7曲线积分与路径的无关性

1、7.4 曲线积分与路径的无关性曲线积分与路径的无关性一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义设设D是开区域，是开区域， ,P x yQ x y在在D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数.如果如果D内任意两个指定点内任意两个指定点A, B以及在以及在D内从点内从点A到点到点B的任的任意两条曲线意两条曲线L1，L2有：有：12LLPdxQdyPdxQdy恒成立，恒成立，则称曲线积分则称曲线积分 在在D内内与路径无关与路径无关,LPdxQdy 二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件1定理定理、DPQD设 为单连通域,在 上具有一阶连续设 为单连通域,在

2、上具有一阶连续偏导数,则偏导数,则(1)LDPdxQdy 在 内与路径无关在 内与路径无关(2)0,LPdxQdyLD 闭曲线闭曲线可得如下四个等价命题：可得如下四个等价命题： (4),DPdxQdyu x y 在 内为某一函数的全微分,在 内为某一函数的全微分,(3)(3),PQDyx 在 内在 内(4)12,LLPdxQdyPdxQdy12LLPdxQdyPdxQdy 120,LLPdxQdyPdxQdy 0.LPdxQdy (1)(2)(1)(2)证明(2)(3)0.LPdxQdy ,uuPQxy 用定义证明用定义证明( , )M x y00( ,)M x y(, )Nxx y 0M M

3、PdxQdy 当起点固定时只与终点有关，记当起点固定时只与终点有关，记000( , )(,)( , )x yM MxyPdxQdyPdxQdyu x y000(, )(,)(, )xx yxyM MMNu xx yPdxQdy (, )( , )( , )xxMNxu xx yu x yP x y dx (, ),(01)P xx yx 中中值值定定理理(,)uPxyx (,)uQ xyy 同同 理理 ：34（ ） （ ）（ ） （ ）,uuPQxy 22,uPuQx yyy xx PQyx 偏偏 导导 连连 续续41（ ） （）()0LDQPPdxQdydxdyxy12LLPdxQdyPdx

4、QdyQPxy 1“” ,DL如果 内有一个洞为包围这个“洞”的如果 内有一个洞为包围这个“洞”的2L任意闭曲线,为挖掉该“洞”的任意闭曲线,任意闭曲线,为挖掉该“洞”的任意闭曲线,12、LL其中均取逆时针方向.其中均取逆时针方向.则则 3,P x yQ x yD定理设在某复连通域 内具定理设在某复连通域 内具 D有一阶连续偏导数,且在 内恒有有一阶连续偏导数,且在 内恒有2解解23.15 Qx 原积分与路径无关原积分与路径无关 例例1 计算计算 . .其中其中L224(2)()Lxxy dxxydy (0, 0)O(1, 1)Bsin2xy 为由点为由点 到点到点 的曲线弧的曲线弧 .Py

5、2(2)xxyy 2x 24()xyx 2x PQyx 故故 原式原式 120 x dx 140(1)ydy 解解2()2,Pxyxyyy( )( ),Qyxyxxx 2( ,),P xyxy ( ,)( ),Q xyyx 例例2 设曲线积分设曲线积分 与路径无关与路径无关, , 2( )Lxy dxyx dy (1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy (0)0 其中其中 具有连续的导数具有连续的导数, , 且且 , , 计算计算: :PQyx积分与路径无关积分与路径无关，100dx 1.2 2( )xxc 2( )xx ( )2yxxy (0)0 由由0c 知知故故 (1,1)2(0

6、,0)( )xy dxyx dy 10ydy (1,1)22(0,0)xy dxx ydy 解解Py Qx 例例3 计算计算(sin)(cos)xxLIeymy dxeym dy 22,0,0 xyaxym( ,0)a(0,0)其中其中L为由点为由点 到点到点 的上半圆周的上半圆周(sin)xeymyy cosxeym(cos)xeymx cosxey QPmxyL OA Ddxdym,82am OA , 0 082 am.82am I OAL OAI L OAOA ()DQPdxdyxy 00adx () 0 xem(sin)(cos)xxLIeymy dxeym dy 22Lxy dxxy

7、 dyxy 例4 求,其中 例4 求,其中 1 LL为不包围原点的任意闭曲线, 取逆时针方向;为不包围原点的任意闭曲线, 取逆时针方向; 2 LL为包围原点的任意闭曲线, 取逆时针方向.为包围原点的任意闭曲线, 取逆时针方向.D 1 解解LD所围成的区域 为单连通域,所围成的区域 为单连通域, 220.Lxy dxxy dyxy 22222,QPxxyyxyxy 2 解解,QPDxy 复连通域,又在 上复连通域,又在 上1cos ,：sin ,xRLyR 作取逆时作取逆时 针方向,针方向,L 220cossinsincossincosRRRRRRdR 2 . 0,0 ,LD因为 所围成的闭区域

8、包含原点所以 为因为 所围成的闭区域包含原点所以 为 122Lxy dxxy dyxy 224,4Lxy dxxy dyIxy 例5 求其中例5 求其中 221,011,0 .Lxy从点沿上半圆到点从点沿上半圆到点 22222844QPxxyyxyxy 解解所以在不包含原点的单连通区域内曲线积分所以在不包含原点的单连通区域内曲线积分与路径无关与路径无关. 1,0L为了计算方便，将路径 换成从点沿上为了计算方便，将路径 换成从点沿上 22411,0 ,xy半椭圆周到点半椭圆周到点其参数方程为:其参数方程为:1cos ,sin ,0,2xt yt t 从 变到从 变到 011cossinsinco

