求二次函数解析式的三种基本方法和十种策略

1、二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练 地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax，+bx+c （a工0）。2、顶点式：y=a（xh） +k （a工0）,其中点（h,k）为顶点，对称轴为x=h3、 交点式:y=a（xxT（xx巧（a丰0）其中x*,x:是抛物线与x轴的交点的横坐标求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解 析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离

2、，通常可设交 点式。探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点引和仇 .求这个二次函数的 解析式.分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax，+bx+c （a工0）。解：设这个二次函数的解析式为y=ax，+bx+c （a工0）a A -l-c = 5f口 =2* c 4| = 3依题意得：b*1解这个方程组得：这个二次函数的解析式为y=2x +3x4。例2、已知抛物线八沁“ &的顶点坐标为，与尸轴交于点阳）， 求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线$山川山的顶点坐标为（巾厂，最好抛开题目 给出的$皿，重新设顶点式y=a（xh）+k （a工0），其中点（h,k）为顶点

3、。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x4)，1 (a工0)又抛物线与轴交于点丽。丄a(04)仁3二a= 1 1这个二次函数的解析式为y=4 (x4)，1,即y=4X2x+3。例3、如图，已知两点A(8,0),(2,0),以AB为直径的半圆与y轴 正半轴交于点G求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。分析：AB两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(xx)(xX：) (a工0),其中Xi ,x:是抛物线与x轴的交点的横坐标。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x2)又连结AC BC利用射影定理或相交弦定理的推论易得：OC =AC- BC=8X 2二OC=4

4、即C(0,4)。丄a(0+8)(02)=4 / a=dii 3这个二次函数的解析式为y= * (x+8)(x2)，即y= xx+4。变式练习，创新发现1、 在图的方格纸上有A、B、C三点(每个小方格的边长为1个单位长度). (I)在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标；(2)根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的 解析式.2、 已知抛物线的顶点坐标为，与戶轴交于点，求这条抛物线的解 析式。3、已知抛物线过A( 2,0)、B(1,0)、C(0,2)三点。求这条抛物线 的解析式。参考答案：1、 (1)A(2,3);B(4,1);C(8,9)。(2)严 4x+9。2、

5、y=(x2)+1，即y=x，4x+5。3、y=(x+2)(x1)，即y=X x+2。十种二次函数解析式求解一三点式。1,已知抛物线y=ax1 2 3+bx+c经过A( ,0),B(门,0),C(0,-3)三 点，求抛物线的解析式。2,已知抛物线y=a(x-1)$+4,经过点A(2,3),求抛物线的解析式。二顶点式。1,已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A(2,1)，求抛物线的解析式。2,已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为(3,1)，求抛物线的解析式。 三交点式。1,已知抛物线与x轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2,已知抛物线线与

6、x轴两个交点(4, 0) , (1,0)求抛物线y=? a(x-2a)(x-b)的解析式。四定点式。1、 抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线 顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。2、 已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B(点A在点B左边)两点，交y轴于3点C,且OB-OA= OC求此抛物线的解析式。八对称式。1，平行四边形ABCD寸角线AC在x轴上，且A(-10,0)，AC=16 D (2,6)。AD交y轴于E,将三角形ABC沿x轴折叠，点B到Bi的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2，求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴

7、(或x轴)对称的抛物线的解析式。九切点式。1，已知直线y=ax-a2(a工0)与抛物线y=m(有唯一公共点，求抛物线的解析式。2，直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A(2，1),求抛物线的解析式。3，1在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线经过x轴上一定点Q,直线y经过点 Q,求抛物线的解析式。2抛物线y= x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4求抛物线 的解析式。3抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2的定点A,求抛物线的解析式。五平移式。1,把抛物线y二-2x2向左平移2个单位长度， 再向下平移1个单位长度， 得到 抛物线y=a( x-h)2+k,求此抛物线解析式。2,抛物线宀向上平移，使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式。 六距离式。1,抛物线y=ax2+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解 析式。2,已知抛物线y=m x2+3mx-4m(n0)与x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC求此抛物线的解析式。七对称轴式。十判别式式。1、 已知关于X的一元二次方程(m+1 x2+2(m+1)x+2=0