2命题与基本逻辑连接词-简单难度-讲义

1、命题与基本逻辑连接词知识讲解命题及其关系1 .命题的定义定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫假命题.注意：并不是任何语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题.一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题， 但是反义疑问句是命题. 如：a.这是一棵大树”；b. x 2”；c.三角函数是周期函数吗？ "，但愿每一个三次方程都有三个根 ”，指数函数的图像真漂 亮！”d. “12 5"，6=2"，""是无理数；e.每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之 和”(歌德巴赫猜想)；在2

2、010年前，将有人登上火星”2 .命题的结构结构：数学中，具有 若p ,则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3 .命题的四种形式形式：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q来表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是：原命题：若 p ,则q ;逆命题：若q ,则p ;否命题：如果 p , 则q ;逆否命题：如果 q ,则p .注意：关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题.如：同位角相等，两直线平行.它的 逆命题就是：两条直线平行，同位角相等.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得

3、的命题是否命题如上例的否命题是：同位角不相等，两直线补平行.(3)交换原命题的条件个结论，并同时否定，所得的命题是逆否命题.如上例：两条直线不 平行，同位角不相等.4 .四种命题的相互关系(1).四种命题以及它们之间的关系万逆 如果 p,贝1 q - 4 如果 q则 p 真假不一定相等).这一等价性，可以从集合的角度来解释： 设A xp(x)，即使命题p为 真的对象所组成的集合， B= xq(x),因此由p q可知A B, CuA Cu B ,即p q, 反过来，若 p q,即CuA CuB, A B,即p q如果非p,贝U非q *» 如果非q,贝I非p 互逆 1) .原命题为真，它

4、的逆命题不一定为真；如：原命题逆命题 若ab 0,则a 0”是假命题.2) .原命题为真，它的否命题不一定为真；如：原命题否命题 若a 0,则ab 0”是假命题.3) .原命题为真，它的逆否命题一定为真；如：原命题否命题 若ab 0,则a 0”是假命题.4) .互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，0”是真命题，它的0”是真命题，它的0”是真命题，它的综上所述：在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个.四种情况:原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题它们之间的等价关系关系：互为逆否命题是互为等价命题(即真假相同)，而其它的命题不

5、是互为等价命题(即5.命题的否定与否命题的区别若命题为若p ,则q"，则其命题的否定：若p ,则q"，而其否命题是：若p,则q”.(2)常见的一些词语和它的否定词语对照表原词语T （一）E ）小于()是都是至多什-个否定词不等于()不大于()不小于()不是不都是至少用两个原词语至多后n个至少有一个任意的能p或q否定词语至少n 1个一个也没有某个不能p且q、基本逻辑连接词1,且“或“ 的概念且定义：一般地，用逻辑联结词 且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p q, 读作“p且q” .逻辑联结词 且”与日常语言中的 并且“、及“、和”相当.可以用 且”定义 集合的交

6、集： AI B x|(x A) (x B) .判断命题p q的真假：当p、q都为真命题，p q就为真命题；当 p、q两个命题中只要有一个命题为假命题， p q就为假命题.(2)或定义：一般地，用逻辑联结词 或”把命题p或q联结起来，就得到一个新命题，记作p q, 读作“p或q”.逻辑联结词 或”的意义和日常语言中的 或者”相当.可以用 或”定义集合的 并集：AU B x|(x A) (x B).判断命题p q的真假：p q为真命题；当p、q两个命题都为当p、q两个命题中，只要有一个命题为真命题时, 假命题，p q为假命题非定义：一般地，对命题 p加以否定，得到一个新的命题，记作 p ,读作 非

7、p”或“p的否 定”.逻辑联结词 非”(也称为 否定")的意义是由日常语言中的不是“全盘否定”问题的反面”等抽象而来.有(p) p成立.可以用 非”来定义集合 A在全集U中的补集：eu A x U | (x A) x U |x A.判断p命题的真假：p和p不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假.2.复合问题的真值表：pqp qp qp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真三、量词1、全称量词定义：短语 对所有的“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号"”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题.全称命题的否定： 全称命题 q : x A, q(x);它的否定是 q

