数理统计考研复试题库及答案

1、2（1）未知函数u的导数最高阶为2，u,u,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。（2） 为y最高阶导数为1，而y为二次，故它是一阶非线性常微分方程。（3） 果y是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x看着未知函数，它是一阶非线性方程。3. 提示：所满足的方程为y2 y+y=04 直接代入方程，并计算Jacobi行列式。5.方程变形为dy=2xdx=d(x),故y= x+C6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。7 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，

2、但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。8 yf(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。9（1） 积分得x=-cosx+c（2） 将方程变形为xydy=(y-1)dx或，当xy0,y1时积分得y+ln+=c (3)方程变形为dx,当y-1,sinx0时积分得y=Csinx-1(4)方程变形为exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得exp(y)

3、 exp(2x)C(5)当y1时，求得通积分ln=x+c(6)方程化为xydx=(1- y)(1+x)dx或dx=dy,积分得xarctgxln+y=C(7)当x(y-1)0时，方程变形得 dx+=0两边积分并化简得y1exp(-x)10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。11如果f(x,y)是0次齐次函数，则yf(x,y)称为齐次方程。如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。如果q0则 f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故

4、yf(x,y)为齐次方程。12 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得=xz13 这是齐次方程。令y=zx, =xz,将方程化为z+x=,并即x分离变量得积分得ln|n|+ln(z+2)-ln|z|=ln|C|,或C用z=yx代入得原来的变量。xyCy.注意y=0方程的解。14（1） 当x0时，方程化为=12令y=ux,则原方程化为x=1+u,当1+u0时,可分离变量得u+1=cx:;通解为y=cx+x（2） 作变换y=ux,则原方程化为2udu=于是u=ln|x|+C,代回原变量，得通积分：yx（ln|x|+C）15. 这是齐次方程。令y=zx原方程化为du=两边积分得ln|z|=ln|cx|用z=代入得y=exp()y=0也是原方程的解。16.变形为=+，令y=ux得=积分得-ln|1-u|=ln|x|-c,代原变量得通积分x- y=cx17. 方程右边分子，分母两条直线交点为（x , y）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得dz=,积分得C原方程通积分为y=x+c(x+y+1)+3181920