椭圆方程的求法

1、22A.yr122B"122%+1=122D卷+r1解析：椭圆长轴长为6,即2a =6,得 a= 3,椭圆方程的求法椭圆是圆锥曲线中的重头戏，在高考试题中常以压轴题的身份出现，就说明了一切.对于这一曲线，许多学生不明白，看起来多么惹人爱，做起来咋就那么多的坑.椭圆解答题中第(1)问，常常是求椭圆的方程，竟然做不出来，让人倍感伤心.这里整理部分常见求椭圆方程问题，希望能给大家带来帮助.题组一：直接法直接法指根据椭圆定义或结合椭圆方程特点利用待定系数法求椭圆方程，这类问题相对比较简单，只是在具体运算中注意一下，不要出现计算迂回，浪费时间例1.若Fi(3, 0), F2(- 3, 0),点

2、P到Fi, F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程是两焦点恰好将长轴三等分，1八， 2c 2a= 2,得 c= 1,3因此，b2练习1.已知椭圆C: a2 + b2=1(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为=a2-c2=9-1=8,所以此椭圆的标准方程为;-+y-= 1.98F 2且垂直于x轴的直线交椭圆 C练习2.已知Fi(-1, 0), F2(1, 0)是椭圆C的焦点,过于A, B两点，且|AB|=3,则C的方程为()2222222A.Xr + y2 = 1B.T'+IC.7 + y-=1D.T + y-=123243542222解

3、析 由题意，设椭圆方程为$+$= 1(a>b>0),将A(c, y1)代入椭圆方程得 票+"=1,由此求得y2=b2,所以|AB|=3=2J 又c=1, a2 - b2=c2,可解得a=2, b2= 3,所以椭圆 aac的方程为1+3=1.43练习3.已知椭圆C: x2 + y2= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 Fi, F2,离心率为|,过F2 a d3的直线l交C于A, B两点，若 AFiB的周长为12,则C的方程为()2A.x-+y2 = 132 2吟+/12 2吟十%122吟十丁1解析 由题意可得a=3，4a= 12,解得a=3, c= 2,则b=

4、 32 22 =5,所以椭圆C 的方程为x2+y2=1.95答案 D练习4.已知点M(6, *)在椭圆C:，+br=1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为 坐.求椭 圆C的方程；62.f”近1， 一a2= 12,x2 v2解：由已知得c通 解得" 2 故椭圆c的方程为汇+y=1.八，b2=4.12 4'- a2=b2+c2,22练习5.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: x2+2=1(a>b>0)过点P(2, 1),且离心 a b率6= g求椭圆C的方程；解：因为 e2=c2=a 2b =3,所以 a2=4b2.又椭圆 C: %+y2= 1(a>

5、;b>0)过点 P(2, 1), a a 4a b所以4?'+1=1.所以a2=8, b2= 2.故所求椭圆方程为 +t=1. a b82练习6.设椭圆。：0+与=1(a>b>0)的离心率为 仙，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是a b2椭圆上任意一点，且 MF1F2的周长是4+ 25.求椭圆C1的方程；解 由e=兴，知=乎，所以c=乎a,因为乙MF1F2的周长是4+243,所以2a+2c2=4+2，3,所以 a= 2, c= 3/3,所以 b2=a2c2=1,所以椭圆 C1的方程为：" + y2 = 1.x2 y2.5练刁7.椭圆十,=1(a>b>

6、;0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为3，|AB|=代.求椭圆的方程；解：设椭圆的焦距为 2c,由已知有c2=5,又由a2=b2+c2,可得2a = 3b.由|AB| =刈a2 + b2 a 91=甲3,从而a = 3, b=2.所以，椭圆的方程为x-+y2= 1.9422年练习8.设椭圆与+l(a>b>0)的左焦点为F ,上顶点为B,已知椭圆的离心率为 土,ab3点A的坐标为(b, 0),且|FB| |AB|= 6寸2.求椭圆的方程;2解：设椭圆的焦距为2c,由已知有c2 a2a由又5一 9b2+c2,可得2a= 3b.由已知可得,|FB|=a, AB|= V2b,由

7、 |FB| |AB|= 6&,可得 ab= 6,从而 a=3, b=2.所以，椭圆的方程为x2+y2=i. 94x2 v21. 3练习9.已知椭圆C:孑+由=1(a>b>0)的离心率为2,且过点P /1,卜F为其右焦点.求椭圆C的方程；一 一，c 1x2v23 ,一，一，解：因为-=工，所以a=2c, b = J3c,设椭圆方程 2+ 2= 1又点P 1, I在椭圆上， a 214c 3c24 c22所以4c2+ 41=1，解得c2= 1, a2=4, b2= 3,所以椭圆方程为、+V3=1.22练习10.已知椭圆C: xz+yznMaAb。)的左、右焦点分别为 F1(-1