8、: x A, q(x).将 全称量词变为存在量词，再否定它的性质.2、存在量词定义：短语存在一个”至少有一个”在逻辑中通常用叫做参在量词，用符号 "”表示，含有 存在量词的命题，叫做特称命题.存在性命题的否定： 存在性命题p : x A, p(x);它的否定是p : x A, p(x).将存在量词变为全称量词，再否定它的性质.3、全称命题与存在性命题不同的表达方法命题全称命题x A, p(x)存在性命题“x A, p(x)”表所有的xA, p(x)成立存在x A ,使p(x)成立述对一切x A , p(x)成立至少有 个x A,使p(x)成立.方法对每,个x A, p(x)成立.对有

9、些x A,使p(x)成立个x A,使p(x)成立.对某个x A,使p(x)成立凡x A,都有p (x)成立W"一个x A ,使p( x)成立号典型例题一.选择题(共9小题)1. (2018?马鞍山三,K)命题p：若a>b,则a-1>b-1,则命题p的否命题为 ( )A.若 a>b,则 a K b- 1 B.若 a>b,则 a1<b 1C.若 a&b,则 a 1<b- 1 D.若 a<b,则 a1<b1【解答】解：根据否命题的定义：若原命题为：若p,则q.否命题为：若p则q.:原命题为若a>b,则a-1>b-1”否命题

10、为：若a<b,则a- 1<b- 1故选：C.2. （2018?州二模）命题 ？ xC 1, 2, x23x+200”的否定是（）A. ? x 1, 2, x2-3x+2>0 B. ? x? 1, 2, x2-3x+2>0C. ? 1 , 2 , ?2 - 3?+ 2>0 D. ? 1 , 2, ?2 - 3?+ 2>0【解答】解：命题：？ xC 1,2 ,x2-3x+200 的否定是？?？ C1 , 2, ?2 - 3? +2>0,故选：C.3. (2018?可西区一,K)命题p： ? x R, x2+2x+1>0”的否定是(A. ? x R,

11、x2+2x+1<0 B. ? X0C R,使得 x02+2x0+1 <0C. ? xoC R,使得 x02+2x0+1 > 0 D. ? xoC R,使得 x02+2x0+1 < 0【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题p: ? x C R, x2+2x+1 > 0”的否定是? x°e R,使得 x02+2x0+1<0 故选：B.4. (2018?成都模拟)设有下面四个命题P1：若 z满足 z C,则 z? R;P2：若虚数a+bi (aCR, bC R)是方程x3+x2+x+1=0的根，则abi也是方程的 根：P3：已知复数Z1, Z2

12、则Z1=?？勺充要条件是Z1Z2C R：P4；若复数Z1>Z2,则Z1, Z2C R.其中真命题的个数为()A. 1B. 2C. 3 D. 4【解答】 解：P1：若 z 满足 zC C,设 Z=a+bi, a, bCR,贝 U z?= (a+bi) (a - bi) =a2 (bi) 2=a2+b2C R；故命题为真命题，P2：由 x3+x2+x+1=0 得 x2 (x+1) +x+1= (1+x2) (x+1) =0,贝U x=一 1 或 x=± i,若虚数 a+bi (aC R, bC R)是方程 x3+x2+x+1=0的根，贝U a一 bi也是方程的根正确：_.,、一一,

13、、IP3：已知旻数 zi, Z2,则设 Z1=?=a+bi, a, b R,贝U Z2=a bi, a, bCR,贝U Z1Z2= (a+bi) (a- bi) =a2 (bi) 2=a2+b2CR成立，即 充分性成立，、一一.7,、I 一、八.r f,、设Z1=2i, Z2=i,?两足：Z1Z2=2i?i=-2 C R, 1 Z1=?2i成立，即必要性不成立，故此命题为假命题.P4；若复数Z1>Z2,则Z1, Z2C R.正确.其中真命题的个数为3个，故选：C.5. （2017春？邹平县校级期中）已知命题 p： xC AUB,则非p是（）A. x不属于AH B B. x不属于A或x不属

