海面原油泄漏的数学建模

1、海面原油泄漏的数学建模论文作者1:王庆阳（程序设计）论文作者2:志鹏（构建模型）论文作者3:嘉琦（论文写作）摘要本文主要研究的是海上原油泄漏所形成油膜的面积和形状的估计问题。以墨西哥湾溢油事件为例，建立了在海面流场、季风风场的作用下不平静的海面上溢 油扩散、离散和迁移的组合模型。针对问题一，建立了在平静湖面上理想的情况下油膜在重力、 表面力、粘性 力、惯性力这几个主要决定因素的作用下的自身扩展模型。利用 fay公式得出油 墨在各个阶段随时间变化的扩展尺度，计算出油膜面积为A=17.78力，并用matlab模拟出了海上油膜各向同性扩展的圆形模型。针对问题二，在问题一理想化模型的基础上进行改进。

2、在考虑海面流场和季 风风场的作用下建立了由油膜扩展、离散和迁移这三种过程所产生的油膜组合运 动数学模型。以二维移流扩散方程为基本控制方程，导出了油膜厚度的表达式， 从而建立了油膜的虚拟椭圆的长轴和短轴随时间变化的理论公式和图线。首先在问题一扩展尺度的基础上利用菲克定律增加来了油膜的离散尺度而推导出油膜 的扩延迟度。然后又引出“虚拟椭圆”的概念得到实际油膜可观测的尺度和面积 公式。并根据资料所述美国墨西哥湾泄漏到海面的原油为400万桶，漏油口第84天被堵住，换算可得墨西哥湾原油的平均泄漏速率大概为 Q=9100m3/d ,最后得 ,10 R出其漏油面积为A=1.17乂1。由I。最后考虑油膜的迁移

3、运动使油膜的离散产 生随机性（本模型对离散量加入随机数 EQ,从而使油膜形状发生改变，呈现不 规则性，此模型认为漂移并不直接改变油膜的面积。用欧拉拉格朗日追踪质点 法求得油膜的漂移扩散。针对问题三，了解溢油对经济、环境的各方面的负面影响，针对不同的溢油 环境采取合理的治理方式，使溢油对经济和环境的影响降到最小。关键字：溢油fay公式菲克定律扩展离散迁移拉格朗日速度一、问题重述近年来环境问题备受关注，2010年美国墨西哥湾“深水地平线”钻井平台 发生的爆炸造成原油泄漏事件引起了国际社会的高度关注。题目要求建立数学模型正确估计原油扩散在海面上的形状和面积，并在此基础上评价美国墨西哥湾海 上原油泄漏

4、对环境和经济的影响。问题一，在平静的湖面上利用汽油模拟海上原油泄漏事件， 假设漏油点漏油 的速度是0.01mL/s,湖面足够大，只考虑汽油的扩散，不考虑风等其它因素建立 理想化模型计算水面油膜的形状和面积。问题二，建立在海面上考虑季风、洋流等因素的原油的运动模型并再查找资 料，利用所建立模型估算美国墨西哥湾原油泄漏中油膜的形状和面积。问题三，根据问题二的的计算结果，评价一下美国墨西哥湾原油泄漏对环境 和经济的影响。二、模型假设假设溢油模型为为连续均匀溢油；被原油污染的区域水质等情况相同，原油的扩散速度相同，即不考虑水体在不同水域的差别；海水总体积保持不变，不考虑雨雪渗漏以及自然状况下的自净过程

5、（原 油在一般情况下，无法自然消除沉积），海面无任何设施（包括船舶、 围油设施）；油在大规模扩散仅由重力、表面力、粘滞力决定，扩散过程中性质不变， 如密度、力等，且在竖直方向处于平衡状态。问题一中，在平静的湖面上利用汽油模拟海面原油泄漏，基于湖面足够 大，不考虑风等其他因素的假设，忽略油膜的扩散及扩延，即扩展起主 要作用，假设漏油点的速度为 0.01ml/s,假设。根据fay公式，在不同 的扩展阶段忽略次要作用项，保留主要作用项，得到油膜扩展直径的理 论公式。问题二，原油在海面上的扩散是相当复杂的，包括溢油的蒸发、乳化、 溶解、生物降解、吸附沉降和氧化等诸多难以量化的复杂过程，不是任 何一种物

