学习结构力学三弯矩方程

1、学习结构力学的三弯矩方程式9-1、荷载作用下连续梁的计算 三弯矩方程式多跨连续梁的超静定次数等于其各中间支座数目。图9-3中，b图所示多跨简支梁为基本结构，以各中间支座弯矩Mn-1、Mn、Mn+1等为多余未知力来求解。根据基本结构上每个中间支座处左、右两侧面的相对转角应等于零的位移条件，可建立与多余未知力的数目同样多的典型方程。下面以支座n处的位移条件为例，写出其典型方程。由于在此基本结构中，每个单位弯矩图的范围只限于该未知力左、右的两跨（见图9-3），因此每个单位弯矩图就只与左、右两个相邻的单位弯矩图相互垂叠，于是由图乘法可知，在支座n的典型方程中，除nn-1，nn，nn+1外，其余各项系数

2、均为零。这样，此典型方程就简化为：nn-1Mn-1+nnMn+nn+1Mn+1+np=0（1）这表明，不论多余未知力的数目有多少，每个典型方程中最多只包含三个多余未知力。由图乘法可得：公式中：和代表跨度和上Mp图的面积。，为把跨的Mp图的面积当作简支梁的假象荷载时，该跨右支座产生的虚反力（图9-4，a）。，为把跨的Mp图的面积当作简支梁的假象荷载时，该跨左支座产生的虚反力（图9-4，b）。注明：为跨右支座虚反力； 为跨左支座虚反力。将上述系数和自由项代入前述典型方程（1）可得：（2）为简化起见，令：，IO是任意惯性矩，通常取某跨度惯性矩作为IO；，称为各跨换算跨度。于是典型方程（2）成为：（9

3、-1）这就是通常所称为的三弯矩方程式。对于连续梁的每一个中间支座，都可以写出一个这样的方程式，因而可求出全部中间支座弯矩。当各跨的惯性矩I相同时，可取Io=I，则=，=，式（9-1）成为：（9-2）若是各跨的惯性矩I相同，跨度也相同，式（9-2）则简化成：（9-3）为便于计算，表9-1中列出了几种常见荷载下的6A和6B值。对复杂一些的荷载，可根据表内数据，由叠加法求得。表9-1 几种常见荷载下的6A和6B值荷载当，当，当，求出各支点弯矩后，以各点弯矩为连续，再对各跨按简支梁做荷载弯矩计算，按叠加法绘制总弯矩图。根据弯矩图作剪力图：；。其中：Mn、Mn+1、Mpn有正负之分。根据剪力计算支座反力

4、。支点n上的反力：Wn=Qn-Qn+1（为正）。例题：求图9-5所示连续梁的M、Q图及支座反力。已知q=10KN/m。解题：设IO=I1，则：，按式（9-1）建立各中间支座的三弯矩方程式时，应注意在连续梁的两端处为铰支，有Mo=M4=0。故在第一及最后两个三弯矩方程式中实际仅包含两个未知力。支座1：支座2： 支座3：用数字代入上列各式得： 解之可得：M1=-17.83KN-m，M2=-24.58KN-m，M3=-3.86KN-m。各中间支座弯矩求得后，最后弯矩图可按叠加法绘出，然后根据弯矩图作出剪力图（图9-6）。再由剪力图可求得各支座反力为：注：弯矩图是按简支状态下单跨叠加的！剪力左为“-”，右为“+”。R0=9.06kN，R1=20.94+38.31=59.25kN；R2=25.18+41.69=66.87kN，R3=14.82+1.29=16.11kN；R5=1.29kN。注解：计算剪力：；Qn表示n截面左侧，Qn+1示n截面右侧。其中跨中荷载