数形结合例题选集

1、数形结合一、在一些命题证明中的应用举例：1、证明勾股定理：，一,22224 (0.5ab) (a b) a b c* ；包信号:岑h1口:解析：上图中，四个小三角形(阴影部分)的面积加上中间小正方形的面积等于 大正方形的面积，化简后得到勾股定理 a2 b2 c2。2、证明乘法公式(平方差与完全平方)(a b)2 a2 b2 2ab解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化， 能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。3、证明基本不等式:a bT，解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为 根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的

2、长度为 然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几 何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。4、证明正(余)弦定理:解析:1(1)如上图所小，ABC的面积S -a h1a bsinC bsinC csinB 2，即b_工，同理可得sinB sinCsinA根据圆的性质(等弧对等角)sinB sinC 'a - aA D, sinA sinD ，即2R ；2R sinA综上，得正弦定理:2R 0sinA sinB sinC(2)根据勾股定理AB2 BE2 AC2 CE2,即c2 (c cosB)2 b22(a c cosB)；整理可得余弦定理:2ac5、证明

3、结论 tanx x sinx, x (0,一) 2解析：如上图所示，根据 y=tanx、y=x、y=sinx在x (0,)上的图像可看出2tanx>x>sinx , x (0,万)。当然,实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图的单位圆中，当x (0,)时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线 2可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式 l R x 1 x,即图中黑色弧线的长度表示x,显而易见。红线长度 >弧线长度 >蓝线长度，即tanx>x>sinx , x26、证明两角差的余弦公式:解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单

4、位圆上的点的坐标表示。左图中，AB2 (cos cos)2 (sinsin )2,将B点旋转至(1, 0)处(右图所示)。此时，AB2 cos() 12 sin ()2,因为线段AB的长度没有发生变化，即(cos cos )2 (sin sin )2 cos () 12 sin ()2,化简:cos() cos cos sin sin 。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。如左图，cosOA OB (cos , sin ) (cos , sin )OA OBcos cos sin sin 。二、在考试中的具体应用：1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数

5、及参数范围等方面：例1 (14奉贤)已知定义在R上的函数y=f (x)对任意x都满足f (x+2) =-f (x),当-1 x 1时，f (x) x3,若函数g (x) f (x) logax只有四个零点，则a的取值范围是、1 1答案：(,)(35 3解析：根据已知条件，f (x)的周期为4,先画f (x) 一个周期图像，当1 x<3 时，f (x2)(x2)2-f (x) , f (x) -(x2)2 ,由此画出-1,3)的图像，此为一个周期，图像如下， g (x) f (x) logax只有四个零点即 f (x)与y=loga x只有四个交点，需分类讨论:评注：数形结合体型，一定要结

6、合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。log2x,0 x 4例2 (14闵行)f (x)2 n 70 ，若a、b、c、d互不相同，且f2x2 8x -70, x 4 33(a) =f (b) =f (c) =f (d),则 abcd 的取值范围是答案：(32, 35)解析：根据题意，如下图所示，ab=1, abcd=cd=c (12 c) 12 c2, 4<c<5,所以答案是(32, 35)。评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相关性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图时，虽说是草图

7、，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间时，务必考虑区间的开闭情况。变式 已知函数f (x) =|x-1|-1|,若关于x的方程f (x) =t (t R)恰有四个互不相等的实数根x1、x2、x3、x4(x1x2 x3x4),则x1x2x3x4的取值范围是答案：(3, 4)解析：根据题意，如下图所示，x1x20,x1x2 x3x4x3x4x3(4x。=4x3 x2，x3 (12)。b. a b例3 (14杨浦)止义一种新运算：a b。已知函数f (x) = (1 +a, a b4一)10g2x ,右函数g (x) =f (x) -k恰有两个布点，则k的取值氾围是()xA. (1, 2 ; B.

8、 (1, 2); C. (0, 2); D. (0, 1)答案：B，4,，4,1log2x1144解析：f (x) (1 ) log2xxx x' ',如下图x.4log2x, log2x 1 -10g2x,0 x 4x所示：令g (x) =f (x) -k=0,问题转化为函数y=f (x)与函数y=k有两个交点，则k (1,2)。评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题， 数 形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k的取值范围等。例4 (14宝山)关于函数f (x) =xL ,给出下列四个命题：1X1 1当x>0时，y=f (

9、x)单调递减且无最值；方程f (x) =kx+b (k 0) 一定有解；如果方程f (x) =k有解，则解的个数一定是偶数；y=f (x)是偶函数且有最小值。则其中真命题是答案：、解析：含绝对值、分类讨论。先画x>1和0Vx<1的部分，然后根据偶函数的性质 (关于y轴对称)画出左半部分，函数图像如下图所示：评注：含绝对值的数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，画出函 数图像，再结合函数性质，一般是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进行分析筛选。例5 (14奉贤)定义在(0,)上的函数f (x)满足:当 x 1,3)时，f (x)1,1x2 x,2 x 3,f (3x)

