最短路径问题专项练习

1、最短路径问题专项练习共13页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段(之和)最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化)1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线 的交点即为所求.如图所示，点A, B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C,使C/V CB最短，这 时点C是直线l与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于 这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示

2、，点A, B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C,使C知CB最短，这 时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB的交点.为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接AC , BC ,B' C',证明 AO CB< AC + C B 如下：证明：由作图可知，点 B和B'关于直线l对称，所以直线l是线段BB的垂直平分线.因为点C与C'在直线l上，所以 BC= B' C, BC = B' C .在AB' C'中，ABAC + B' C',所以 AO B'

3、; C< AC + B' C',所以 AO B(k AC + C B.【例1】 在图中直线l上找到一点 M使它到A, B两点的距离和最小.分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线 l的交点M即为所求的点.解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B'(2)连接AB'交直线l于点M(3)则点M即为所求的点.点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2 .运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质， 将所求线段之和转化为一条线段的长， 是解决距

4、 离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小 这个核心，所有作法都相同.警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题， 不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问.3 .利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上. 如果两点在一条直线的同侧时， 过两点 的直线与原直线的交点处构成线段的差最大， 如果两点在一条直线的异侧时， 过两点的直线与 原直线的交点处构成的线段的和最小， 都可以用三角形三边关系

5、来推理说明， 通常根据最大值 或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为 零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段 转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.【例2】 如图，小河边有两个村庄 A, B,要在河边建一自来水厂向 A村与B村供水.(1)若要使厂部到 A, B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到 A, B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A, B两点距离相等，可联想到“线段垂

6、直平分线上的点到线段两端点的距 离相等”，又要在河边，所以作 AB的垂直平分线，与 EF的交点即为符合条件的点.(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之.间线段最短”，作A(或E)点关于EF的对称点，连接对称点与 B点，与EF的交点即为所求.解：(1)如图1,取线段AB的中点G,过中点G画AB的垂线，交EF于P,则P到A, B的 .1距离相等.也可分别以 A、B为圆心，以大于1AB为半径回弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求.(2)如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A',连接A' B交EF于P,则P到A, B的距 离和最短.【例3】 如图

7、，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引：从 A到B要走的路线是 Z阳NR B,如图所示，而 MN定值，于是要使路程 最短，只要 AMb BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，平移MNHU AC从C到B应是余下的路程，连接 BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN为所建的桥.解：（1）如图2,过点A作AC垂直于河岸，且使 AC等于河宽.（2 ）连接BC与河岸的一边交于点 N（3）过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M则MN所建的桥的位置.思维拓展创新应用4 .生活中的距离最短问题由两点之

8、间线段最短（或三角形两边之和大于第三边 ）可知，求距离之和最小问题， 就是运从而解决这个问题， 运用轴对如图，AO B0= AC的长.所用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上， 称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段, 以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.桌子摆成如图a所示两直排【例4】（实际应用题）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会, （图中的AO BO, A0桌面上摆满了橘子，OBg面上摆满了糖果，站在 C处的学生小明先拿橘图b子再拿糖果，然后到 D处座位上，请你帮助他设计ACD*B图a解：如图b.（1）作C点关于OAW对称点Ci,作D

9、点关于0B的对称点D, （2）连接CD,分别交0A OBT P, Q那么小明沿 O A CHD的路线行走，所走的总路程最短.5 .运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.【例5】 如图所示，A, B两点在直线l的两侧，在l上找一点C,使点C到点A、B的距 离之差最大.3月K分析：此题的突破点

10、是作点 外或均关于直线l的对称点A'（或B'）,作直线A' B（AB'） 与直线l交于点C,把问题转化为三角形任意两边之差小于第三，边来解决.解：如图所示，以直线l为对称轴，作点 A关于直线l的对称点A' , A' B的连线交l 于点C,则点C即为所求.理由：在直线l上任找一点C'（异于点。，连接CA C A, C A', C B.因为点A, A'关于直线l对称，所以l为线段AA'的垂直平分线，则有 CA= CA，所 以 CA-CB= CA -CB= A' B.又因为点 C'在 l 上，所以 C A

11、= C A'.在 A' BC'中，C A C B= C A' C' B< A' B,所以 C' A' C B< CA- CB点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一 种方法.三、例题: 例1、如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧 面爬到点B处，则它爬行的最短路径是 。如右图是一个长方体木块，已知 AB=3,BC=4,CD=2假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是例2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水

12、泵站修在河 边什么地方可使所用的水管最短。李庄.B张村.A . L如图，直线L同侧有两点A B,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3, 两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB勺和最小。请在图中找 出点P的位置，并计算PA+PB勺最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边 的垂直距离分别为IKmffi 3Km张村与李庄白水平距离为 3Km则所用水管最短长.李庄度为张村.四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4假设一只蚂蚁在点A处, 它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。第1题2、现

13、要在如图所示的圆柱体侧面 A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽 略不计），圆柱体高为6cm,底面圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的最小值为 03、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm,底面圆的周长为24cm,则蚂蚁爬行的最短路径 为 。DW MN4、正方形 ABCD勺边长为8, M在DC上，且DW 2, N是AC上的一动点,5、在菱形 ABCm，AB=2点E是AB的中点,/BAD=60 ,P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB勺最小值为。6、如图，在 ABC中,AO BO2, /ACB= 90° , D是BC边的中

14、点，E是AB边上一动点，则EJ ED的最小值为 。7、AB是。的直径，AB=Z OC是。的半径，OCL AB,点D在AC上，AD = 2CQ点P是半径OC±的一个动点，则AP+PD勺最、俏为 。(二)8、如图，点P关于OA OB的对称点分别为 G D,连接CD交OA于M 交OB于N,若C518cm,则 PMN勺周长为。9、已知，如图DE是4ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DEi BC于E,且AC =5, BO 8,则4AEC的周长为。11、如图，在锐角 ABC中,AB= 4地,/BAC= 4510、已知，如图，在 ABC中，AB< AC BC边上的垂直平分线 DE交BC于

