椭圆定义与几何意义有关习题及答案

1、椭圆定义与几何意义习题及答案、选择题 （每小题4分，共40分）1.y轴上的椭圆，则实数k的取值范围.若方程x+与=1（a>b>0）上一点A关于原点的对称点为b+ky2=2表示焦点在A. (0, +s)B.(0, 2)C. (1, +s)D.(0,1)2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MIFu . MfT 0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（A. (0,1)1(0, - C。事 D A23 .已知椭圆x2台1的左焦点是F1,右焦点是F2，点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在轴上，那么PF1 :|PF2的值为4 .已知椭圆的两个焦点为F1（y'5,0）,F2（

2、V5,0）, m是椭圆上一点，若MF1 MF2 0 ,MF1MF28,则该椭圆的方程是（2(A) xy(B)2(C) xr(D)25.设椭圆， m2 y2 n1(m0, n 0）的右焦点与抛物线8x的焦点相同，离心率为则此椭圆的方程为（2A. -122 L16B.2 x162工1122C .482L 16464 48B, F为其右焦点，若AJ BF,设N AB任，且 运力则该椭圆离心率 的取值范围为()A 冬1) B .噂，争 C . , 1)D .9,§ 227.设抛物线y同，离心率为5,则此椭圆的方程为 2二 L 1B. 16 12 2px(p 0)的焦点F恰好是椭圆 t 4 1

3、 a b 0的 a b右焦点，且两条曲线的交点的连线过点 F ,则该椭圆的离心率为(A)3 ,2(Q 2 1228.在椭圆土 营地b0)上有一点M 下2是椭圆的两个焦点,若|MFi| IMF2I 2b2,则椭圆离心率的范围是()A.(°，学B.噂,1)C.学1)D.、,2,1)2 x9.设椭圆m22 y2 n1(m 0, n 0)的右焦点与抛物线2y 8x的焦点相22二匕1A. 12 162 xC. 482 y64D.6448210.在椭圆二a24 1(a b 0)上有一点M, E,F2是椭圆的两个焦点, b若IMF" IMF2I 2b2,则椭圆离心率的范围是()A.(0停

4、B.学1) C.号,1)D.五,1)二、填空题 (共4小题，每小题4分)11.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与C2的一个公共点，PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形，1PF11 4，C13的离心率为，则C2的离心率 为。2212.设F1、F2是椭圆二二1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PR：94PF=2： 1,则APFR的面积等于1上的点P到它的两个焦点F1、F2的距离之比PF1 :|PF2 2:73 ,且PF1F2(0),则 的最大值2为.1 4 . 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆22” 41(a b 0)的左顶点为A ,左焦点为F ,上顶点为B ,若

5、 a bBAO BFO 90°,则椭圆的离心率是.三、解答题(共44分，写出必要的步骤),»,，一一，,一，、22_ ,15 .(本小题满分10分)已知点P (4, 4),圆C: (x m) y 5(m 3)(I)求m的值与椭圆E的方程；uuur ujir(n)设Q为椭圆E上的一个动点，求AP AQ的取值范围. 22C ： f 4 1(a b 0),16 .(本小题满分10分)已知椭圆a b经过点M-2,72-1 ),离心率为2 。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 C交 于异于M的另外两点P、Q(I )求椭圆C的方程；(II ) PMQ能否为直角？证明你的结论；(II

6、I )证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。 22C : 2 当 1(a b 。),一、，17.(本小题满分12分)已知椭圆 a b经过点M(-2,42-1 ),离心率为2。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 C交 于异于M的另外两点P、Q。(I )求椭圆C的方程；(II )试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论18.(本小题满分12分)已知椭圆G、抛物线C2的焦点均在x轴 上，Ci的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中:x324y2百042(I )求Ci、C2的标准方程;(n)请问是否存在直线i满足条件：过C2的焦点f ；与Ci交皿 uur不同

7、两点M、N,且满足OM ON ?若存在，求出直线l的万程；若不存在，说明理由.答案一、选择题I. D2, C3. D4. C5. B6. B7. C8. B9. B10. B二、填空题II. 3 12. 413.-14. -5-32三、解答题15.解：(I )点A代入圆C方程，得(3 m)2因为nx3,m= 1. 2分 圆 C： (x 1)2 y2 5 .设直线PF的斜率为k,则 PF： y k(x 4) 4 , 即 kx y 4k 4 0 .因为直线PF与圆C相切，所以1k 0 4k 4|布. k2 1解得k U,或k -. 22当k=U时，直线PF与x轴的交点横坐标为 登，不合题意，舍 2