10、 =3f (x)0设关于x的函数F (x) =f(x) -1的零点从小到大依次记为Xi、 x2、 x3、 x4、x5、,贝 x1 x2 x3 x4x5答案：50答案也就呼之欲出，这就是数形结合在直观呈现方面的快捷。解析：结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，x1 x2 x3 x42、与三角函数的综合运用:例1 (14十三校联考)已知f (x) =asin2x+bcos2x (a、b为常数)，若对于任x R都有f (x) f (,则方程f (x)0在区间0,内的解为2答案：x=或x 63解析：根据“若对于任意xR都有 f (x) f (5") ”可知，当x=5-时，函数

11、图 1212像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为，因为函数的最值横坐标与相邻零点之间相差1个周期，即一，所以在区间0,内的解(即在区间0, 4452内的零点)为x=5-,即x 或x 012463评注：本题看似复杂，因为有字母 a、b,但只要理解了 “三角函数的最值横坐标与相邻零点急间相差 工个周期”这样的图像性质，结合图像原理，就迎刃而解 4了。例2 (14闸北)设a>0且a 1,已知函数f (x) =ax 2sin2 x 2( x 0)至少有5个零点，则a的取值范围为答案：(0, 1)(1, 2)解析：就是求函数y 2sin2x与函数y 2 ax在x (0,)上的交点个数，分两种

12、情况:(1)当0<a<1时，在x (0,)两个函数图像有无数个交点，如下图所示:所以0<a<1时，满足至少有5个交点(2)当a>1时，如下图所示，在x (0,)要至少5个交点，函数y 2 ax在x=1处要大于0即2-a>0, a<2,满足至少有5个交点。评注：这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数交点个数问题, 注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。例3 (14虹口)函数f (x) =2sin x与函数g (x) 3Jx1的图像所有交点的横坐标之和为答案：17即一对对称交点的横坐标之和为 2,总共有8对关于点(1,0)对称的点，再加 &

13、#177;(1,0)点本身，即所有交点的横坐标之和为 17。评注：本题首先要熟悉函数的图像变换， 精确画出函数图像，然后再研究交点的 特性，在这道题中，交点关于点(1,0)对称的，在这个前提下，求横坐标之和 就转化成简单的中点问题。例 4 已知函数 y=f (x),任取t R ,定义集合：At y |yf (x),点P (t,f (t) ),Q (x,f (x) ,PQ72, 设Mt和mt分别表示集合At中元素的最大和最小值 ，记h (t) M t mt,则：(1)若函数 f (x) =x,则 h (1)=(2)若函数f (x) =sin x ,则h (t)的最大值为 2答案：(1) 2; (

14、2) 2解析：定义的意思是函数y=f (x)在以定点P (点P在函数图像上)为圆心半径为&的圆内的部分，这部分函数图像的值域即 At(1)定点P (1,1),如下图所示，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2,最小值为0,所以h (1) =2(2)对于f (x) =sin x ,函数最大值与最小值之差 2,如下图所示，通过理解观察，可得出At能够同时包含最大值和最小值，所以 h (t)的最大值为2,止匕时t=2k , k Z。评注：这是一道理解性的定义体型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像 分析就不难了。sinx, x 0,2(x 2), x (2,),有以下四

15、个命题:例5 (14闵行)对于函数f (x) = i-f2任取xi、x2 0,)，都有f (x1)f (x2)| 2包成立；f (x) =2kf (x+2k) (k N ),对于一切 x 0,)恒成立；函数y=f (x) -In (x-1 )有3个零点；对任意x>0,不等式f (x)K包成立，则实数k的取值范围是-,)x8则其中所有命题的序号是答案：、解析：根据下图所示可知：选项是 2k,选项反比例函数图像至少要满足点像尽量做到精确，才能避免差错3、与解析几何的综合运用：例1 （14闸北）设曲线C: x2 y2 2 2何又|y）,则曲线C所围封闭图形的 面积为答案：32833解析：因为图

16、像关于x轴、y轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限 x>0, y>0,绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于 x轴、y轴对称翻折，如 下图所示，根据题目数据，可得 ABC 150 , AB=Z可以先算第一象限的面积， 由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以 4,全面积为 丝 队耳。3评注：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出方程图像，割补法求面积。变式由曲线x2 y2 x y所围成的封闭图形的面积为答案：2+例2 （14金山）已知直线l : 4x-3y+6=0,抛物线C: y2 4x图像上的一个动点P到直线l与y轴的距离之和的最小值是答案：1解析：

