7.2复数的四则运算(精讲)(含答案)

1、be-ad编(c+附。)7.2复数的四则运算设Ni=o+bi z?=c+di b, c, d£R),则 加法：Zi+Z2=(o+bi)+(c+M)=(Q+c)+S+£0i减法：ziZ2=(a+Ai)(c+/i)=(ac)+(d</)i乘法：NiZ2=(a+Ai)(c+di)=(ac儿f)+(od+Ac)i除法:G o +bi (a + bi)(c - di)ac+bdZ2 c+小(c +di)(c - di)crd1加法交换律：zi+z2=a+zi；加法结合律：（Z1+Z2）+Z3=Z1 +（Z2 + Z3）乘法交换律：ZVZ1-Z2'Z乘法结合律：（ZiZ;

2、）Z3=Zj（Z2Z3）乘法分配律2 Z1（Z：+z3）=ZlZ2 + ziZ3的斌注在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，加律法运用法则（实部与实部相加减，虚部与虚部相加减）复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数 单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项除次除法的关键是分子分母同乘以分母的共枕复数,际以解题中要注意把i的幕写成最简形式考法一复数的加减运算及集合意义【例1-1(2020全国高一课时练习)计算：(D (1 + 3/)+ (-2 +/) + (2-3/)；(2) (2-/)-(-l + 5Z) + (3 + 4/);(3) (a + bi) - (3a - 4

3、bi) + 5i(a,b e R).【例1-2（2020全国高一课时练习）如图所示，平行四边形的顶点。，4。对应的复数分别为0,3 + 23 -2 + 4/,其中，为虚数单位.13 / 10求而对应的复数.Q）求对应的复数: （3）求。5对应的复数.【一隅三反】1. （2020东台市创新学校高二月考）复数（3 + 5i） + （3 - 4i）=（）A. 6 iB. 6 + iC. -1+zD. 1 + 6/2. （2020苏州新草桥中学高二期中）（5-，）一（37）-5,等于（）.A. 5zB. 2-5/C. 2 + 5zD. 2Z2=3-2/则石一益在复平面内对应的3. （2020全国高一课

4、时练习）设i为虚数单位，复数4=1-31,点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. （2020全国高一课时练习）复数（li） （2 + i） + 3i等于（）A. -1 + /B. 1-/C. iD. -i考法二复数的乘除运算【例2】（2020济南市山东师范大学附中高一月考）设马=3-4i,则Z/Z2在复平面内对应的点位于（A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限（2） （2021贵州贵阳廿）若z（li） = 2,则£=（）A. 1 - ZB. 1 + /C. -1 - zD-1 + /【一隅三反】1-/1. （2020北京海淀区人大附中高三期中）设i为虚

5、数单位，则的虚部为1 + /2. （2020全国）在复平面内，复数z = 对应的点位于（）1-/2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. (2020全国)复数”,、=().(l-z)(l + 2z)3 4,A. 1B.JC.15 53 D.-54.（2020全国）计算：（1）1-' I 1 + J/(l+i)2(1一)2：(6 + i)2考法三复数范围内解方程【例3】（2020辽宁高一期末）若虚数1 2,是关于的方程/-办+ = 0（。"£1）的一个根，则上/ +阿= （ ）A. 29B. y/29C.后D. 3【一隅三反】1. （2020重庆北培区）

6、已知复数z = li（1为虚数单位）是关于x的方程/ + 工+ 4 = 0 （p，q为实数） 的一个根，则P+ 4的值为（）A. 4B. 2C. 0D. -22. （2021,上海杨浦区复旦附中）设复数Z满足同=1,且使得关于的方程乙产+23+ 3 = 0有实根，则 这样的复数Z的和为.3. （2020全国）关于大的方程/+（2。，»-3+ 1=0有实根，求实数。的取值范网4. （2020全国高一课时练习）己知关于1的方程x2+kx+k2-2k=0有一个模为1的虚根，求实数k的值.7.2复数的四则运算设Ni=o+bi z?=c+di (a9 b9 c, d£R),则 加法：

7、Zi+Z2=(o+bi)+(c+M)=(Q+c)+S+£0i减法：N122=（。+ 加）一（c +小）=（。-c）+（。一/）i乘法：NiZ2=(a+Ai)(c+di)=(ac儿f)+(od+Ac)i除法:G o +bi (a + bi)(c - di)ac+bdZ2 c+小(c +di)(c - di)crd1be-ad编(c+附。)加法交换律：zi+z2=a+zi；加法结合律：（Z1+Z2）+Z3=Z1 +（Z2 + Z3）乘法交换律：ZVZ1-Z2'Z乘法结合律：（ZiZ;）Z3=Zj（Z2Z3）乘法分配律2 Z1（Z：+z3）=ZlZ2 + ziZ3的斌注在进行复数的

8、加减法运算时，可类比合并同类项，加律法运用法则（实部与实部相加减，虚部与虚部相加减）复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数 单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项除次除法的关键是分子分母同乘以分母的共枕复数,际以解题中要注意把i的幕写成最简形式考法一复数的加减运算及集合意义【例1-1(2020全国高一课时练习)计算：(D (1 + 3/)+ (-2 +/) + (2-3/)；(2) (2-/)-(-l + 5Z) + (3 + 4/);(3) (a + bi) - (3a - 4bi) + 5i(a,b e R).【答案】(1) l+» (2) 6-2,(3) -2

