大连海事电磁场理论课后习题答案

1、电磁场理论习题解答信息科学技术学院第1章习题答案1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。解：在直角坐标系中矢量D的散度运算如下： (1)因此，高斯通量定理和磁通连续性原理分别是两个标量方程： (2)在直角坐标系中矢量E的旋度运算如下： (3)法拉第电磁感应定律可以写成3个标量方程： (4)全电流定律也可以写成3个标量方程： (5)共8个标量方程。1-2 试证明：任意矢量E在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即 Ñ × (Ñ ´ E) = 0 (1)证明：设A为任意矢量场函数，由题1-1式(3)可知，在直角坐标系中，它

2、的旋度为 (2)再对上式进行散度运算 (3)得证。1-3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程 (1)解：麦克斯韦方程组中微分形式的全电流定律为 (2)对上式等号两边进行散度运算，由题1-2知，等号左边的散度为零，等号右边的散度亦应为零，即 (3)把微分形式的高斯通量定理 Ñ × D = r 代入上式，考虑到坐标变量和时间变量是相互独立的自变量，可得1-4题图 (4)上式移项即得式(1)。1-4 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 e1和 e2，分界面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是 q1和 q2。假设两种媒质分界面上的

3、电荷面密度 rS = 0，试证明： (1)上式称为电场E的折射定律。证明：根据已知条件，由电位移矢量D的法向分量边界条件可得D1n = D2n Þ e1E1n = e2E2n (2)根据已知条件可知，分界面两侧电场强度矢量E的切向分量连续，即E1t = E2t (3)从1-4题图可以看出 (4)证毕。1-5 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 m1和 m2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量JS = 0，把图中的电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。试证明： (1)上式称为磁场B的折射定律。若 m1为铁磁媒质，m2为非铁磁媒质，即 m1>>m2 ，

4、当 q1 ¹ 90° 时，试问 q2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。解：由磁感应强度矢量的法向分量边界条件可得B1n = B2n Þ m1H1n = m2H2n (2)根据已知条件可知，分界面两侧的磁场强度矢量H的切向分量相等，即H1t = H2t (3)从1-4题图可以看出 (4)证毕。当 m1 >>m2时，必有tanq1 >> tanq2 ；而由于 q1 ¹ 90°，则必有 q20，即磁感线垂直于铁磁媒质的表面。1-6 已知电场强度矢量的表达式为E = isin(w t - b z)j2cos(w t - b z

5、) (1)通过微分形式的法拉第电磁感应定律，求磁感应强度矢量B(不必写出与时间t无关的积分常数)。解：参见题1-1式(3)，先对电场强度矢量E进行旋度运算 (2)将磁感应强度试量B对时间t进行积分，得 (3)考虑到电场强度矢量E的Ez = 0，只有Ex和Ey两个坐标分量，且仅是 (z, t) 的函数，由题1-1式(4)可知 (4)通过对时间t的积分，求出磁感应强度矢量B的两个坐标分量 (5)于是可以写出磁感应强度矢量为 (6)与上面直接用电场强度矢量E计算得到的结果相同。1-7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R，间距为d。其间填充介质的介电常数 e 。如果电容器接有交流电源，已知

6、流过导线的电流为I(t) = I0sin(wt)。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D。解：解法(一)电容器的电容量为 (1)两极板间的电压为 (2)两极板间的电场为 (3)两极板间的电位移为 (4)电位移D对时间t的导数为 (5)解法(二)电容器内部的位移电流等于外部的传导电流，即 (6)把上式等号两边对时间t积分，可得 (7)与解法(一)的结果相同。1-8 在空气中，交变电场E = jAsin(w t - b z)。试求：电位移矢量D，磁感应强度矢量B和磁场强度矢量H。解：由已知条件可知Ex = Ez = 0， Ey = Asin(w t - b z) (1)对电场强度矢量E进行旋度运算

