最新浙教版一元二次方程知识点及习题

1、一元二次方程知识点及习题（一）1、认识一元二次方程:概念：只含有一个未知数，并且可以化为ax2+bx+c = 0 （ a,b,c为常数,a #0）的整式方程叫一兀二次方程。构成一元二次方程的三个重要条件：、方程必须是整式方程（分母不含未知数的方程）。22如：x223 = 0是分式方程，所以x2-3-3 = 0不是一元二次方程 xx、只含有一个未知数。、未知数的最高次数是2次。2、一元二次方程的一般形式：般形式：ax2+bx+c=0 （ a#0）,系数a,b,c中，a一定不能为0, b、c则可以为0,其中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫 做一次项系数；c叫做常数项。任何

2、一个一元二次方程经过整理（去括号、移项、 合并同类项）都可以化为一般形式。例题：将方程（x -3）（3x+1） =x2化成一元二次方程的一般形式.解： （x-3）（3x 1）=x2去括号，得：3x2-8x-3=x2移项、合并同类项，得：2x2-8x-3 = 0 （ 一般形式的等号右边一定等于0）3、一元二次方程的解法：（1）、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式：（x a）2 二 b（2）、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：a2 ±2ab + b2 =（a±b）2 ,将原 方程配成（x +a）2 =b的形式，再用直接开方法求解.）（3）、公式

3、法：（求根公式：xj""4变）2a、分解因式法：（理论依据：a,b = 0,则a = 0或b = 0；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。）一：一元二次方程的定义例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）-/ 2 一 ,11A 3x1 =2x1B-12 1 -2 = 0x xC ax2 bx c = 0D x2 2x = x2 12、若方程（m+2）x1m1+3mx+1 = 0是关于x的一元二次方程，则（）A. m = ±2B . m=2C . m # 2D . m # =23、关于x的一元二次方程（a1） x2

4、+ x+a2 1=0的一个根是0。则a的值为 （）1A、 1 B 、一 l C 、 1 或一1 D、24、若方程（m-1 x2+而x =1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 o,225、关于x的方程（a +a-2）x +ax+b=0是一元二次方程的条件是（）A、a. b 、aw 2 C 、aw1 且aw 2 D、aw1或aw-2二：一元二次方程的解1、关于x的一元二次方程（a-2 k2 +x + a2-4 = 0的一个根为 0,则a的值为 o2、已知方程x2 +kx-10=0的一根是2,则k为，另一根是。3、已知 a是 x2 -3x +1 =0 的根，贝U 2a2 -6a =。4、若方

5、程ax2+bx+c=0（a金0）中，a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是O5、方程（a b X + （b c x + c a = 0 的一个根为（）A -1 B 1 Cb -c D -a课堂练习：1、已知一元二次方程x2+3x+m=0的一个根为-1 ,则另一个根为 2、已知x=1是一元二 次方程x2+bx+5=0的一个解，求b的值及方程的 另一个根.3、已知2y2+y3的值为2,贝114y2 +2y+1的值为4、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+ c = 0(a =0 )的系数满足a + c = b,则此方程必有一根为。三：一元二次方程的求解方法一、直接开平方法1 x

6、 2 一9 = 0;二、配方法r_ .练习1、如果二次三项式x2 -2(m+1)x+16是一个完全平方式，那么 m的值是2、试用配方法说明x2-2x+3的值恒大于0。3、已知 x2 + y2 +4x -6y +13 = 0, x、y 为实数，求 xy 的值。4、已知x、y为实数，求代数式x2 + y2 + 2x -4y+7的最小值。二、公式法1、x2-2x-8=02、2x2-5x+1=0四、因式分解法1、x2 =2x 2、(x1)2-(2x-3)2=03、x2-6x 8 = 0五、整体法例：（a2 +b2 2 -（a2 +b2 ）6 = 0,贝匕2 +b2 =。变式 1:若（x + y j（2

7、 一 x 一 y ）+ 3 = 0 ,则 x+y 的值为。变式 2:若 x2+xy+y=14, y2+xy+x = 28,则 x+y 的值为变式 3:已知（x2 +y2+1）（x2+y2 -3） =5,则 x2+y2 的值等于。四：一元二次方程中的代换思想（降次）典例分析：1、已知x2-3x+2=0,求代数式 肾二上匕口的值。x -12、如果x2+x-1=0,那么代数式x3+2x2-7的值。3、已知5 P是方程x2 -x-1=0的两个根，那么u4+3B=.a3 2a 2 5a 14、已知a是一兀二次万程x2 -3x+1 =0的一根，求-一名一5a1的值。a2 1五：根的判别式1、若关于x的方程

8、x2+2Vkx-1=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围 是 02、关于X的方程kx2 -6x+1 =0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（A、k>9B 、k<9 且 kw0 C 、k<g d 、k09 且 kw03、关于x的一元二次方程（m-1 k2+2mx+m = 0有实数根，则m的取值范围是 （）A. m _ 0且m 1 B. m - 0 C. m = 1 D. m 14、对于任意实数 m关于x的方程一定（）A.有两个正的实数根B.有两个负的实数根C.有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根课堂练习：1、已知关于x的方程X2 +(2m+1)x+m2+2 = 0

9、有两个不等实根，试判断直线y=(2m-3)x 4m + 7能否通过A ( 2, 4),并说明理由。2、若关于x的方程kx2 -4x + 3 = 0有实数根，则k的非负整数值是 。3、已知关于x的方程x2 -(k+2)x +6 _k = 0有两个相等的正实数根，则 k 的值是()A.B.C. 2 或 D.4、已知a、b、c为AABC的三边，且关于 x的一元二次方程(c +b卜2十&(a -cx-3(a-c)=0有两个相等的实数根，那么这个三角形 4是 05、如果关于x的方程mx2 -2(m+2 k+m+5 = 0没有实数根，那么关于x的方程 (m -5 x2 -2(m + 2 x + m = 0 的实根个数是 。6、已知关于x的方程x2 -(k+2 x+2k =0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求 AABC的 周长。7.用简便方法计算.(1) 6版X ( 4版);(2)弋(-64) 6 (- 81);(3)1452-242;(4)8.已知 2>/5x=求x的值.9.已知A =3'用二匹?2,求10.已知a+工a