普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学试题及解答

1、精品文档2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学（必修+选修）第I卷（共 60分）参考公式：如果事件 A 、B 互斥，那么P( AB)P( A)P(B)如果事件 A 、B 相互独立，那么P( A B)P( A) P(B)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。（ 1） 定 义 集 合 运 算 ： A Bz zxy( x y), x A, y B , 设 集 合A(0,1), B(2,3), 则集合 A B 的所有元素之和为（A ）0（B） 6（C） 12（D）18（2）设 f ( x)2ex 1 ,

2、 x2，则f ( f (2)的值为log 3 ( x21)， x2.（A ）0（B） 1（C） 2（D）3（ 3）函数 y 1 a x (0 a1) 的反函数的图象大致是（A ）（ B）（ C）（D ）（ 4）设向量 a=(1,3) , b( 2,4) ,若表示向量4 a 、3b 2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（A ） (1, 1)（ B） ( 1,1)（C） ( 4,6)（ D） (4,6)（5）已知定义在R 上的奇函数f ( x) 满足 f ( x2)f (x), 则 f (6)的值为（A） 1（B） 0（C） 1（D）2（6）在 VABC 中，角 A 、 B 、C

3、 的对边分别为a 、b 、c ，已知 A, a3, b 1,则 c =3（A ）1（B） 2（C） 31（D） 3.精品文档（ 7）在给定双曲线中， 过焦点且垂直于实轴的弦长为2 ，焦点到相应准线的距离为1 ，2则该双曲线的离心率为（A ）2（C） 2（D）2 2（B） 22（8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（A）1:3（B）1: 3（C）1: 33（D1 9） （9）设 p x2x 2 0, q 1x 0 ，则 p 是 q 的x2（A ）充分不必要条件（C）充要条件（ 10）已知（ x21x（B ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件） n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为

4、3 ，则展开式中14常数项是（A）1（B） 1（C） 45（D）45（ 11）已知集合 A 5 , B1,2 ,C 1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（A ）33（B） 34（C） 35（D）36（12）已知 x 和 y 是正整数，且满足约束条件xy10,xy2, 则 z2x3 y 的最小值是2x7.（A ） 24（B） 14（C） 13（ D） 11.5第卷（共90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分，答案须填在题中横线上。（ 13）某学校共有师生2400 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为16

5、0 的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是.（14）设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， S4 14， S10S730 ，则 S8 .（ 15）已知抛物线y24x ，过点 p(4,0) ）的直线与抛物线相交于A( x1 , y1 )、 B(x2 , y2 )两点，则y12y22 的最小值是（ 16）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1 中，所有棱长均为1，.精品文档则点 B1 到平面 ABC1 的距离为.三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12 分）设函数 f ( x) 2x33(a 1)x21, 其

6、中 a 1.（）求f ( x) 的单调区间；（）讨论 f ( x) 的极值 .（18）（本小题满分12 分）已知函数f ( x)A sin 2 (x)( A0， 0，0 )，且 yf ( x) 的最大值为2，其图2象相邻两对称轴间的距离为2，并过点 (1,2) .（）求；（）计算f (1)f (2).f (2008).（19）（本小题满分12 分）盒中装着标有数字1，2， 3， 4 的卡片各2 张，从盒中任意抽取3 张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：（）抽出的3张卡片上最大的数字是4 的概率；（）抽出的3张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概率；（）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.（

7、20）（本小题满分12 分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形， AB / DC , ACBD,AC 与 BD相交于点 O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又 BO 2,PO2, PB PD .（）求异面直接PD 与 BC 所成角的余弦值；（）求二面角 PAB C 的大小；（）设点 M 在棱 PC 上，且 PM,问 为何值时， PC 平面 BMD .MC（21）（本小题满分12 分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点.精品文档和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。（）求椭圆的方程；（）直线 l 过 P(0, 2) 且与椭圆相