7、(参见1-1题)，得 (2)由微分形式的法拉第电磁感应定律，对时间t进行积分，可得 (3)由已知条件可知，电场强度矢量E的两个坐标分量Ez = Ex = 0，只有Ey分量，且仅是 (z, t) 的函数，由题1-1式(4)应改写为 (4)通过对时间t的积分，磁感应强度矢量B的坐标分量只有 (5)即 由本构方程可求得另外两个矢量 (6)1-9 设真空中的磁感应强度为试求空间位移电流密度的瞬时值。解：由麦克斯韦方程知，而真空中传导电流J = 0，则位移电流为求得1-10 试证真空中麦克斯韦方程对于下列变化具有不变性式中，为真空中的光速。证明：由于真空中，J=0，=0，那么，E及B应满足的麦克斯韦方程

8、可简化为， 即 将E及B代入该方程，即得而式中，。因此，上式可简化为即 同理可证，即麦克斯韦方程对该变换具有不变性。第2章习题答案2-1 参看图2-5-1，无限大导板上方点P(0, 0, h) 处有一点电荷q。试求：z > 0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D，以及导板上的面电荷密度 rS和总电荷量q。解：用镜像点电荷q代替无限大理想导板。镜像点电荷q和真实点电荷q到任意给定的观察点(x, y, z) 的距离分别为 (1)任意给定的观察点(x，y，z)处的电位分布函数为 (2)由 可得 因此，无限大导板上方半无限大空间(点电荷所在点除外)的电场强度矢量为 (3)而电位移矢量为 (

9、4)导板表面任意位置 (x, y, 0) 处电位移矢量D的法向分量就等于导板表面的面电荷密度： (5)在导板表面上 (6)因此有 (7)如果改为圆柱形坐标系，电荷分布函数可改写为 (8)把电荷分布函数在无穷大导板表面上进行积分，可得 (9)2-2 参看图2-6-3，如果将4块导板的电位分别改为：上板120 V，左板40 V，下板30 V，右板90 V。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1) 列出联立方程；(2) 用塞德尔迭代法求解；(3) 计算最佳加速因子 a；(4) 用超松弛迭代法求解；(5) 比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n = 4。解：(1)

10、 列联立方程： (1)用消元法可求得准确解为y1 = 52.5 ， y2 = 75 ， y3 = 65 ， y4 = 87.5 (2)(2) 塞德尔迭代法初值选取平均值 y1 = y2 = y3 = y4 = (120+40+30+90)/4 = 70 (V) (3)第1次迭代： (4)第2次迭代： (5)第3次迭代： (6)第4次迭代： (7)第5次迭代： (8)各磁迭代结果列在2-2题表中。表中数据精确到小数点后一位：y1 = 52.5 ， y2 = 75 ， y3 = 65 ， y4 = 87.5 (9)(3) 计算最佳加速因子 a (取p = 4)2-2题表1 各次迭代值与差分方程的准

11、确值、分离变量法计算值对照表电 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法准确值分离变量法计算值y1 = y1152.550.3151.9552.3652.4652.5y2 = y1270.6373.9174.7274.9374.9875y3 = y2160.6363.9164.7364.9364.9865y4 = y2285.3186.9387.3687.5787.4987.5 (10)(4) 用超松弛迭代法求解，迭代公式如下： (11)代入加速因子 a，得(初值仍选取平均值) (12)第1次迭代 (13)第2次迭代 (14)第3次迭代 (15)第4次迭代 (16)各次迭代值列在下表之中：2

12、-2题表2 各次迭代值与差分方程的准确值、分离变量法计算值对照表电 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法准确值分离变量法计算值y1 = y1151.2449.9052.5752.4952.552.5y2 = y1270.3374.2575.0075.0075.075y3 = y2159.6164.3064.9965.0065.065y4 = y2286.0687.2287.5287.5087.587.5(5) 比较两种迭代法的结果和收敛速度：超松弛迭代法第4次迭代结果与塞德尔迭代法第5次迭代结果相同。2-3 参看图2-7-1，如果平板电容其中电荷分布的线密度为 r = e0(1 + 4x