9、a + (5b+ 5)i【解析】(1)原式= (-l + 4i) + (2 - 3i) = l + i.(2)原式= (3-6i) + (3 + 4i) = 6-2i.(3)原式=(2a + 5bi) + 5i = 2a + (5Z? + 5)/.【例1-2】(2020全国高一课时练习)如图所示，平行四边形。四C的顶点。，乂，。对应的复数分别为0,3 + 2" -2 + 4/,其中?为虚数单位一求血对应的复数.(2)求CA对应的复数：(3)求瓦对应的复数.【答案】(1)一3 2i； (2)5-2/； (3)1 + 6/.【解析】(1)因为= 砺，所以不。表示的复数为一32L(2)因为

10、方=次五，所以五表示的复数为(3 + 2i) (2 + 4i) = 5 2i.)OB = OA + OC 所以而对应的复数为(3 + 2i) + (-2 + 4i) = l+6i.【一隅三反】1 . (2020东台市创新学校高二月考)复数(3 + 5i) + (3 - 4i)=()A. 6 /B. 6 + /C. -1+/D. -1 + 6/【答案】B【解析】因为(3 + 5i) + (3-4i) = (3 + 3) + (5 - 4)i = 6 + i,故选：B2 .(2020苏州新草桥中学高二期中)(5-，)一(3-i)-5i等于().A. 5/【答案】BB. 2-5/C. 2 + 5/D

11、. 2【解析】（5，）一（3 ，）-5，= 5 ，-3 +，-5，= 25».故选：B3. （2020全国高一课时练习）设i为虚数单位，复数4=1-3匕z2=3-2/,则。Z?在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】q-Z2=（l - 3，） （3 2i） = -2 i, 2 i在复平面内对应的点为（一2,-1）,在第三象限.故选：C.4. （2020全国高一课时练习）复数（li） （2 + i） + 3i等于（）A. -1 + /B. 1-/C. iD. -i【答案】A解析（l_i）（2 + i） + 3i = （l_2） + （

12、Ti + 3i） = _l+i 故选：A.考法二复数的乘除运算【例2】（1） （2020济南市山东师范大学附中高一月考）设号=3-3，Z2=2-3f,则以在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2） （2021贵州贵阳市）若z（li） = 2,则£=（）A. 1-/B. 1 + /C. -1-zD. -1 + /【答案】（1） C （2） A【解析】（1） Zj -z2 =（3-4/）（2-3/） = 6-9/-8z + 12/2 =-6-17z,42在复平而内对应的点为（-6,17）,所以4%2在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C（2）由 z

13、（l-j） = 2 得故 W=l-i.故选：A.71-1【一隅三反】1-Z1. （2020北京海淀区人大附中高三期中）设i为虚数单位，则 L 的虚部为.1 + /【答案】-1【解析】1 _(1一，)(1-，)_1_2，+ 5 _2j r+7-(l + z)(l-z)- 1-z2故答案为:2 .（2020全国）在复平面内，复数Z = * + L二对应的点位于（）1-/2A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】AD.第四象限【解析】Z =(1 + /)21-/ 2i 1-/+=+(1-0(1 + /)22则之在复平而内对应的点为（!，!）,在第一象限, 2 22 23 .（202。全国）复数高

14、占).A. -1C.D-1【答案】B【解析】根据复数的运算法则,可得1-3/1-3/ (l-3/)(3-f) -10/(1-/)(1 + 2z) 3 + /(3 + 0(3 -/)10=一，.故选：B.4 . （2020全国）计算:(1) (1 + 2厅+3(1)1 - / + iEb1-后(>/3+i)2 .【答案】（1）1 2.一+ - i 5 5i n(2) -1： (3) 一上一乂44【解析】（1）根据复数的运算法则，可得。+ 2/）-+3（1 -'）= -3 + 4，+ 3-3/i _ i(2-i) _1 2+7-(2 + /)(2-/)-52.+ -i5（2）根据复数

15、的运算法则,可得1-/1 + z 1-Z 1+/ 1 + / -1 +，+1-I (1 + z)2 (1-z)2 2i -2/-22（3）根据复数的运算法则,可得"=(.+(-，)=“(6 +,)2 -(73+/)2 -K+L+i)*-i)-1-疯1G=I .444考法三夏数范围内解方程【例3】（2020辽宁高一期末）若虚数1 2,是关于x的方程犬-办+ = 0（。"£1）的一个根，则,+阿=B. V29C.而【答案】B【解析】由题意可得，（1-2/）2-6/（1-2；）+/? = 0,所以一。-3 + （* 4），= 0,故 =2, b = 5,则,+51 =

16、|2 + 5，=后.故选：B.【一隅三反】1. （2020重庆北培区）已知复数z = li （1为虚数单位）是关于x的方程/ + /八+4=0 （p, q为实数）的一个根，则P+ 4的值为（）A. 4B. 2C. 0D. -2【答案】C【解析】因为复数z = l-i G为虚数单位）是关于X的方程/ + /* +夕=0 （p, q为实数）的一个根，所以了 = 1+i也是方程的一个根，m=2所以p + q=。，故选：C2. （2021,上海杨浦区复旦附中）设复数Z满足同=1,且使得关于的方程乙1+2白+ 3 = 0有实根，则 这样的复数Z的和为.7【答案】一一【解析】设z = o+切，（。，Z?e

17、R且2+/=1）则原方程2+2谟+ 3 = 0变为（a2+2«1 + 3）+ （加22"）,=。.所以 ax + 2ax + 3 = 0，二且 bx2 - 2bx = 0» 二：（l）若 =0,则/ = 1解得。=±1,当"=1时二无实数解，舍去;从而。=1, 丁_2工_3 = 0此时X = 1或3,故z = l满足条件: （2）若刈，由二知，x = 0或x = 2,显然x = 0不满足，故x = 2,代入口得。=一3，b = 土庄,88综上满足条件的所以复数的和为-1+ 一?+与7故答案为：一了3 .（2020全国）关于x的方程/+（2。，»-3+ 1=0有实根，求实数。的取值范网【