8、交于A 、 B 两点，当 VAOB 面积取得最大值时，求直线 l 的方程 .（22）（本小题满分14 分）已知数列an中， a11 、点（ n、2an 1 an）在直线 y x 上，2其中 n1,2,3.（）令 bnan 1an1, 求证数列bn是等比数列；（）求数列an 的通项；（）设 Sn、 Tn 分别为数列an 、 bn 的前 n 项和 ,是否存在实数，使得数列SnTn为等差数列？若存在，n试求出.若不存在 ,则说明理由。.精品文档答案2006 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷 )文科数学答案一、选择题1、D2、C3、A4、 D5、B6、 B7、C8、 C9、A10、 D11、 A

9、12、 B二、填空题13、 15014、5415、 3216、217三、解答题17解：由已知得f ' ( x)6xx( a1) ，令 f ' (x)0 ，解得x10, x2a1.（）当 a1时， f ' ( x)6x2 ， f(x) 在 (,) 上单调递增当 a1 时， f '(x)6xxa1， f ' (x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表：x(,0)0(0, a 1)a 1(a1,)f ' ( x)+00f ( x)Z极大值极小值Z从上表可知，函数f (x) 在 (,0) 上单调递增；在(0, a1) 上单调递减；在(a1,) 上单

10、调递增 .（）由（）知，当 a1时，函数f (x) 没有极值 .当 a1时，函数f (x) 在 x0 处取得极大值，在 xa 1 处取得极小值1( a1)3 .18解：（ I ） yA sin 2 (x)AA cos(2x 2).22Q yf (x) 的最大值为2， A0.精品文档AA2, A2.220 ，又Q 其图象相邻两对称轴间的距离为2，1 ( 2)2,4.2222cos(x2 ) 1cos(x 2 ) .f ( x)2222Q yf (x) 过 (1,2) 点，cos(x2)1.22x22k, kZ ,22k, kZ ,2k ,k Z ,4又 0,24.（II ）解法一： Q4，y1c

11、os(x)1sinx.222f (1)f (2)f (3)f (4)21014 .又Q yf ( x) 的周期为4，20084502，f (1)f (2)f (2008)45022008.解法二： Q f ( x)2sin 2 (x)42sin 2 ( 3f (1)f (3)2sin 2 (4) 2,4f (2)f (4) 2sin 2 ()2sin 2 () 2,2f (1)f (2)f (3)f (4)4.又 yf( x) 的周期为4， 20084502，f (1)f (2)f (2008)45022008.精品文档19解：（ I ）“抽出的3 张卡片上最大的数字是4”的事件记为 A ，由

12、题意P( A)C21C62C22 C619C8314（II ）“抽出的 3张中有 2 张卡片上的数字是3”的事件记为 B，则P(B)C22C613C8328（ III ）“抽出的 3 张卡片上的数字互不相同” 的事件记为 C，“抽出的 3 张卡片上有两个数字相同”的事件记为 D ，由题意， C 与 D 是对立事件，因为C41C32C613P(D)C378所以P(C) 1P(D)1 34.7720解法一：Q PO平面 ABCD ，POBD又 PBPD,BO2, PO2 ，由平面几何知识得：OD1, PD3,PB6（）过 D做 DE /BC 交于 AB于 E，连结 PE，则PDE 或其补角为异面直

13、线PD 与 BC 所成的角，Q 四边形 ABCD 是等腰梯形，OCOD1,OBOA2, OAOBBC5, AB22,CD2又 AB/DC四边形 EBCD 是平行四边形。EDBC5, BE CD2E 是 AB 的中点，且 AE2又 PAPB6 ，PEA 为直角三角形，PEPA2AE2622在PED 中，由余弦定理得.精品文档cosPD 2DE 2PE23542 15PDE235152PD DE故异面直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为21515（）连结 OE ，由（）及三垂线定理知，PEO 为二面角 PAB C 的平面角sinPO2PEO，PE2PEO450二面角 PABC 的大小为 450