13、2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数 y。选择基函数为fn (x) = x(1 - xn) n = 1, 2, 3, (1)解：根据已知条件可知，其边值问题的泊松方程和边界条件为 (2)如果用直接积分法，并且由边界条件确定积分常数，则上面微分方程式的准确解为当然，这么简单而且又有准确解的微分方程是用不着通过矩量法来求解的。把简单问题作为例子的目的，只不过是为了便于比较而已。题目中给出的基函数为f1(x) = x(1 - x) ， f2(x) = x(1 - x2) ， f3(x) = x(1 - x3) (3)电位分布函数为y (x) = k1x (1 - x)

14、+ k2x (1 - x2) + k3x (1 - x3) (4)选权函数与基函数相同：w1(x) = x (1 - x) ， w2(x) = x (1 - x2) ， w3(x) = x (1 - x3) (5)代数(矩阵)方程的系数和常数分别为 (6) (7)列出矩阵方程如下 (8)于是可得到电位分布函数如下 (9)本题若选取权函数为w1(x) = -1 ， w2(x) = -x ， w3(x) = -x2 (10)代数(矩阵)方程的系数和常数分别为 (11) (12)列出矩阵方程如下： (13)展开系数的结果相同，但计算过程要简单一些。2-4 参看例2-7-1以及该题示意图图2-7-1。

15、如果在该问题中选择权函数为 (1)上式中，R是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数 y。解：代数(矩阵)方程的系数和常数分别为 (2) (3)列出矩阵方程，并求得展开系数的解为 (4)本题若选取权函数为w1(x) = -1 ， w2(x) = -x (5)得到的矩阵方程及展开系数的解为 (6)电位分布函数为 (7)2-5 若带点球的内外区域中的电场强度为试求球内外各点的点位。解：在r < a区域内，电位为在r > a区域内，。2-6 已知空间电场强度E = 3ex

16、 + 4ey - 5ez，试求（0，0，0）与（1，1，2）两点间的电位差。解：设P1点的坐标为（0，0，0），P2点的坐标为（1，1，2），那么，两点间的电位差为式中，E = 3ex + 4ey - 5ez，dl = ex dx + ey dy + ez dz，因此电位差为2-7半径为的球内充满介电常数为的均匀介质，球外是介电常数为的均匀介质。若已知球内和球外的电位为式中为常数，求（1） 两种介质中的和；（2） 两种介质中的自由电荷密度。解 （1） 在区域内在区域内（2）在区域内，电荷体密度在区域内，电荷体密度在球面上，电荷面密度2-8一半径为的薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，如图题2-

17、6所示，球内充满了总电荷量为的体电荷，球壳上又另充有电量，已知内部的电场为，设球内介质为真空。计算：图题2-8（1）球内的电荷分布；（2）球外表面的面电荷分布。解 （1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为（2）球内的总电荷量在球壳外作一与球壳同心的球形高斯面（略大于），根据场的球对称性，由高斯定理时 在导体球壳内作一与球壳同心的球面（略小于），由于球壳内电场为零，所以。由边界条件即导体球壳外表面电荷密度为。由此可知：球壳外表面上的电荷密度为，所以球壳外表面上的总电荷为球壳内表面上电荷为。故球内电荷不仅在球壳内表面上产生感应电荷，而且还在球壳外表面上产生感应电荷，所以在球壳外表面上的总

18、电荷为。2-9中心位于原点，边长为的电介质立方体极化强度矢量为。（1）计算面和体极化电荷密度；（2）证明总的极化电荷为零。解（1）极化电荷体密度时，极化电荷面密度时，极化电荷面密度同理可得：，时（2）总极化电荷第3章习题答案3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的标量函数 y 和矢量函数A都满足下面关系：(1) Ñ ´ (Ñy) º 0 ；(2) Ñ × (Ñ ´ A) º 0证明：(1) 设 y 为任意标量场函数，在直角坐标系中它的梯度为 (1)再对上式进行旋度运算 (2)得证。(2) 设A为任意矢量场