6、理化学现象所能解释的。在此我们忽略这些过程，只考虑油膜 的扩展，离散，迁移这三个主要过程。并假设季风、洋流等因素的作用（使油膜产生漂移）体现在两方面：一是使油膜的离散产生随机，只改 变油膜形状和位置并不直接改变油膜的面积。二是假设油膜的质心在油 膜上的相对位置改变很小以至可以忽略不计，则油膜的轨迹或运动方式 可以等效于质心的运动。三、符号说明g重力加速度1 vw水的运动粘性系数V溢油总体积油的密度口空气和油的表面力系数口海水的密度wa |空气和水的表面力系数A油膜面积| ow |油和水的表面力系数油膜可视厚度回油膜各向同性的扩展直径Q平均漏油速率油膜迁移速度矢量同表面流速u10风速uw风速引起

7、的漂流速度矢量柯氏系数五摩擦影响深度四、模型的建立与求解问题一在平静的湖面上利用汽油模拟海面原油泄漏事件，溢油的主要过程是在惯性 力、重力、粘性力和表面力的作用下油膜的扩展模型。 最后得到的湖面油膜形状 应该是圆形。根据fay公式，油膜各阶段的扩展直径计算公式为：惯性扩展阶段：d = 2Ki(BgV)U*ti/2(1)粘性扩展阶段：% = 2(式附/人%)1/%1*(2)表面力扩展阶段：% = 2*式叮加於4产2邛(3)理想条件下当净表面力系数小于等于零时， 原油停止扩散，此时扩展结束所形成 的最大直径为：df = 356.8尸评(4)其中，t为从溢油开始计算所经历的时间， 匹亘加，三三三3,

8、 V息:3t,区远四为经验系数。据此可推出油膜面积 A=。炉再在平静的湖面上，以原油泄漏点为中心，向东为x轴，向北为y轴建立直角 坐标系，x 10 3，105(Qt )3/4/ cos-|y 10 3 Ji05(Qt)3/4/ sin(5)由matlab作图可得如下图型图1在平静湖面上的油膜形状模拟图图2在平静湖面上油膜面积一时间图像问题二 在不平静的海面上的原油扩散一共包括三个过程：1 .第一问模型下的自身扩展。2 .由于受到海面流场和季风作用的不均匀作用、海面破碎波及大尺度漩涡 等因素作用而引起的油膜分散或破碎分散的离散现象。3 .由于海面流、风力、波浪等因素作用而引起的油膜漂移的油膜迁移

9、运动。基于上诉三种过程建立不平静海面上油膜组合运动的数学模型，并估算美国墨西哥湾原油泄漏中油膜的形状和面积。油墨在不平静海面上的扩延迟度应该等于扩展尺度与离散尺度的和。（一）油膜扩展尺度（二）离散尺度油膜在不平静海面上的离散具有随机的性质。有质量守恒原理导出油膜厚度 的公式为(6)C i h (u Cih) (vC i h) (si bitxy式中油膜中所含第i组分的浓度为日；h为油膜的厚度；u、v分别为沿X、Y 方向的剪切离散速度； 匚、口分别为第i种组分过油膜表面和底面的油份通 量。求解（6）的关键是确定离散通量与其它时均特性的关系，一般是将其与分 子扩散相比拟，采用Fick定律可得Ci