8、, 0), F2(1, 0),点 a bA(1,)在椭圆C上.求椭圆C的标准方程；22解 设椭圆C的焦距为2c,则c= 1,因为A(1,)在椭圆C上，所以2a =|AF1|+|AF2| 22 =2小,则a = 42, b2= a2c2= 1.故椭圆C的方程为+ y2= 1.练习11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2,交y轴于点B1, B2,以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆 E,恰好经过点(1,§).求椭圆E 的标准方程；解 由题意，得椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为与+当=1(a>b>0),焦距 a b为2c,则b=

9、 c,. a2= b2+c2= 2b2,椭圆E的标准方程为 +y2=12b b_1椭圆E经过点o'2) , 2+爱=1,解得b2=1.22bb2.椭圆E的标准方程为： + y2=1.题组二：转化法有时题目中没有给出椭圆的任何特征，需要我们将其中的条件进行转化，发现椭圆的定义特征，或者对轨迹方程进行整理后找到椭圆方程，这类问题比较隐蔽，关键在于对已知条 件的准确转化例2.已知两圆C1: (x-4)2+y2 = 169, C2: (x+ 4)2 + y2=9,动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为()x2 y2x2 y2x2 _y!x21 y2_1

10、A.64- 48=8而+ 64=。丽-64="才"【答案】D解：设圆 M 的半径为 r,则 |MCi|+|MC2| = (13 r) + (3+r)= 16>8=|CiC2|,所以M的轨迹是以Ci, C2为焦点的椭圆，且 2a=16, 2c= 8,所以a=8, c= 4, b = -Ja2 c2 =4$,故所求的轨迹方程为 -7 + 4t= 1.64 48练习1.已知A(-2, 0), B(2, 0),点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为一3.4求动点C的轨迹方程;22解：设c(x, y).由题意得WkBL击出一4(尸0).整理，得%卜=1(尸0).22故动点

11、c的轨迹方程为24+t=1(y*0).练习2.已知动点P到定点F(1, 0)和到直线x= 2的距离之比为 半，设动点P的轨迹为 曲线E,求曲线E的方程；解：设点P(x, v),由题意，可得(XT)、+y2 =坐，得+y2=1.x 2|222曲线E的方程是|'+y2= 1.练习3.已知圆O: x2+y2=4,点F(1, 0), P为平面内一动点，以线段 FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.求曲线C的方程;解 设PF的中点为S,切点为T,连接OS, ST,则|OS|+|SF|=|OT|= 2.取F ' Y 1 , 0), 连接FP,则|FP|+|FP|=2(|OS|+

12、|SF|) = 4.所以点P的轨迹是以FF为焦点、长轴长为 4 的椭圆，其中，a=2, c= 1,所以 b2=a2-c2=4-1 = 3.所以曲线C的方程为+2=1.43题组三：综合法但是将基本元素的关系设求椭圆方程中有一类比较复杂的问题是题目给出椭圆的特点,置在一些较复杂的情境中，如向量、内切圆、三角形面积等等，这些条件的介入，增加了解题难度，此时应该对题目中的条件合理转化,做好准确“翻译”,巧用妙用已知条件，求出基本元素，找到椭圆方程例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0, 2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为(Ax2+y2=112 202 2吟+L

13、1)4+=112 822D.x8+=1解析(1)法由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1, 0),直线AB的方程为y=2(xy=2 (Xi)，4、1),由y2_消去 y，得 3x2-5x=0,故得 A(0, 2), B', 3 ；,则.5+7=|AB|=-3) + (- 2-245,53) = 3 .法二 由题意知，椭圆的右焦点F勺坐标为(1, 0),直线AB的方程为y=2(x-1),y=2 (x-1),由：x2 y2消去 y 得 3x 5x = 0,设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 Xi+ x2 = "3，xiX25+ 4 1'=0,则|AB| =弋

14、(x1 一X2)2+ ( y1 一y2)2 =(1 + k2) (z+x2) 24%刈2、5I 5.51 + 2愎/ 4*0 = 3 .练习221.已知P点坐标为(0, 2),点A, B分别为椭圆E：3+艮1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q, 4ABP是等腰直角三角形，且 由=2茄.求椭圆E的方程;解:3 一 一由 ABP是等腰直角二角形，得 a=2, B(2, 0).设Q(xO, y°),则由PQ=QB,得6 xo5,ly0=- 5, 52代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆EOy2=1.练习2.已知椭圆$+*1(a>b>。)，匕匕为它的左、右焦点

15、,P为椭圆上一点，已知/FiPF2=6。，Sfffz=73,且椭圆的离心率为；求椭圆方程.解：由已知，得|PFi|+ |PF2|=2a,|PFij+ |PF2|2-2|PFi|PF 21cos60 = 4c2,即 |PFi2十|PF2|2一|PFi|PF2|=4c2,1习PFi|PF2|sin60 =尊 即 |PFi|PF2|= 4,联立解得a2 c2= 3.又' = 3，c2=i, a2= 4,a 2b2=a2-c2=3,椭圆方程为 y+y- = i.4 322练习3.已知椭圆C： x2+ *= i(a>b>0)的两个焦点分别为 Fi, F2,短轴的一个端点为 P, PF