19、函数，由题1-1式(3)可知，在直角坐标系中，它的旋度为 (3)再对上式进行散度运算 (4)得证。3-2 同轴线内、外半径分别为a和b，内外导体之间介质的介电常数为 e，电导率为 s。设在同轴线内外导体上施加的电压为Uab ，求内外导体之间的漏电流密度J。解：为了分析问题方便，本题采用圆柱形坐标系。先用直接法来求内外导体之间的电流密度矢量J。设同轴线的长度为L。如果内外导体之间的总电流为I，则任何给定半径 r 的同轴圆柱面S上，由对称性可知，电流密度矢量、电场强度矢量与电流的关系为 (1)在同轴线任意横截面上，沿 r 方向对电场强度矢量E进行积分，可求得内外导体之间的电压 (2)由上式可求得同

20、轴线内外导体之间的漏电流为 (3)于是可求得同轴线内外导体之间的漏电流密度矢量为 (4)本题也可以通过拉普拉斯方程来求解。在圆柱形坐标系中，电位函数的拉普拉斯方程为 (5)注意上式中的 r 是圆柱形坐标系的坐标变量，而不是电荷密度。由于沿z轴方向没有变化，上式中的拉普拉斯方程退化为极坐标的二维拉普拉斯方程，即 (6)由轴对称性可知，对于同轴线拉普拉斯方程还可以进一步简化为只对 r 变量进行微分运算，因此问题的边值条件可以写成 (7)方程的通解为y1 = C1lnrC2 (8)根据边界上的电位函数值可确定两个积分常数分别为 (9)于是可求得电位分布函数为 (10)由轴对称性可知，对于同轴线，式(

21、3-3-8)给出的电位梯度可以简化为 (11)由微分形式的欧姆定律可求得同轴线任意横截面半径为 r 处的电流密度矢量 (12)3-3 求图3-3-2中1/4垫圈两个弯曲面r = a和r = b之间的电阻。解：为了分析问题方便，本题采用圆柱形坐标系。先用直接法来求两个弯面之间的电流密度矢量J。如果两个弯面之间的总电流为I，由对称性可知，在任何给定半径 r 的1/4同轴圆柱面 S 上，电流密度矢量、电场强度矢量与电流的关系为 (1)在同轴线任意横截面上，沿 r 方向对电场强度矢量E进行积分，可求得内外导体之间的电压 (2)由上式可求得垫圈两个弯曲面r = a和r = b之间的漏电流为 (3)从上式

22、便可解出两个弯面之间的电阻 (4)3-4 参见3-4题图。某输电系统的接地体为紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为 s =10-2 S/m。设有I = 500 A的电流流入地内。为了保证安全，需要划出一半径为a的禁区。如果人的正常步伐为b = 0.6 m，且人能经受的跨步电压为U = 200 V，问这一安全半径a应为多大？解：流入地下的电流分布在地下2p 立体角的半无穷大空间，在半径为r的半球面上，电流密度矢量和电场强度矢量分别为 (1)在半径为 (ab) 和半径为a的跨步间隔上，跨步电压与场强的关系为 (2)把上式改写成 (3)在上式中代入Ua，ab = 200 V，I = 500 A，b =

23、 0.6 m和 s = 10-2 S/m，整理后可得求解这个一元二次方程，舍去增根，便可解出禁区的半径为 (4)3-5 参看图2-5-6，半径为a，间距为D的平行双线传输线，周围介质的介电常数为 e，电导率为 s。利用例2-5-2的结果，计算平行双线每单位长度的分布漏电导G1。解：由式(2-5-18)可知，如果平行双线周围介质的介电常数为 e = ere0，则两导线之间的分布电容为 (1)根据相似性原理，如果平行双线周围媒质的电导率为 s，则两导线之间的分布漏电导为 (2)3-6 参看图3-2-1(a)，半径分别为a和b的两个同心球壳(a < b)之间是电导率为 s = s0(1 + k