10、hU x C i hK x-xc ； hUy Ci hK 、，V/ 1 ''K yy式中，目、阳，分别为油膜沿x、Y方向的离散系数。假定 W、口不随空 间变化，将（7）式代入（6）式中可得(8)C i h2(Cih)2(C i h), K x2 K y2txy上式的解为h V exp4:; K x K y4 K xt 4 K yt(9)上式又可表小为(10), Vx2 y2h 2exp 2 22 2x x y4 x 4 y式中,口、匚并加为乂、y方向油膜厚度的标准差。油膜沿x、y方向的离散尺度为其中，一般取dx,1.17dyyayt,1.17 x axt(11)ax 2.236

11、 10 3（三）油膜的扩延(12)(13)在溢油的扩展离散过程中，溢油的扩延尺度可表示为扩展尺度和离散尺度的 叠加。则油膜沿长轴方向（油膜漂移方向）的扩延尺度Dx k(dfdx)油膜沿短轴方向（垂直与油膜漂移方向）的扩延尺度Dy k(df dy)式中k=L£Z4（A'为客观油月M面积，a为油膜面积，包括观测不到的部分）为了避免在扩展离散后期，计算的油膜扩延尺度包括油膜边缘观测不到的部 分，为了得到实际油膜的尺度，引入“虚拟椭圆”、“虚拟长轴”和“虚拟短轴”。 椭圆的实际面积为其中,(14)dx 2 2 10 3 x ln 2 h1/2Qt(15)d y 2 2 10 3 y

12、In c2 h1/2Qt(16)轴,以垂直于据此，以原油泄漏点为中心，以原油的主要扩散方向额为为 x轴的方向为y轴建立直角坐标系，图3海面上原油泄漏形状模拟图其中,12 X 2.236 x 1° &川环x " 用matlab模拟图形得:（四）油膜的迁移迁移使油膜的原油泄漏后油膜在水面的迁移运动主要受表面流和风力控制离散产生随机性,(本模型对离散量加入随机数k I从而使油膜形状发生改变， 呈现不规则性，此模型认为漂移并不直接改变油膜的面积。故油膜面积仍按式(15)求得。并根据资料所述美国墨西哥湾泄漏到海面的原油为400万桶，漏油口第84天被堵住，换算可得墨西哥湾原油的

13、平均泄漏速率大概为Q=9100m3/d ,最后得出其漏油面积为k = LKxlQgo由于漂移的存在，使得油膜会向一个方向移动，记为 日方向，I假设油膜的质 心在油膜上的相对位置改变很小以至可以忽略不计，则油膜的轨迹或运动方式可 以等效于质心的运动，其中迁移速”2U (18)uc K1uc(19)Uw K2U10(20)其中，网是表面流漂移系数，它包含了油膜的应力、厚度等因素的影响，可由实验确定，一般取1.0;四是风漂流系数，实验数据给出值为3.5%; 3.5%; IV,同是风速引起的漂流速度矢量，可由下式给出：uw K2 u10 cosiu10 sin j)其方向为口右偏口角度，口为柯氏偏转角

14、，是由于地球旋转引起的风矢 量偏转角,一般采用Ekman的解析解确定：(22), sh 2 H / D sin 2 H/D arctg sh2 H/D sin 2 H/D式中，D称为摩擦影响深度，可取为(23)J是海洋上层的垂直涡粘性系数(近似为常数)；是柯氏系数,(24)sin是地球自转角速度，(I)是纬度U图4迁移速度矢量合成示意图(五)油污污染海域的面积设油膜某质点在r,时刻的坐标为R(ti),该质点在扩展、离散、风力、海流、 蒸发和挥发等因素的共同作用下，ti+i时刻的坐标为R(t+i),则有R ti 1 R tir|(25)R为扩展、离散和漂移在A t时段位移的合成，即RRsRd R