14、（）连结 MD , MB , MO ，Q PC平面 BMD ,OM平面 BMD ，QPCOM又在 Rt POC 中，PC PD3, OC1,PO2 ，23, MC3PM3，3PM2MC故2时， PC 平面 BMD解法二：Q PO平面 ABCDPOBD又 PBPD ， BO2,PO2，由平面几何知识得：ODOC1,BOAO2以 O 为原点， OA, OB, OP 分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O(0,0,0) ， A(2,0,0) ， B(0,2,0) ， C ( 1,0,0) ， D (0,1,0) ， P(0,0,2).精品文档uuur(0,1,2) ，

15、（） Q PDuuur( 1,2,0)BC，uuuruuuruuuruuur2 。PD3, BC5, PDBCuuuruuuruuuruuur215cosPDBCPD, BCuuuruuur。PD BC15故直线 PD与BC所成的角的余弦值为2 1515（）设平面 PAB的一个法向量为n( x, y, z) ，uuuruuur( 2,0, 2) ，由于AB (2,2,0) ， APnuuur0xyAB由uuur0得2 xnAPz取 n(1,1,2) ，又已知平面ABCD 的一个法向量 m(0,0,1) ，cosm, nm n2m n2又二面角 P ABC 为锐角，所求二面角 PAB C 的大小

16、为 45o（）设 M ( x0 ,0, y0 ) ，由于 P, M , C 三点共线， z02x02 ，Q PC平面 BMD ，OMPC( 1,0,2) ( x0 ,0, z0 )0x02z00由（ 1）（ 2）知：x022， z0。33M (2 ,0,2 )33.精品文档PM2MC故2时， PC平面 BMD。x2y221解：设椭圆方程为a2b21(abc)bca22（）由已知得2a24b21cc21a222b c所求椭圆方程为x2y21 .2（）解法一：由题意知直线 l的斜率存在， 设直线 l的方程为 ykx2, A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 )ykx2由x2，消去 y 得

17、关于 x 的方程：(12k2) x28kx60y212由直线 l与椭圆相交于A、 B 两点，V064 k224(1 2k 2 )0解得 k 232x1x28k12k 2又由韦达定理得6x1x22k21| AB | 1 k 2 | x1x2 |1 k2( x1 x2 )24x1 x21k 216k22412k2原点 O 到直线 l 的距离 d21k 2Q SV AOB1 | AB | d16k 224222k 23.212k212k2解法 1：对 S16k224两边平方整理得：12k2.精品文档4S2k 44( S24) k2S2240 （* ） S 0 ，16(S24)244S2 (S224)

18、0,4S20S2S2244S20整理得： S212又 S0 ，0S22从而 SV AOB 的最大值为 S2，2此时代入方程（ * ）得 4k428k 249014k2所以，所求直线方程为：14x2 y40 .解法 2：令 m2k 23( m0) ，则 2k 2m2322m222S442m2mm当且仅当 m42 时，即 mm2Smax2此时 k142.所以，所求直线方程为142 y 4 0解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零.精品文档设直线 l 的方程为ykx2, A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，2则直线 l 与 x 轴的交点 D(k,0) ，x1x28k由解法一知

19、k 2312k 2且，2x1x2621 2k解法 1： SV AOB1|OD| y1 y2 |1 | 2 | | kx1 2 kx2 2 |22 k= | x1x2 |(x2x2 )24x1 x216k 22412k2222k 23.12k 2下同解法一 .解法 2： SV AOBSV POBSV POA12| x| x |221| x2x1 |2 22k2312k2下同解法一 .22解：（ I ）由已知得a11 ,2 an1ann,33123Q a2, a2a11412,44又 bnan 1an1,bn 1an2an11,an 1(n 1) ann an 1an1bn 1an 1an 12221bnan 2an 1 1an 1an1an 1an.1 2.精品文档 bn