24、/r)的导电媒质，试求两球壳之间的电阻Rab。再问此题中的电流位 y 是否满足普拉斯方程。解：(直接法)假设在以两球壳公共球心O为球心、半径为r的球面 S 上通过的电流为I，则该球面 S 上的电流密度矢量、电场强度矢量的关系为 (1)而两球壳之间的电压U0等于电场强度矢量E的Er分量沿r方向的定积分值 (2)于是可求得两球壳之间的电阻为 (3)验证电流位是否满足拉普拉斯方程：由于本题具有球对称性，在球坐标系中，电位的梯度为 (4)于是有 (5)由附录五可知，在球坐标系中，矢量E的散度为 (6)由于本题具有球对称性，上式等号右边只有第1项，即 (7)由于媒质不均匀，电导率 s 是空间坐标的函数，

25、媒质中存在着净电荷分布，因此本题不满足拉普拉斯方程。3-7 已知一根长直导线的长度为1km，半径为0.5mm，当两端外加电压为6V时，线中产生的电流为1/6A，试求：导线的电导率；导线中的电场强度；导线中的损耗功率。解：由U = IR，求得 由，求得导线的电导率为 导线中的电场强度为 单位体积中的损耗功率，那么，导线的损耗功率为3-8 当恒定电流通过无限大的非均匀导电媒质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为证明：已知恒定电流场是无散场，即 ，那么又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即由上两式求得第4章习题答案4-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：&

26、#209; ´ (Ñ ´ A) º Ñ(Ñ × A)Ñ2A (1)证明：设A为任意矢量场函数，在直角坐标系中对它的旋度再进行旋度运算： (2)式(1)的第1项和第2项分别为 (5)于是得证。4-2 已知无限长导体圆柱半径为a，通过的电流为I，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。解：建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为z轴。那么，由安培环路定律可知，在圆柱内线积分包围的部分电流为，又，则即 在圆柱外，线积分包围全部电流I，那么即 z-aaOIIxy习题图4-3 4-3 若在y = - a处放置一根无限长线电流ez I，

27、在y = a处放置另一根无限长线电流ex I，如习题图4-3所示。试求坐标原点处的磁感应强度。解：根据无限长电流产生的磁场强度公式，求的位于y= - a处的无限长线电流ez I在原点产生的磁场强度为位于y= a处的无限长线电流ex I产生的磁场强度为因此，坐标原点处总磁感应强度为4-5 证明在边界上矢量磁位A的切向分量是连续的。证明：已知磁通 与矢量磁位A的关系为类似证明磁场强度的切向分量是连续的方法，紧靠边界作一个闭合矩形方框。当方框面积趋近于零时，穿过方框的磁通 也为零，那么求得这样，由此可知A1t = A2t，即边界上矢量磁位A的切向分量是连续的。4-6 一个半径为的导体球带电荷量为，以

28、匀角速度绕一个直径旋转，求此球心处的磁感应强度。图 题4-6解 球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一直径旋转时，如图题3-1所示，球面上位置矢量点处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为的细圆环的电流为细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式可得该细圆环电流在球心处产生的磁感应强度为故整个球面电流在球心处产生的磁感应强度为4-7 两个相同的半径为b，各有匝的同轴线圈N，相距d，如图题4-7所示。电流I以相同方向流过两个线圈。（1）求两个线圈中点处的；（2）证明：在中点处等于零；（3）使中点处也等于零，则b和d之间应有何种关系？（这

