，10， 12，14， 15，18(1)中位數為 9(2) Q16，Q314四分位差Q3Q18隨堂練習 . 設有一組數值資料如下：76，54， 82，77， 70，34，72， 68，66，70，58，45，則中位數為，四分位差。【解答】 (1) 69(2) 18【詳解】將資料由小而大排列34， 45，54，58，66，68， 70，70，72， 76，77，82(1)中位數6870