15、点D,交 AC于点E, AO8, 4ABE的周长为14,则AB的长。,/ BAC的平分线交BC于点D, M N分别是AD和AB上的动点，则BM+MI®最小值是.12、在平面直角坐标系中，有 A (3, 2), B (4, 2)两点，现另取一点C (1, n), 当n =时,AC + BC的值最小.第11题第14题第15题13、4ABC中，/ C = 90 0 , AB = 10 , AC=6,BC=8过 AB边上一点 P 作 PEL AC于E, PF71 BC于F, E、F是垂足，则EF的最小值等于.14、如图，菱形 ABCE, AB=2, / BAD=60，点 E、F、P 分别是

16、AB BC AC上的动点，则PE+PFF勺最小值为.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸 a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD问桥址应如何选择，才能使 A村到B村的路程最近?16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A (2, 0), B (0, 4).(1)求该函数的解析式；(2) O为坐标原点，设OA AB的中点分别为C、D, 的最小值,并求取得最小值时 P点坐标.(三)16、如图，已知/ AO时有一点P,试分别在边OA?口 OB上各找一点E、F, 使得4PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线. 实验与探究：(1

17、)由图观察易知A (0, 2)关于直线l的对称点A的坐标为(2, 0),请在图 中分别标明B (5, 3)、C( 2, 5)关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写 出他们的坐标：B， 、C，;归纳与发现：(2)结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标 平面内任一点P (a, b)关于第一、三象限的角 平分线l的对称点P'的坐标为; 运用与拓广：(3)已知两点 D (1, 3)、E(-1, 4),试 在直线l上确定一点Q,使点Q到D E两点的 距离之和最小，并求出Q点坐标.18、几何模型：条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点.问 题：在直线L上确定一点P,使PA+PB勺

18、值最小. 方法：作点A关于直线l的对称点A',连结A'B 交l于点P ,则PA + PB= A'B的值最小(不必 证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC上一动点.连 结BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则 PB中E的最小值是；(2)如图 2, OO的半径为 2,点 A、B、C 在。O上，OA,OB,，AOC=60。， 标准文案BDPCBBBAAElA .POA图1DE为边BC的中点，P为BDAB = 10cmAB = 10cm,PC + PE的最小值;ADADCBQ图3(1)如图，四边形A

19、BCD是正方形， 上的一个动点，求PC+PE的最小值；(2)如图，若四边形ABCD是菱形， 的一个动点，P为BD上的一个动点，求问题解决(3)如图，若四边形 ABCD矩形,AB=10cm, BC=20cm, E为 边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；L1JBBEC实用文档是OB上一动点，求PA + PC的最小值；(3)如图 3, /AOB=45 , P 是/AOBft一点，PO=10 Q R分别是 OA OB上的 动点，求 PQRH长的最小值.RC-PN ABC = 45。，E 为边 BC 上A19、问题探究3C图2标准文案20.如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为

20、(-2, 0),连结0A,将线段OA绕原点 O顺时针旋转120 ,得到线段OB.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使BOC勺周长最小？若存在， 求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.(注意：本题中的结果均保留根号) 解：(1)过点B作BDL x轴于点D,由已知可得：OB=OA=2/BOD=60.在RtAOBD 中，/ ODB=90 / OBD=30.四解得：a=*b=2,c=0. 33 .OD=1 DB= 3(2)设所求抛物线的解析式为知可得:c = 04a -2b c =0点B的坐标是(1,百)y = ax2 bx

21、 c ,由已< a +b +c =出所求抛物线解析式为y=x ，一 ，J W3)2x.33(3)存在.由1争2+亭x配方后得：尸泉爪"?,抛物线的对称轴为x=- 1.(也写用顶点坐标公式求出).OB=2要使BOC勺周长最小，必须 BC+CCM小.点O与点A关于直线x=1对称，有CO=CA. BOC勺周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.当A G B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CAft小, 此时 BOC勺周长最小.设直线AB的解析式为y =kx+b,则有：|k+b = Q-2k b = 0解得：k=3,b=233直线AB的解析式为y=1x+友 33

22、当 x= 1 时， y = 321、如图，抛物线y=ax,交x轴于A、B两 3所求点C的坐标为(-1,34734a解得2f(列出方程组给1分，解出给2分)抛物线的解析式为y=Y3x2_Rlx_J3 4 分33(2)设点 A (x1? 0), B(X2, 0),则 x2 -拽 x->/3 = 0,33解得 x1 =1, x2 =35分I OAI =1, I OBI =3.又tan/OC& l2BJ = Q|OC| ./OC氏 60° ,同理可求 / OCAf 30° . ./AC氏 90°6 分由旋转性质可知A捻BD, BG= AD四边形ADBO平行四

23、边形7分又/AC氏90° . .四边形ADBO矩形 8分(3)延长BC至N,使CN=CB.假设存在一点F,使4FBD的周长最小.即FD +FB +DB最小.DB固定长.只要FD+FB最小.又: CALBN .FD+FB= FC+FN.当N F、D在一条直线上时，FD+FB最小. 101又C为BN的中点， .FC= AC (即F为AC的中点).2又. A (-1, 0), C (0, - V3);点 F 的坐标为 F (-,22存在这样的点F (1,使得 FBD的周长最小.-12分 2211 2.22.已知：直线丫=一*+1与丫轴父于A,与x轴父于D,抛物线y=-x +bx + c与 22直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当 PAE是直角