29、样一对线圈可用于在中点附近获得近似的均匀磁场，称为亥姆霍兹线圈）图题4-7解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度可得两个线圈中点处的磁感应强度为（2）证明 两线圈的电流在其轴线上x（0<x<d）处的磁感应强度为所以在中点x=d/2处令，则即 所以b=d。4-8 一圆形截面的无限长直铜线，半径为1cm，如图题4-8所示，通过电流为25A，在铜线外套上一个磁性材料制成的圆筒，与之同轴，圆筒的内，外半径为2cm及3cm，相对磁导率为2000。（1）求圆筒内每米长的总磁通量；（2）求圆筒内的磁化强度M；（3）求圆筒内的磁环电流Jm和JmS。图题4-8解 （1）圆筒中的磁感应强度为故单

30、位长圆筒内的磁通为（2）磁化强度为（3）磁环电流密度圆筒内表面磁化电流面密度外表面磁化电流密度第5章习题答案5-1 通过直角坐标系验证矢量恒等式：Ñ × (E×H) = H × (Ñ×E)E × (Ñ×H) (1)证明：分别从等号左边和右边来证。先来证明等号右边 (1)同理，有 (2) (3)得证。5-2 根据下面复数形式的简谐场表达式，利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式，并把复数形式改写成瞬时值形式。解：旋度运算的行列式如下：5-3 将下面瞬时形式的简谐场表达式改写成复数形式，并利用麦克斯韦方

31、程求出其相应的电场或磁场表达式。解：利用题5-1中矢量的旋度计算公式，前3题复数形式的电场和磁场分别为(4) 球坐标系中，复数形式的电场强度矢量为在球坐标系中，矢量场的旋度可按下面行列式进行计算：上式中 5-4 电流元的远区辐射场为 (1)试求：(1)写出波印亭矢量的瞬时值S；(2)写出复数波印亭矢量SC；(3)总的平均辐射功率PS。解：(1)由瞬时形式的场矢量求瞬时波印亭矢量 (2)(2)由复数形式场表达式可求得复数波印亭矢量 (3)(3)总的平均辐射功率 (4)5-5 在微波环境中，如果平均功率密度 |Sav| < 10 mW/cm2对人体是安全的。分别计算以电场强度E和磁场强度H表

32、示的相应标准。已知E = h0H，h0 = 120p W。解：平均功率密度与最大场强振幅值E0和H0的关系为 (1)若用E和H分别表示实际工作中的电场强度矢量和磁场强度矢量，则有 (2)5-6 设一天线辐射的电场强度矢量为E = iAsin(wt - kz) (1)上式中，是电磁波的相位常数，已知波阻抗。试求：(1)将电场强度矢量E改写成复数形式；(2)通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量H；(3)瞬时波印亭矢量S；(4)复数波印亭矢量SC。解：(1)将电场强度矢量写成复数形式 (2)(2)通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量 (3)(3)瞬时波印亭矢量 (4)(4)复数波印亭矢量 (5)5-7 空中交变

33、电磁场的电场强度矢量只有x分量Ex = acos(wt - kz) + bsin(wt + kz) (1)试求：(1)由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量H；(2)瞬时波印亭矢量S；(3)复数波印亭矢量SC。解：(1)先把电场表达式变成复数形式，再由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量 (2)(2)瞬时波印亭矢量 (3)(3)复数波印亭矢量 (4)5-8 将下列指数形式(复数形式)的场表达式变换成正、余弦形式(瞬时值形式)的场表达式，或者做相反的变换。(注意，在取实部之前应加上时间因子ejw t)(1) E = iE0ejae-jkz ； (2) E = jE0； (3) E = iE0cos(wt - k

34、z)j2E0cos(wt - kz + p)解：(1)、(3)加入时间因子ejw t后取实部便可得到瞬时值形式(3)瞬时值形式变换成复数形式5-9 已知磁导率为 m，介电常数为 e 的均匀媒质中，电场强度矢量的表达式为E = (i + jj)Aej(wt-bz) (1)上式中，是电磁波的相位常数，已知波阻抗。试求：(1)瞬时波印亭矢量S，复数波印亭矢量SC和平均波印亭矢量Sav；(2)电场能量密度we和磁场能量密度wm。解：(1) 求出复数形式的磁场表达式，便可得到复数形式的波印亭矢量： (2)由瞬时值形式的电场强度矢量和磁场强度矢量来求瞬时波印亭矢量 (3)(2)电场能量密度和磁场能量密度

