数学线段和(差)的最值问题

1、最值问题总体理论依据：1线段公理两点之间，线段最短。2对称的性质关于一条直线对称的两个图形全等。对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线3三角形两边之和大于第三边。4三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短类型一、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P，使 PA+PB 最小；（ 1）点 A 、 B 在直线 m 两侧：（2）点 A 、 B 在直线同侧：AAAABBmmPPmBBA'2、在直线 m、n 上分别找两点P、 Q，使 PA+PQ+QB 最小。（ 1）两个点都在直线外侧：（ 2）一个点在内侧，一个点在外侧：AAmAmP'PAmPBnQ'nBQQnBBB&#

2、39;（ 3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型A'mmnnAAAA'APBDBBQnEnmB'变式一：已知点A 、 B 位于直线 m,n 的内侧，在直线n、 m 分别上求点 D、 E点，使得围成的四边形ADEB 周长最短 .A'变式二： 已知点 A 位于直线 m,n 的内侧 , 在直线 m、nn 分别上求点P、 Q 点 PA+PQ+QA 周长最短 .QmmnBmB'nAAmPmA"例题 1、一次函数ykxb 的图象与x、y 轴分别交于点A（ 2， 0）， B（ 0，4）y（ 1）求该函数的解析式；（ 2） O 为坐标原点，设 OA、 A

3、B 的中点分别为 C、 D ，P 为 OB 上一动点，求 PC PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标例 2、如图 , 矩形 OABC顶点 O位于原点 ,OA,OC分别在 x 轴、y 轴上 .B 点坐标为 (3,2),E为 AB中点 ,F 为 BC边的三等分点 . 在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N, 使得四边形MNFE的周长最小？如果存在 , 求出周长的最小值 ; 如果不存在 , 请说明理由 .BDPOCAx第 1 题类型二、一个动点，一个定点：（一） 动点 在直线上运动：点 B 在直线 n 上运动，在直线m 上找一点P，使 PA+PB 最小（在图中画出点P 和点 B ）1、两点

4、在直线两侧：2、两点在直线同侧：nnnnBBAAmmPmmPAAA'（二）动点在圆上运动点 B 在 O 上运动，在直线m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点P和点 B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：OO B'OOBP'ABAmPmmmAAPA'例题 3、如图，在锐角ABC 中， AB 42 ， BAC45°， BAC 的平分线交BC 于点 D ，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是例题 4、如图， E， F 是正方形ABCD 的边 AD 上两个动点，满足AE=DF 连接 CF 交 BD 于点G

5、，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是类型三 、已知 A 、B 是两个定点， P、Q 是直线 m 上的两个动点， P 在 Q 的左侧 ,且 PQ 间长度恒定 ,在直线 m 上要求P、 Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。 (原理用平移知识解 )（ 1）点 A 、 B 在直线 m 两侧：（2）点 A 、 B 在直线 m 同侧：AAACBAEBmPQmmPPmPQQQBBB'过 A 点作 AC m,且 AC长等于 PQ长，连接 BC, 交直线 m 于 Q,Q 向左移动 PQ 长，即为 P 点，此时 P、Q 即为所求的点。例题 5、在平面直角坐

6、标系中，已知抛物线y1x2bx c （ b,c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形 ABC2的定点 A 的坐标为 (0, 1) ， C 的坐标为(4,3)，直角顶点 B 在第四象限 .（ 1）如图，若该抛物线过A ， B 两点，求该抛物线的函数表达式；（ 2）平移（ 1）中的抛物线，使顶点P 在直线 AC 上滑动，且与AC 交于另一点 Q.i）若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、 P、 Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时， 求出所有符合条件的点M 的坐标；ii ）取 BC 的中点 N ，连接 NP, BQ . 试探究PQ是否存在最大值？若存在，求出

7、该最NPBQ大值；若不存在，请说明理由.例题 6、如图，在平面直角坐标系中，直线y3x 3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C 。抛物线 yx2bxc经过 A 、 C 两点，且与 x 轴交于另一点B （点 B 在 A右侧）。（ 1）求抛物线的解析式及点B 坐标；y（ 2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F ，FAOBx交抛物线于点 E 。问：线段 ME 的长是否有最大值或最小值？若存在，请求出最大M（小）值。C（ 3）试探究：在抛物线的对称轴上是否存在两点P （ t ， m ）、 Q （ t ， m1 ），E使得四边形 ACPQ 的

8、周长最小；若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由。类型四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1、在一条直线m 上，求一点P，使（ 1）点 A 、 B 在直线 m 同侧：PA 与PB 的差最大；（ 2）点A 、B在直线m 异侧：AAAB'ABBmP'mBPmmBP'P过 B 作关于直线 m 的对称点 B,连接 AB 交点直线 m 于 P,此时 PB=PB ，PA-PB 最大值为 AB 例题 7、如图所示，已知A （ 1， y1）， B （ 2， y2）为反比例函数 y=图象上的两点，动点P（ x， 0）在 x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段 BP 之差达到最大值时，