15、l I(26)其中Y为随机数，值为-1到1,同为在A t时段的漂移矢量，采用积分拉格 朗日速度得，ti 11-RlUrdt(27)ti 简化模型得，l urdt (28) 下图为油膜漂移示意图，假设漂移过程中无面积变化，则 时间t：受污染的海域面积S=d区1。其中， d k dx d'y /2图5油膜组合漂移模拟图问题三墨西哥湾海上漏油由于受到环境影响因素较大，在扩展，离散，漂移的作用下，影响的海域面积约为 S=dKl （2.3万平方公里）。此次大面积的漏油对波及地区的环境、经济造成了很大的破坏。（一卜对环境的影响这次漏油事件从开始漏油到基本堵漏成功持续了84天，总溢油量约700000

16、-800000立方米。溢油量之大，加上油膜扩展离散以及油膜迁移，导致了 被污染水域面积远大于油膜面积，这大大增加了海洋环境被污染甚至被破坏的程 度。海洋生态面临着严峻的考验， 在受污染海域的656类物种中，造成了大约 28万只海鸟，数千只海獭、斑海豹、白头海雕等动物死亡，将有 10种动物面临 生存威胁，3种珍稀动物面临灭顶之灾（2010年6月数据）。溢油覆盖在海面上，阻碍了浮游植物的光合作用，这从食物链最低端切断了 能量的来源，使得处在食物链上层的生物的生存受到了威胁。海面上的溢油对鸟类的危害最大，尤其是潜水摄食的鸟类。这些鸟类以海 洋浮游生物及鱼类为食，当接触到油膜后，羽毛能浸吸油类，导致羽

17、毛失去防水、 保温能力，另一方面它们因不能觅食而用嘴整理自己的羽毛， 摄取溢油，损伤脏。 最终它们会因饥饿、寒冷、中毒而死亡。成年鱼有着非常敏感的器官，因此，它 们一旦嗅到油味，会很快地游离溢油水域，而幼鱼生活在近岸浅水域容易受到溢 油污染，这种情形会导致鱼群的衰减，从而间接影响捕鱼业的发展。海洋哺乳动 物受溢油污染危害的情况是不同的， 如鲸鱼、海豚和成年海豹对油非常敏感，它 们能及时地逃离溢油水域，可以避免遭受污染。但成年海豹和小海狗栖息海滩时， 会被油的污染所困，以至于死亡。浅水域通常是海洋生物活动最集中的场所，如贝类、幼鱼、珊瑚等活动在该区域，也包括海草层。溢油对该类水域的污染异常敏感，

18、 造成的危害在社会上反 应强烈。如果在这类水域使用溢油分散剂，造成危害会更大。因此，当溢油污染 会波及到该类水域时，决策者的首选对策应是如何避免污染， 而不是待污染后再 采取清除措施，更不适于使用分散剂。溢油对环境的危害程度与溢油类型和环境因素有关。溢油种类不同，对环境 造成的危害也不同。例如，重燃料油含芳香烧化合物的量比其他油高， 而芳香姓 化合物与油中的其他姓类成分相比，具有易溶于水、易扩散、生物难以降解、对 生物毒性大等特点。如果溢油为重燃料油，不能及时得到处理，对海洋环境的污 染危害要比其他类型的溢油大。溢油对环境的危害程度还与环境自身的特征有关。 溢油发生地点是否是敏感 区，溢油发生的季节是否是鱼类产卵期、收获期，不同的海况，都影响溢油的危 害程度。相同规模的溢油事故，发生在开阔水域要比发生在封闭水域的危害程度 要低；发生在海洋生物生长期要比发生在其产卵繁殖期的危害低；发生在荒芜人烟的偏僻地带，靠其自身的净化恢复，不用采取任何措施，那么，这种危害可以 不计。（二卜对经济的影响英国BP公司作为肇事者令自己承受了巨额的损失，市场估计，BP承担的赔偿金、清理油污费、建造减压井等相关堵漏设备以及受影响各州的相关支出高达 370亿美元。事故还将影响BP公司的油气开采业务，严重损害