35、(4)第6章习题答案6-1 一频率为f = 100 MHz的均匀平面电磁波在简单媒质(mr = 1，er = 4，s = 0)中沿 +z方向传播，电场强度矢量为E = iEx(z, t)，电场的振幅值为E0 = 10-4 V/m。当t = 0，z = 0.125 m时，电场的瞬时值达到振幅值E0 。试写出电场强度矢量E和磁场强度矢量H的瞬时表达式。解：电磁波的工作波长和实际波长分别为 (1)电磁波的相位常数为 (2)设电场强度矢量E的Ex分量瞬时值表达式为Ex = E0 cos(wt - kz + y) (3)在t = 0时刻，z = 0.125 m处cos(00.125 ´ k +

36、 y) = 1，因此有 y = 0.125 k = p/6，于是可写出电场强度矢量E的x分量为 (4)磁场强度矢量H及其分量表达式为 (5)6-2 已知自由空间中电磁波的振幅为A，极化方向为j，圆频率为 w，传播方向为(z)，试写出该电磁波的电场强度矢量E和磁场强度矢量H。解：根据已知条件，可由电场强度矢量的瞬时值形式得到复数形式 (1) (2)亦可根据电场强度矢量、磁场强度矢量和传播方向三者的右手螺旋关系来求 (3)6-3 试证明在色散媒质中相速vp和群速vg之间满足下面关系：上两式中，b 和 l 分别是色散媒质中电磁波的相位常数和波长。证明：由 w = vp b，可得 (1)由，代入上式可

37、得 (2)得证。6-4 已知某色散媒质的色散关系为，其中 l0是该波在真空中的波长，k，m是正实数，求群速vg 。解：由已知条件可得 (1)由群速计算公式，可得 (2)6-5 已知自由空间电磁波的电场强度矢量的表达式为 (1)试求其相伴的磁场强度矢量H，并指出电磁波的极化方式。解：由麦克斯韦方程求相应的磁场强度矢量 (2)亦可根据电场强度矢量、磁场强度矢量和传播方向三者的右手螺旋关系来求 (3)从电场强度矢量E或磁场强度矢量H的表达式中可以看出，电磁波沿 +z方向传播，两个分量等幅，y分量的相位超前于x分量的相位差角为90°，因此合成波为左旋圆极化波。6-6 试判断Ex = 2cos

38、(w t - bz)，Ey = 3cos(w t - bz + 90°) 是什么极化波，并写出Ex和Ey分量所满足的轨迹方程式。解：从表达式容易看出，波沿 +z方向传播，两个线极化波分量不等幅，Ey分量的相位超前于Ex分量的相位差角为90°，合成波是左旋椭圆极化波。该椭圆极化波的轨迹为正椭圆，轨迹方程式为 (1)6-7 试判断下列各波的极化状态(线极化应指出极化方向，圆极化应指出旋转方向)。(1) Ex = Bsin(w t - bz) ， Ey = Acos(w t - bz + 90°)(2) Ey = -Acos(w tbx) ， Ez = Acos(w t

39、 - bx + 90°)(3) Ez = Bcos(w t + by - 270°) ， Ex = Acos(w t + by)(4) Ex = Aej(w t+b z) ， Ez = Aej(w t+b z+90°)(5) 解：逐个进行判断如下：(1) Ex = Bsin(w t - bz) = Bcos(w t - bz - 90°) ， Ey = Acos(w t - bz + 90°)波沿 +z方向传播，两个线极化波分量等幅反相，合成波是线极化波。电场强度矢量E与x轴正方向的夹角及其单位矢量分别为(2) Ey = -Acos(w t -

