用迭代法速解高考压轴题

1、高 三 数 学专题讲座 巧用迭代法速解高考压轴题高考是以知识为载体，方法为依托，能力为目标来进行考查的，命题时则是以能力为立意，以方法和知识为素材来进行命题设计的。纵观这两年全国高考的新课程试卷中的压轴题数列问题，背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活，又由于新课程的改革中淡化了数学归纳法，无疑地迭代法成为解决这类问题的通法。1an+1=pan+q(p、q为非零常数)型此类型的通项公式求法通常有两种迭代思路：一是构造新数列使其成等比数列，设原递推关系化为an+1+=p(an+)，其中为待定系数，于是有p=q，即=，这样数列即为等比数列。二是an=pan1+q=p(pan2+q)+q=

2、p2an2+pq+q=p2(pan3+q)+pq+q=p3an3+p2q+pq+q=pn1a1+pn2q+pq+q，它的实质下标递降，直至退到不同再退为止。 例1设a0如图，已知直线:y=ax及曲线C:y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1(0a10),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，求的通项公式。分析：充分利用“An是线段An2An1的中点”这一重要信息来揭示xn与xn1、xn2的递推关系，然后利用迭代法先将相邻三项递推关系转化为相邻两项的关系，即xn与xn1的关系，再用类型一或类型二的迭代法求解xn. 解：由An是线段An2An1的中点得：x

3、n=,即2xn=xn1+xn2(n3).迭代法一：2xn=xn1+xn2, 2xn+xn1=2xn1+xn2.反复迭代有：2xn+xn1=2xn1+xn2=2xn2+xn3=2x2+x1=2a. 2xn+xn1=2a，即xn=.再次反复迭代得： 迭代法二：2xn=xn1+xn2, 2xn2xn1=(xn1xn2), 即xnxn1=.xn=(xnxn1)+(xn1xn2)+(x2x1)+x1=a1+()+()2+()n2=.数列的通项公式为xn=。解题回顾从本题的上述两种方法可以看出：变形的形式不同，则迭代的方法也不相同。方法一是抓住2xn+1+xn的结构形式不变进行反复迭代，然后再对xn+1=

4、xn+a进行反复迭代；也可以用待定系数法构造新数列然后再迭代；方法二则是构造为等比数列。如果将两种迭代结果2xn+1+xn=2a和xn+1xn=()n1a结合在一起，从方程组角度考虑，则显得更简捷明了。4an+2、an+1、an与an1的递推型。 此类型问题是相邻四项间的递推关系，首先转化为相邻三项或两项的递推关系，然后再用上述三种类型的迭代法求解。 例4已知数列各项都是自然数，a1=0,a2=3,且an+1an=(an1+2)(an2+2),n=3,4,5，。（I）求a3;（II）证明：an=an2+2,nN+，n3，（III）求的通项公式及前n项和Sn。分析：第（I）题利用特殊值n=3及a

5、4,a3都是自然数的特征求出a3；第（II）题的证明实际上是将四项递推关系转化两项递推关系，然后利用等差数列的有关知识求解an及Sn，对（II）的证明要会观察结论与已知的结构形式，转化为只需证明即可，于是对已知的关系进行分离变形即可。解：（I）（略）答案为a3=2,a4=5.(II)an+1an=(an1+2)(an2+2),an+2an+1=(an+2)(an1+2).两式相比得：当n为偶数时，n与此同时n+2为偶数，反复迭代有：当n为奇数时，n与n+2为奇数，反复迭代有： .当n，即an=an2+2.（n3）（III）（略）解题回顾第（II）题的原来证明（标准答案）是用数学归纳法解的，没有

6、给出这种简捷而具有一般性的迭代法。解题过程中体现了分类与整合的数学思想方法。 5an+1=p(n)a+f(n)an1+r (p(n)0)型.此类an+1与an的关系是变系数制约的，解题策略：一是寻求更优化的递推关系；二是根据题目的结论进行适当的等式变换或不等变换（包括迭代）。例5设数列满足an+1=anan+1, nN+. (I)当a1=2时，求a2,a3,a4，并由此猜出an的一个通项公式；（II）当a13时,证明:对于所有的n1,有(1)ann+2; (2).分析：第（I）题利用“试验归纳猜想”的方法求出an；第（II）题（1）利用数学归纳法证明；而（2）可用数学归纳法证明，也可用迭代放缩法证明。解：（I）由a1=2，得a2=3，a3=4，a4=5，猜出an=n+1.(II)(1)用数学归纳法证明（略）。（2）由an+1=an(ann)+1及（1）ann+2，得：an+12an+1,an2an1+12（2an2+1）+1=22an2+2+122（2an3+1）+2+1=23an3+22+2+12n1a1+2n2+2+132n1+2n2+2+1=(2+1)2n1+2n2+2+1=2n+2n1+2n2+2+1=2n+11. an+1