8、11去.当k=-时，直线PF与x轴的交点横坐标为一4, 2所以 c=4. Fi (一4, 0), F2 (4, 0).2a = AF + AF=5短 衣 6夜，a 3应，a2=18, b2=2.22椭圆E的方程为：土上1.182(H) AP (1,3),设 Q (x, y) , AQ (x 3,y 1),LUU UULTAP AQ (x 3) 3(y 1) x 3y 6 .22因为二匕 1 ,即 x2 (3y)2 18 ,182而 x2 (3y)2>2|x| |3y | ,一 18W 6xy <18.则(x 3y)2 x2 (3y)2 6xy 18 6xy 的取值范围是0, 36.

9、x 3y的取值范围是6, 6.所以APAQ x 3y 6的取值范围是12, 0.4116. (I)由面殳a2 + b2，由、解得a2=6, b2 = 3, 椭圆C的方程为? 十q=1.63(H)记 P(x1 , y1)、Q(x2, y2).设直线MP勺方程为y+1 = k(x +2),与椭圆C的方程联立，得(1 +2k2)x2+(8k2 4k)x+8k28k 4=0,一2, x1是该方程的两根,则一2x18k2-8k-4 x1 1 + 2k2 '-4k2 + 4k + 21 + 2k2设直线MQ勺方程为y+1 = -k(x + 2),同理得x2 =-4k2-4k+21 + 2k2因 y

10、1 + 1 = k(x1 +2) , y2+1 = - k(x2 + 2),8k故 kPQ=y1-y2 k(x1 +2) +k(x2 +2) x1 x2x1 x2k(x1 +x2 + 4)x1 x21 + 2k21 + 2k2因此直线PQ的斜率为定值.17.一 41(I)由题设，得a2+b2=1，且浮由、解得a2=6, b2 = 3,椭 圆 C 的 方 程x26y231. 3分(II)设直线MP勺斜率为k,则直线MQ勺斜率为一k,假设/ PM直角，则 k ( k) = 1, k=± 1.若k=1,则直线M昉程y+1 = (x+2),与椭圆C方程联立，得x2 + 4x + 4=0,该方

11、程有两个相等的实数根-2,不合题意;同理，若k=1也不合题意.故 / PMQ 不 可 能 为 直角. 6分(田)记 P(x1 , y1)、Q(x2, y2).设直线MP勺方程为y+1 = k(x +2),与椭圆C的方程联立，得 (1 +2k2)x2+(8k2 4k)x+8k28k 4=0,8k28k4-4k2 + 4k + 2一2, x1是该方程的两根,则一2x1.x1 =1 + 2k2 '1 + 2k2设直线MQ勺方程为y+1 = -k(x + 2),验证4个点知(3 ,20)、(4 ,4 )在抛物线上，易求同理得x2 4k24k+2(ab 0),把点（2, 0）（金,手代人得:4

12、a2 a12b2解得a： 42C1方程为人 4（H）法一:假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1,0）,设直线l的方程为x 1 my,两交点坐标为 M (X1,y1),N(X2,y2),x 1 my由x22消 去 x7 y 1(m 4)y 2my 3 0, 7分.2m3.m，y1y2 2X1X2 (1 m% )(1 my2) 1 m(y y2) m V1V22, 2m 234 4m1 m 2m 2 -2m 4 m 4 m 49分.uuuuULUT 0(*)由 OM ON,即 OM ON 0,得 X1X2 y1y22将代入（*）式,得*0，11分所以假设成立，即存在直线l满足条件，且l的方程为：

13、y 2x 212分法二：容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意;当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0),设其方程为yk(x1),与 C1 的交点坐标为 M (x1,y1),N(x2,y2)2x 2.7 y 1y k(x 1)(1 4k2)x28k2x4(k2于是x1x221 4k2x1x24(k2 1)1 4k2V1V2 k(x1 1) k(x1 1), 2k xx2 (x1 x2)1yy22kir1 4k8k21 4k21)3k21 4k210分由湍r ON,即而 ON 0,得 x1x2 y1y20(*)22将、代入（*）式，得如1 4k 1 4kk2 41 4k22；11分所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y2x 2或12分22x y-二-二 1(a b 0)与椭圆E: a2 b2 ()有一个公共点A (3, 1), F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1