17、结合题意，画出直线与抛物线的草图，找到点 P到直线l与y轴的距离之 和，如下图所示，即 PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-PH' 1,PH'用点至IJ直线距离公式 求出来等于2,所以答案为1。评注：注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，如本题中用到了 “抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离” 这个性质，然后结合图像进行转化2例3 （14金山）已知有相同焦点E、F2的椭圆2X 2y 1( m 1)和双曲线一y=0(n 0),点P是它们的一个交点，则 SF1P后答案：D解析:法一：如下图所示，由题意得：c2mini, PF1 PF2 2, m, PF2PF,2%h

18、,两式平方相减得：PFPF2m n 2,所以PF；PF；(PF,PF,)222PFi PF2 4m 4 4cF1F2,即 PFiPF2,彳# S 1法二：对于椭圆而言，焦点三角形的面积为 S b2tan-,对于双曲线而言焦点三2角形面积S b2cot ,而这是同一个三角形，所以tancot,即 一，所2222F1PF2评注：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系， 做数 学题时，很多时候要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结 合，有机分析，以静制动，以不变应万变。例4 (14金山)设双曲线nx2 (n 1) y2 i, ( n N)上动点P到定点Q (1,0

19、)的距离三最小值是dn,则lim dn ()nA. 1 ; B.匹；C.0;22答案：B解析：双曲线方程两边同时除以n,得到x2 (1 1) y2 1,当n J 0, n nn即方程x2 y2 0,这就是方程的极限位 置，即求点Q (1,0)到直线y x的距离,选B评注：这是一类要考虑极限位置的极限体型， 在高考中出现过类似的题目，一般找到了极限的位置，题目就很容易解的，很多同学不会因为没有想到极限的位置， 而像=想把dn用n表示出来就复杂了 例5 (14闵行)若曲线f (x, y) 0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是(22Z2222A.

20、 x y 1 0； B. x J4 y 1 0； C. x y x x 1 0; D. 3x xy1 0答案：C解析：A、B、C、D选项图像依次如下图所示，根据题意，选C评注：利用数形结合的方法，考查了含绝对值曲线方程的画法， 一般根据图像的 对称性，或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限的图像， 再结合 题意解题。4、与向量的运用:例1 (14徐汇)如下图所示，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于 M、N两点去，且 AM xE，而 yAE,则 "y一x y3解析：法一：M、G、N三点共线，设於 AM AN，有1 , AM xAB ,1AN yAC A

21、G AM AN xAB yAC ,因为 G是重心，所以 AG 3AB 1AC,即x y 1,11,化简匕L 133 3x 3yx y 32法二：取特殊值，取x y 2。3评注：作为填空题，本题的第一做法是法二，同时也要知道具体过程，注意向量 一些常用知识点及一些转化技巧。例2 （14闵行）设i、j依次表示平面直角坐标 系x轴、y轴上的单位向量，且a ja 2jV5,则a 2i的取值范围是答案：詈,3 解析：根据题意，a j a 2j V5的几何意义为一个点到（1,0）的距离加上这个点到（0,2）的距离等于 & 如下图所示，即到A点的距离加上到B点的距离等于石，而AB J5,所以这个点的

22、轨迹为线段 AB ,而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB上的点到点（-2,0）的距离的取值范围，最短距离是下f-图中CD的长度，用点到直线的距离公式或等面积法可求得 CD 生5,因为BC52 <2, AC 3,距离的最大值为 3。评注：用代数的方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量的模的几何意义， 转化成图形问题就简明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用。例3 （14徐汇）如下图所示，在边长为2的正六边形 ABCDEF中，动圆Q的半径为1 ,圆心在线段CD （含端点）三上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向 量AP mAB nAF（m、n R）,则m n的最大值为

23、答案：55 一解析：如上图所小，AP - （AB AF）。2评注：本题结合动态图像考查了向量的分解， 要求能够理解题意，本题也可建系分析5、与其他知识点的综合运用：例1 （14浦东）用S集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A, B, C）有序三元组。如果集合A、B、C满足A B |B C A C 1,且A B C=,则称有序三元组(A、B、C)为一最小相交，由集 合1,2,3,4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 答案：96解析：设A、B、C为1,2,3,4的三个子集，如下图所示，因为A B C,所以S 不含任何元素，因为 A B| |B C A C 1,所以M1, M2, M3中个各有 一个元素，将1,2,3,4中的元素排入，有C；P； P：种方法，由题意得，还剩下的 一个元素，可排在P、Q、R,也可不排入，共有1 P3