第3章 刚体力学基础

1、-第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础3.1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 3.2 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 3.3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律守恒定律 - 刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转动的动力学方程和动能定理，刚体绕转动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴转动的角动量定理及角动量守恒定定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律。律。-3-1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 定义：在任何外力的作用下，其形状和大小

2、完全不变的物体定义：在任何外力的作用下，其形状和大小完全不变的物体。 二、刚体的基本运动1.刚体的平动刚体的平动刚体是一种刚体是一种理想模型理想模型。一、刚体研究方法：把刚体分解成许多质点（研究方法：把刚体分解成许多质点（质元质元），并把这些质），并把这些质元看成不变质点系，运用质点系的规律来研究。元看成不变质点系，运用质点系的规律来研究。 刚体上任意两质元间刚体上任意两质元间的连线在运动过程中始终的连线在运动过程中始终平行平行于它们初始位置间的于它们初始位置间的连线，这样的运动成为刚连线，这样的运动成为刚体的平动。体的平动。-AA2.刚体的转动刚体的转动 若刚体上所有质元都绕若刚体上所有质元

3、都绕同一直线（轴）同一直线（轴）作圆周运动，这作圆周运动，这样的运动称作样的运动称作刚体的转动刚体的转动 ，这条直线称，这条直线称转轴转轴。非定轴转动非定轴转动：定轴转动定轴转动：定轴转动的特点：定轴转动的特点：转轴相对参考系固定，转轴相对参考系固定，刚体内所刚体内所有点都具有相同的角位移、角速度、角加速度有点都具有相同的角位移、角速度、角加速度。这。这些角量也称刚体的角量。些角量也称刚体的角量。- 刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心轴的转绕质心轴的转动动+-3-2 刚体刚体 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律FrM 一、力矩1.1.定义：定义：Pz*OMFrdM

4、方向：右手螺旋法则方向：右手螺旋法则单位：单位： NmNm大小大小: :FdFrMsin2.2.物理意义：物理意义： 力矩是决定刚体转动的物理量力矩是决定刚体转动的物理量, ,表明力的大小、方向表明力的大小、方向和作用点对物体转动的影响。和作用点对物体转动的影响。-二、刚体定轴转动的转动定律 把刚体看成是由许多质元所组把刚体看成是由许多质元所组成的质点系，对于质元成的质点系，对于质元i i，假设它，假设它的质量为的质量为 ，所受的外力为，所受的外力为 ，内力为内力为 ，则，则iFifim对对 m mi i 用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：iiiiamfF切向分量式为：切向分量式为：iiiiii

5、iirmamfFsinsin两边同乘两边同乘ir2sinsiniiiiiiiirmrfrF外力矩外力矩内力矩内力矩-对所有质元求和：对所有质元求和：)(sinsin2iiiiiiiiiiirmrfrF所有的外力矩的和。，表示作用在刚体上的iiiirFMsin刚体内相互作用力的力矩之和为零，令刚体内相互作用力的力矩之和为零，令则：则：转动惯量。，成为刚体绕轴转动的iiirmJ2标量式JM 刚体绕固定轴转动时，所获得的角加速度的大小与其所受刚体绕固定轴转动时，所获得的角加速度的大小与其所受到的合外力矩成正比，与转动惯量成反比；角加速度的方向与到的合外力矩成正比，与转动惯量成反比；角加速度的方向与合

6、外力矩的方向一致。这就是定轴转动刚体的合外力矩的方向一致。这就是定轴转动刚体的转动定理转动定理。 -JM 1. 与与 地位相当，地位相当，m反映质点的反映质点的平动惯性，平动惯性，J反映刚体的转动惯性。反映刚体的转动惯性。说明：说明：amF2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向,，所以用所以用正负号表示方向正负号表示方向。-三、转动惯量三、转动惯量22,di iJmrJrm1.物理意义物理意义：转动惯性的量度。：转动惯性的量度。S

7、I单位单位2kg m2.转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法: 质量质量离散离散分布刚体的转动惯量分布刚体的转动惯量2221 12 2i iJmrmrm r 质量质量连续连续分布刚体的转动惯量分布刚体的转动惯量22di iJmrr m：质量元质量元md- 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量22di iJmrr m：质量元：质量元md-1.转动动能转动动能:刚体绕定轴转动时的能动。刚体绕定轴转动时的能动。221222121)(2121JrmrmEniiiiinik221 JEk 刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘

8、积的一半。量与角速度平方乘积的一半。比较比较：JLEk22 mpEk2 2 221 mEk 221 JEk 3-3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理2222121iiiikirmvmE第第i i个质元的动能：个质元的动能：刚体的动能：刚体的动能：-2.力矩的功力矩的功 ziriFrdd i iiirdFdWiiirdFcosdrFdsFiiiidMi对对i求和，则力矩的元求和，则力矩的元功功 dMdWi MddMi )(M为作用于刚体上为作用于刚体上外力矩之和外力矩之和 (内力矩之和为零内力矩之和为零) MddW 21 MdW力矩的功率为：力矩的功率为：MdtdMdtdWP当输出功

9、率一定时当输出功率一定时,力矩与角速度成力矩与角速度成反比反比。-3. 刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理： dMW21dJ21 ddtdJ 212122212121JJdJW)21(221JMd 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。-定义定义: 质点相对于质点相对于O O点的矢径点的矢径 与与质点的动量质点的动量 的矢积定义为的矢积定义为该时刻质点相对于该时刻质点相对于O O点的角动点的角动量，用量，用 表示表示: : r一.质点的角动量rvmL

10、prL 大小大小: L=rpsin 方向：右螺旋方向：右螺旋单位：单位： kgm2s-1特例：特例：Lrm =mr2 当质点作圆周运动时，当质点作圆周运动时，23-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 -2.定轴转动的角动量守恒定轴转动的角动量守恒0 izM若若则则 L=J = 恒量恒量 外力对某轴的力矩之和为零，则该物外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒体对同一轴的角动量守恒. 刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒 总角动量总角动量 L= J1 1 +J2 2 += 常量常量 -角动量守恒定律的两种

11、情况：角动量守恒定律的两种情况：(1) 转动惯量保持不变的刚体转动惯量保持不变的刚体00,0 则时，当JJM例：回转仪例：回转仪(2) 转动惯量可变的物体转动惯量可变的物体当当J增大时，增大时， 就减小就减小 当当J减小时，减小时， 就增大就增大 而而 保持不变保持不变 J例：旋转的舞蹈演员例：旋转的舞蹈演员J1 -装置反向转动的双旋翼产装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消生反向角动量而相互抵消-例例: 一根质量为一根质量为m长为长为2l的均匀细棒，可在竖直平面的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置，一质量

12、为置，一质量为m/的小球，以速度的小球，以速度u垂直落到棒垂直落到棒r端点。端点。设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹速度速度u/及棒的角速度及棒的角速度 ？（忽略轴处摩擦）（忽略轴处摩擦）om/u解：杆的角速度解：杆的角速度 如图示如图示,假设小球碰后瞬时的速度假设小球碰后瞬时的速度u/ 向上向上u/ 系统系统：小球：小球+杆杆条件条件：M外外=0 角动量守恒（轴力无力矩；小球的角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）/)(ulmlmuml 22121 (1)-/)(ulmlmuml 22121 (1)因