40、 bx)= Acos(w t - bx + 180°) ， Ez = Acos(w t - bx - 90°)波沿 +x方向传播，两个线极化波分量等幅，Ey分量的相位超前于Ez分量的相位差角为90°，合成波是右旋圆极化波。(3) Ez = Bcos(w t + by - 270°) = Bcos(w t + by + 90°) ， Ex = Acos(w t + by)波沿 -y方向传播，两个线极化波分量不等幅，Ex分量的相位落后于Ez分量的相位差角为90°，合成波是左旋椭圆极化波。(4) Ex = Aej(w t+b z) ， Ey

41、 = Aej(w t+b z+90°)波沿 -z方向传播，两个线极化波分量等幅，Ey分量的相位超前于Ex分量的相位差角为90°，合成波是右旋椭圆极化波。(5) 波沿 +z方向传播，两个线极化波分量等幅，Hy分量的相位超前于Hx分量的相位差角为90°，合成波是左旋圆极化波。6-8 试证明：(1) 一个椭圆极化波可以分解为一个左旋和右旋的圆极化波；(2) 一个圆极化波可以由两个旋向相反的椭圆极化波叠加而成。证明：(1) 以右旋椭圆极化波为例来证明。设波的传播方向为z方向，它的两个线极化波分量电场的振幅分别为A和B，A ¹ B。它的表达式为 (1)上式中，(A

42、 - B) = 2a，(A + B) = 2b。(2) 以右旋圆极化波为例来证明。设波的传播方向为z方向，它的两个线极化波分量电场的振幅都是A。它的表达式为 (2)上式中m ¹ 0，n ¹ 0，m ¹ n。6-9 已知无限大均匀理想介质中，电场强度矢量的表达式为E = (i2 + j2 - kj)e-j(x-y) (1)试说明该波的极化状态，并计算它的波长 l。解：先讨论波的传播方向，由指数因子的指数k(xcosa + ycosb + zcosg ) = x - y (2)由方向余弦的关系可得 (3)于是可求得相位常数、波长和频率 (4)方向余弦值及相应的角度为

43、(5)电磁波的传播方向为 (6)从电场强度矢量表达式可以看出，它可以分解为两个线极化波E = E1 + E2 = (i2 + j2) e-j(x - y) - kje-j(x - y) (7)从表达式可以看出，第2个线极化波分量落后于第1个线极化波分量的相位差角为90°。由于 (8)说明这两个线极化波都是横电磁波。不难验证E1 × E2 = 0，因此它们彼此垂直。由于E1，E2 和n三者互相垂直成右手螺旋关系，所以合成波是右旋椭圆极化波。6-10 z = 0平面是无限大分界面，z < 0一侧为真空，z > 0一侧为相对磁导率和相对介电常数分别为mr = 1和 e

44、r = 2.25的理想介质。圆频率为 w 的线极化均匀平面电磁波从真空一侧向分界面垂直投射。已知z = 0分界面上，入射波的电场强度矢量为Ei(x, y, 0, t) = iEix = i300pcos(w t) (mV/m)。试求：(1) 分界面两侧电磁波的相位常数k，波长 l，相速vp和波阻抗 h ；(2) 分界面两侧入射波、反射波和传输波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式；(3) 验证分界面上满足电磁场边界条件和能量守恒定律。解：本题用电磁波的瞬时值形式表达式作解答，同学们也可用复数形式的表达式作解答。(1) 在z < 0真空一侧的4个参数分别为在z > 0介质一侧的4个参数分别为(2) 由已知条件可分别求得分界面z < 0真空一侧入射波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式为由已知条件还可以求得分界面上电场强度矢量的反射系数和传输系数于是可求得分界面z < 0真空一侧反射波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式为而z > 0介质一侧的传输波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式为(3) 验证分界面上满足电磁场边界条件。由上面计算结果可知，在z = 0分界面上E1t = Eix|z = 0 + Erx|z = 0 = 300pcos(w t) - 60