113导数的几何意义

1、1.1.3 导数的几何意义 1.1.平均变化率平均变化率函数函数y=y=f(xf(x) )从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :2.2.平均变化率的几何意义：平均变化率的几何意义：OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y121)()xf xxx 2 2f f ( (ykx 121)()xf xxx 2 2f f ( (yx 割线的斜率割线的斜率3.3.导数的概念导数的概念函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率0000( )() ()lim xf xxf xfxx 称为函数称为函数

2、y = f (x) 在在 x = x0 处的导数处的导数, 记作记作或或 , 即即0| xxy0() fx4.4.求函数求函数y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的导数的一般步骤是处的导数的一般步骤是: :001( )()(); yf xxf x求求函函数数的的增增量量002()()( ); 求求平平均均变变化化率率f xxf xyxx003( )()lim. 取取极极限限，得得导导数数xyfxx1.1.根据导数的几何意义描述实际问题根据导数的几何意义描述实际问题. .2.2.求曲线上某点处的切线方程求曲线上某点处的切线方程. .（重点）（重点）3.3.导函数的概念及对导数的几何

3、意义的理解导函数的概念及对导数的几何意义的理解. . （难点）（难点） 平面几何中我们是怎样判断直线是否是平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的圆的割线或割线或切线切线的呢的呢？探究点探究点1 1 切线切线切线切线割线割线如图直线如图直线l1 1是曲线是曲线C C的切线吗的切线吗? ? l2 2呢呢? ? l2l1AB0 xyl1 1不是曲线不是曲线C C的切线，的切线，l2 2是曲线是曲线C C的切线的切线. .观察图形你能得到什么结论？观察图形你能得到什么结论？切线的定义：切线的定义： 当点当点 沿着曲线趋近于沿着曲线趋近于 点点 ，即，即 时，割线时，割线趋近于一个确定的位置，趋近于一个

4、确定的位置，这个确定位置的直线这个确定位置的直线PTPT称为点称为点P P处的切线处的切线. .nPP0 xnPP注：曲线的切线注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一并不一定与曲线只有一 个交点个交点, 可以有多个可以有多个,甚至可以有无穷多个甚至可以有无穷多个.xyoy=f(x) 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？有何联系？平均变化率平均变化率 割线的斜率割线的斜率瞬时变化率（导数）瞬时变化率（导数）切线的斜率切线的斜率0 x 0 x 探究点探究点2

5、2 导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 在在 处的导数就是曲线处的导数就是曲线在点在点(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率 ， 即：即：( )yf x0 xxk0000()lim()xf xxf xkfxx 曲线在点曲线在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的方程为：处的切线的方程为：000()()().yf xfxxx导数的几何意义导数的几何意义例例1 1 求曲线求曲线y=y=f(xf(x)=x)=x2 2+1+1在点在点P(1,2)P(1,2)处的切线方程处的切线方程. .QPy=x2+1xy-111OjMyx因此因此, ,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1)

6、,y-2=2(x-1),即即y=2x.y=2x.0002020111 122()()lim()()lim()lim. xxxf xxf xkxxxxxx解：解：【总结提升总结提升】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: :求出切点求出切点P P的坐标；的坐标；求切线的斜率，即函数求切线的斜率，即函数y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的处的导数；导数；利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程. .例例2 2 如图如图, , 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105 . 69 . 4)(2ttth的图象的图象.

7、. 根据图象根据图象, , 请描述、请描述、比较曲线比较曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况. .)(th210,ttttoht0t1t2l0l1l2t4t3解解: :可用曲线可用曲线 h(th(t) ) 在在t t0 0 , t, t1 1 , t, t2 2处的切线刻画曲线处的切线刻画曲线h(th(t) )在上述三在上述三个时刻附近的变化情况个时刻附近的变化情况. .(1)(1)当当t = tt = t0 0时时, , 曲线曲线 h(th(t) ) 在在 t t0 0 处的切线处的切线 l0 0 平行于平行于 t t 轴轴. .故在故在t = tt = t0 0 附近曲线比较平坦附近曲