9、s2sincos22tttttt dt 2244Lxy dxxy dyIxy 2201sincos2tt dt 012dt .2 三、全微分三、全微分 ,P x y dxQ x y dy 对于表达式如果存在对于表达式如果存在 ,：u x y一个函数使得一个函数使得 ,du x yP x y dxQ x y dy ,P x y dxQ x y dyu x y 则表达式称则表达式称函数函数为为 ,u x yP x y dxQ x y dy 的全微分,并称为的全微分,并称为.的一个原函数的一个原函数当条件满足时，函数当条件满足时，函数u(x , y)(不计一常数不计一常数)可由可由曲线积分求出，其形

10、式为：曲线积分求出，其形式为：D定理4 设区域 是一个单连通域，函数定理4 设区域 是一个单连通域，函数 ,P x yQ x yD在 内具有一阶连续偏在 内具有一阶连续偏PQyx ,P x y dxQ x y dyD 导数，则在 内为导数，则在 内为 ,:u x y某函数的全微分的充要条件是某函数的全微分的充要条件是D在 内恒成立.在 内恒成立. 00( , )(,),B x yA xyP x y dxQ x y dy 000,( ,)( , )xyxyu x yP x y dxQ x y dy000(, )( , ).yxyxuQ xy dyP x y dx或或定义 如果方程定义 如果方程

11、,0P x y dxQ x y dy ,P x y dxQ x y dy 的左边恰好是某函数的左边恰好是某函数 ,u x y 的全微分,则称方程的全微分,则称方程 ,0P x y dxQ x y dy为全微分方程.为全微分方程. ,0P x y dxQ x y dy 为全微分方程为全微分方程.PQyx ,0P x y dxQ x y dy若不是全微分方程，若不是全微分方程， ( , ),( , ),0( , )x y P x y dxx y Q x y dyx y 而若而若是全微分方程，叫做方程的一 分因子。是全微分方程，叫做方程的一 分因子。积积 ,0P x y dxQ x y dy若为全微

12、分方程,若为全微分方程, ,u x y则存在函数使得则存在函数使得 ,0,du x yP x y dxQ x y dy ,.u x yC ,0u x yCP x y dxQ x y dy为全微分方程为全微分方程的通解.的通解.应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP 可得通解如下：可得通解如下：通解为通解为：( , )u x y ,u x y ( , );u x yC 或或000( ,)( , )xyxyP x y dxQ x y dy 000(, )( , )yxyxQ xy dyP x y dx 22，xoyxy dxx ydy 例6验证在平面内例6验证在平面内，是某函数的全

13、微分并求出一个这样的函数.是某函数的全微分并求出一个这样的函数.2,QPxyxy解解22xy dxx ydy是是 ,u x y某函数的全微分.某函数的全微分.000,0,xy取取 ,u x y 200 xxdx 20yx ydy 22.2x y 3232(3)(3)0.xxydxyx y dy求方程求方程的通解的通解解解6,PQxyyx 是全微分方程是全微分方程,( , )u x y 44223,442xyx y例例7 730(0)xxdx 44223.442xyx yC原方程的通解为原方程的通解为 3203yyx y dy 00( , )(,)( , ),x yxyu x yP x y dx

14、Q x y dy 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122222 (1)0.xxy dxxydy 的通解的通解解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合, ,有有例例8 8 求微分方程求微分方程22220,xdxxxydxxydy2222()()0,d xxyd xxydy222()()0,d xxyd xy原方程的通解为原方程的通解为32222().3xxyC23.1dyxxydxx 求微分方程的通

15、解求微分方程的通解例例9解解 整理得整理得23()(1)0,xxy dxx dy1,PQyx.是全微分方程是全微分方程A. 用曲线积分用曲线积分法法: :()u x,y 2300()(1)xyxxdxx dy,3434xxyxy34()034xxdyd xydd ，34()0.34xxd yxyB. 凑微分法凑微分法: :23()0,dyxdyydxx dxx dxB.凑微分法凑微分法3434xxyxyC23()(1)0,xxy dxx dyC .不定积分不定积分法法: :23,uxxyx 23()uxxy dx 34,34( )xxxyC y( ),uxCyy 1,uxy 又又( )1,xC

16、yx ( )1,Cy ( ),C yy 原方程的通解为原方程的通解为34.34xxyxyC23()(1)0,xxy dxx dy 01,x 例10设函数具有连续的导数,且例10设函数具有连续的导数,且 ,x 试确定使方程试确定使方程 220 xyyx y dxxxy dy为全微分方程,并求此方程的通解.为全微分方程,并求此方程的通解. 2,2,Pxyyx yQxxy 解解使方程为全微分方程的充要条件是使方程为全微分方程的充要条件是QPxy 即得即得 ,01.xxx 且且此方程为一阶线性非齐次方程, 其通解为此方程为一阶线性非齐次方程, 其通解为 dxdxxexedxC 1,xCex 01,2,

17、C 由由 21.xxex 所以所以代入所给方程得全微分方程代入所给方程得全微分方程 222210.xxyyyedxexxydy ,20,0,2221x yxxu x yyyyedxexxydy ,01.xxx 且且 0221yxexxydy 22.xyexyxyy 因此,方程的通解为因此,方程的通解为22.xyexyxyyC ,20,0,2221x yxxu x yyyyedxexxydy 四、空间曲线积分与路径无关的条件四、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理 设在某曲面单连通域设在某曲面单连通域G内，函数内，函数 , ,、, ,、, ,P x y zQ x y zR x y zG在 内具有在 内具有一阶连续偏导数,则空间曲线的曲线积分一阶连续偏导数,则空间曲线的曲线积分LPdx QdyRdz GG在 内与路径无关 或沿 内任意闭曲线的曲线在 内与路径无关 或沿 内任意闭曲线的曲线 G积分为零的充分必要条件是在 内恒有积分为零的充分必要条件是在 内恒有0ijkxxxPQR 四个等价命题见四个等价命题见P201 000, ,