16、F2内切圆的半径为。，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为 RS,当lx轴时，3|RS|=3.求椭圆C的标准方程;11bci解：由内切圆的性质，得 zX2cx b = 3X（2a+2c）xb,得一=弓. 223a 22将x= c代入与十 a.22，y=勺，所以m=3.又 a2= b2+c2,所以 a= 2, b = 3,故椭圆c的标准方程为Xr+5=i.43练习4.已知椭圆C: xJ + 9nMaAb。）的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角 a b形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线 x+y2=0相切.求椭圆C的标准方程;b= c,解：由题意知,|0+02|a=2b2 + c2= a

17、2,则椭圆C的标准方程为 + y2= i.2练习5.椭圆£：与+白=i（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi（ a bi, 0）, F2（i, 0）,左、右顶点分别为 Ai, A2, P为椭圆E上的动点（不与Ai, A2重合），且直线PAi与PA2的斜率的乘积为3 .求椭圆E的方程；422解 设 P（X0, y0）（y0W0）,则学+y=i.整理，得x2-a故椭圆T的标准方程为X6-+ y2= 1.=-誉. b由题意,得X0- a X0+ a34.整理，得 x0 a2= 3y0.a2y04 2 P c 目口 2 4 2一 一"b_= 3y0,又 '萨 0,

18、即 a = 3b .c= 1, a2= b2+ c2,a2= 4, b2= 3.22故椭圆E的方程为?1.练习6.如图所示，已知圆 G: (x 2)2+y2=4是椭圆922T:a十*= 1(0<b<4)的内接 ABC的内切圆，其中 A为椭圆T的左顶点，且 GAXBC.求椭圆T的标准方程；8、.一解：设B(一, y°) , y0>0, AB与圆G切于点D, BC 3交x轴于点H ,连接DG,如图.由题意得 ADGsAHB,即 AD=AB，2得3=FH.解得y0=5.8点B(-,y0)在椭圆T上，35- 9_2b+4一9-22 3 +64一9161-2b题组一：例1.若

19、F3, 0), F2(- 3, 0),点P到Fi, F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程是22练习1.已知椭圆C: O2 + 3=i(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为22XV /A.36+ 3T122x y /B.9+8 = 122入x y /C.?+i=1练习2.已知F1(-1, 0), F2(1 , 0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A, B两点，且|AB|=3,则C的方程为(2x , 2 A.2+y2 = 12B.22)c型=14322D.»练习3.已知椭圆XC： a2+2b2=1(a>b>

20、0)的左、右焦点分别为F1, F2,离心率为2过F2 3的直线l交C于A, x22.Ay+y =1B两点，若 AF1B的周长为12,则C的方程为(22x y /B.3+2 = 1练习4.已知点M46, #)在椭圆C:x2+2=1(a>b>0)±,且椭圆的离心率为 手.求椭a b3圆C的方程;22练习5.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:与十上=1代色>0)过点P(2, 1),且离心 a b+3 . 一 ，、一一率3=学求椭圆C的方程;练习6.设椭圆C1： x?+ 9=1(a>b>0)的离心率为 要，F1, F2是椭圆的两个焦点，M是 a b2椭圆上任

21、意一点，且 MF1F2的周长是4+ 2m.求椭圆。的方程；x2 y2 5练习7.椭圆十/=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为 半AB|="i3.求椭圆的方程.x2 y25练习8.设椭圆？+*= 1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B,已知椭圆的离心率为 太a b3点A的坐标为(b, 0),且|FB| |AB|= 6也.求椭圆的方程.,F为其右焦点.2213练习9.已知椭圆C:马十上=1(a>b>0)的离心率为二，且过点P.1,- a b2. 2求椭圆C的方程.22练习10.已知椭圆C: x2+y2=1(a>b>

22、;0)的左、右焦点分别为Fi(-1, 0), F2(1, 0),点a b.，2A(1,)在椭圆C上.求椭圆C的标准方程.2练习11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2,交y轴于点B1,.求椭圆EB2,以B1, B2为顶点，F1, F2分别为左、右焦点的椭圆E,恰好经过点(1,的标准方程.题组例2.已知两圆C1: (x-4)2+y2 = 169, C2: (x+ 4)2 + y2=9,动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为()22A.6r 48=122B.R6r122d.64+48=1练习1.已知A(-2, 0), B(2, 0)

23、,点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为一3.4求动点C的轨迹方程.练习2.已知动点P到定点F(1, 0)和到直线x= 2的距离之比为 当，设动点P的轨迹为 曲线E,求曲线E的方程.练习3.已知圆O: x2+y2=4,点F(1, 0), P为平面内一动点，以线段 FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.题组例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0, 2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为(22A.f2+ 2o=1B.：+亡=14 12)二+乙12 8练习1.已知P点坐标为(0, 2),点A, B分别为椭圆D.x2 + 2=18 122>1