8、线比较平坦, , 几乎没有升降几乎没有升降. .tohl0t0t1l1t2l2t4t3(2)(2)当当 t = tt = t1 1 时时, , 曲线曲线 h(th(t) ) 在在 t t1 1 处的切线处的切线 l1 1 的斜率的斜率 h h (t(t1 1) 0 .) 0 .故在故在t = tt = t1 1 附近曲线下降附近曲线下降, ,即即函数函数 h(th(t) ) 在在 t = tt = t1 1 附近单调递减附近单调递减. . tohl0t0t1l1t2l2t4t3 从图可以看出，直线从图可以看出，直线 l1 1 的倾斜程度小于直线的倾斜程度小于直线 l2 2 的倾斜程度，这说明曲

9、线的倾斜程度，这说明曲线h(th(t) ) 在在 t t1 1 附近比在附近比在t t2 2 附附近下降得缓慢近下降得缓慢. .(3)(3)当当 t = tt = t2 2 时时, , 曲线曲线 h(th(t) ) 在在 t t2 2处的切线处的切线 l2 2 的斜率的斜率 h h (t(t2 2) ) 0 .0 .故在故在 t = tt = t2 2 附近曲线下附近曲线下降降, ,即函数即函数 h(th(t) ) 在在t = tt = t2 2 附附近也单调递减近也单调递减. . 【总结提升总结提升】通过观察跳水问题中导数的变化情况通过观察跳水问题中导数的变化情况, ,你得到了哪你得到了哪些

10、结论些结论? ?(1)(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；切线近似代替；(2)(2)函数的单调性与其导函数正负的关系；函数的单调性与其导函数正负的关系；(3)(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系. . 例例3 3 如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=c=f(tf(t) )（单位：（单位：mg/mlmg/ml）随时间）随时间t t（单位：（单位：minmin）变化的函数图象，根）变

11、化的函数图象，根据图象，估计据图象，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8 mint=0.2,0.4,0.6,0.8 min时，血管中时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。( (精确到精确到0.1)0.1) 解：解：血管中药物浓度的瞬时变化率血管中药物浓度的瞬时变化率, ,就是药物浓度就是药物浓度从图象上看从图象上看, ,它表示曲线在该点处的切线的斜率它表示曲线在该点处的切线的斜率. .函数函数f(tf(t) )在此时刻的导数在此时刻的导数, ,（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画

12、复杂的对象 t 0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 04 . 10.40.4- 0.7- 0.7 0 81 40 81 4.,. , . .tf 作作处处的的切切线线 它它的的斜斜率率约约为为所所以以 0000,.,(derivativefunction)().,lim.xfxxxxxfxxfxxfxyfxfxxfxyfxyx 从从求求函函数数在在处处导导数数的的过过程程可可以以看看到到 当当时时是是一一个个确确定定的的数数 这这样样 当当变变化化时时便便是是 的的一一个个函函数数 我我们们称称它它为为的的简简称称的的导导函函数数有有时时也也记记作作即即导导

13、函函数数导数导数一、选择题一、选择题1 1曲线曲线y y2x2x2 21 1在点在点(0,1)(0,1)处的切线的斜率是处的切线的斜率是 ( () ) A A4 4 B B0 0 C C4 4 D D不存在不存在B B2曲线 y12x22 在点(1，32)处切线的倾斜角为 ( ) A1 B.4 C.54 D4 B B3 3若曲线若曲线y yh(xh(x) )在点在点P(aP(a，h(ah(a)处的切线方程处的切线方程为为2x2xy y1 10 0，那么，那么 ( () )A Ah(ah(a) )0 0 B Bh(ah(a)0)0 )0 D Dh(ah(a) )不确定不确定B B4 4曲线曲线y

14、 yx x3 3在点在点P P处的切线斜率为处的切线斜率为3 3，则点，则点P P的坐标的坐标为为 ( () ) A A( (2 2，8) B8) B(1,1)(1,1)，( (1 1，1)1) C. ( 2 , 8) D. C. ( 2 , 8) D.B B1128（-，-，- ）- ）二、填空题 5已知曲线 y1x1 上两点 A(2，12)，B(2x，12y)，当 x1 时，割线 AB 的斜率为_ 16- -6P 是抛物线 yx2上一点，若过点 P 的切线与直线y12x1 垂直，则过点 P 的切线方程为_ y y2x2x1 12.2.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义几何意义，就是函数就是函数 的图象在点的图象在点 处的切线的斜处的切线的斜率率（数形结合）（数形结合） )(xf0 xx 0/xf)(xf00,()P xf x0000/()(