14、于BC. x不属于A且x不属于BD. xCAA B【解答】解：由xC AU B知xCA或xCB.非p是：x不属于A且x不属于B.故选：C.6. （2017春？历城区校级期中）命题 方程x2-4=0的解是x=±2”中，使用的逻辑 联结词的情况是（）A.没有使用联结词B.使用了逻辑联结词 或”C.使用了逻辑联结词 且” D.使用了逻辑联结词 非”【解答解：x=± 2是指x=2或x= 2. 使用了使用了逻辑联结词或”，故选：B.7. （2012秋？临夏市校级期末）命题：方程X2 - 2=0的解是X=±v2”中使用逻辑联系词的情况是（）A.没有使用逻冷?连接词B.使用了逻

15、辑连接词 目”C.使用了逻辑连接词 或" D.使用了逻辑连接词 非”【解答】解：命题：方程X2 - 2=0的解是X=±技"可以化为：方程X2 - 2=0的解是X=v2,或X=- v2”故命题：方程X2 - 2=0的解是X=±/”中使用逻辑联系词为：或故选：C.8. （2010秋？景洪市校级期末）命题 方程x2=1的解是x=±1”中，使用逻辑词的 情况是（）A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词或”C.使用了逻辑联结词且”D.使用了逻辑联结词或“与且”【解答】解：命题的等彳/T条件是方程x2=1的解是x=1或x=-1,使用了逻辑连接词或”，故

16、选：B.9. （2018?商丘三模）直三棱柱 ABC- A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为A. AB1/平面 BDCB. A1C，平面 BDCC.直三棱柱的体积V=4D.直三棱柱的外接球的表面积为 4v3冗【解答】解：取AC中点O,连接OB, AO,D为AC的中点，四边形DAOC为平行四边形,1俯视图.AO/ GD,又四边形 BDOB为平行四边形，.二BD/ OBi,平面 AOBi/平面 BDC, ABi?平面 AOBi,.AB /平面 BDC.由三视图知 AiB，平面 BCG3, BG?平面 BCGBi, a AiBiXBCi, CBXBQ .BC,平面 A1B1C,BGLAiC;

17、由侧视图知 ABC为等腰直角三角形,D为AC的中点，. BD,AC, . BDL平 面 ACCAi, . AidBD,又 BDA BG=B, .AiC,平面BDC.故B正确；i由三视图知：直三棱柱的图为2,底面是直角边长为2的等边三角形，体积Vq X2X 2X2=4, ；C正确；由直三棱柱的结构 特征知，直三棱柱 为正方体的 一半，.外接球 的半径V3X22 R=v3,2 外接球的表面积S=4ttX 3=i2Tt,D错误;故选：D.二.填空题（共5小题）10. （2017春?启东市期末）命题：？ xC A,均有xC B的否定是 ？ xC A,则x ?B .【解答】解：全称命题的否定是特称命题，

18、对于集合A, B,命题：? x A,则xCB'的否定形式为：命题： ？ xCA,则x ?B'.故答案为：？ xC A,则x?B.11. （2017?南京一模）已知命题p： ?xCR, x2+2x+a00是真命题，则实数a的 取值范围是（一0°, 1 .【解答】解：若命题p： ? xC R, x2+2x+a0 0是真命题，则判别式 =4- 4a>0,即 a0 1,故答案为：（-8, 1.12. （2016春?泰兴市校级期中）？xC1, 2, x2-a00”为真命题，则a的取 值范围是 a> 4 .【解答】解：? x1, 2, x2-a00”为真命题，故 a

19、（x2） max=4 在 x1, 2恒成立，则a的取值范围是a>4,故答案为；a> 4.13. （2015?宿豫区校级模拟）若命题 ？xCR,有x2-mx-m00”是假命题，则 实数m的取值范围是（-4, 0）.【解答】解：命题? x R,有x2-mx-m00”是假命题，它的否定命题是 ？ xC R,有x2-mx-m>0"，是真命题，即 m2+4m<0;解得-4Vm<0,；m的取值范围是（4, 0）.故答案为：( 4, 0).14. (2013?工阴市校级模拟)命题 ？ xC R,有x2+1 /x”的否定是 ？ x 1 R,使 x2+1 <x .【解答】解：:原命题？xCR,有x2+1>x”命题？xCR,有x2+1>x”的否定是：? x R,使 x2+1 <x.故答案为：？ xC R,使x2+1<x.三.解答题(共3小题)15. (2017秋？林芝县校级期末)写出下列命题的否定.(1)命题 存在一个三角形，内角和不等于180° ”(2)命题？ x R, |x|+x2&g